基于机器学习的三点法：一种便捷且有效的确定土壤混合物最小孔隙比的方法框架

《Powder Technology》：Three-Point Method based on machine learning: A convenient and effective framework for determining the minimum void ratio of soil mixtures

　　

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  一种广义的三点法（TPM）能够捕捉材料依赖的颗粒堆积转变，在FC = CFC时发生。
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  TPM在物理框架内将细颗粒含量与粒径比联系起来。
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  随机森林（Random Forest, RF）能够在不替代机械模型的情况下修正TPM残差。
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  TPM–RF将校准均方误差（MSE）降低了34.4%，并在外部验证中表现良好。

引言

孔隙比（e）是土壤力学和工程地质学中的一个基本状态变量，因为它与土壤的可压缩性、抗剪强度和液化敏感性密切相关[1]、[2]、[3]。最小孔隙比（e_min）代表了在规定的压实程序下可达到的最密实堆积状态，并为计算相对密度提供了重要参考，相对密度广泛用于表征砂质土壤的状态依赖行为[4]、[5]、[6]。然而，对于沙-粉混合物而言，e_min并非固定的材料属性。细颗粒含量（FC）和粒径比的变化会显著改变堆积结构，从而改变用于解释密度依赖行为的参考状态。因此，在无法直接测量或需要比较不同级配混合物时，可靠估计e_min尤为重要。

对于二元沙-粉混合物，FC是控制堆积密度的主要因素之一[7]。实验研究表明，随着内部结构从以粗颗粒为主的骨架转变为以细颗粒为主的基质，e_min随FC的变化是非单调的[8]、[9]、[10]。在较低的FC值下，细颗粒主要占据粗颗粒之间的孔隙；随着FC的增加，它们逐渐干扰粗颗粒骨架，并最终成为承重基质的一部分。这种结构转变还会影响收缩倾向、排水特性以及循环加载下的孔隙压力生成[11]、[12]、[13]。因此，e_min的非单调变化反映了低FC时孔隙填充与高FC时骨架破坏之间的竞争。除了FC外，粒径比（D）还影响细颗粒填充粗颗粒孔隙的效率以及原始颗粒骨架被破坏的容易程度[14]。颗粒形态进一步改变了颗粒材料的孔隙结构和堆积特性[15]。这些效应表明，仅用FC无法描述粗-细混合物的堆积响应。然而，现有研究往往分别处理FC和D。因此，需要一种明确考虑FC和D耦合影响的公式，以描述不同粒径组合下最小孔隙比的幅度及其FC依赖性变化。

现有的预测e_min的方法大致可以分为经验拟合模型和基于堆积的模型[16]、[17]。例如，Yilmaz[18]和Lade等人[19]提出的多项式表达式能够再现e_min的非单调变化，但提供的物理解释有限。Chang等人[20]将填充和嵌套机制纳入分段公式中，提高了机械解释能力，尽管这两个分支的值是连续的，但它们的斜率在转换点可能不同，仍需要针对具体情况进行校准。Bahari等人[21]引入了一个平滑的二次公式，但该模型需要针对特定混合物进行测量，并规定了FC = 0.30附近的转变点。这些限制使得难以获得一个同时简单、具有物理解释能力且适用于不同级配混合物的模型。另一个困难是，不同材料的临界细颗粒含量可能有所不同，而实际模型实施中通常采用一个固定的转变值。

机器学习方法提供了一种可能的途径，可以捕捉机械模型未能解决的非线性差异。它们在岩土工程中的应用已扩展到滑坡易发性制图、淤泥流动预测和桩基沉降分析等问题[22]、[23]。特别是随机森林（RF）在模拟非线性岩土关系方面表现良好[24]、[25]。然而，纯数据驱动的RF模型并不显式表示颗粒级别的堆积机制。因此，其预测结果受训练数据的分布和覆盖范围影响较大，当应用于校准范围之外的级配条件时，可靠性可能会降低[26]、[27]、[28]、[29]、[30]。对于当前问题，RF更适合用于修正基于物理的模型的系统残差，而不是替代其机械结构。这种混合公式可以在保持模型变量与堆积机制直接联系的同时提高预测准确性。

因此，本研究开发了一种具有物理解释能力的简化参数三点法（TPM），用于估计非塑性粗-细土壤混合物的最小孔隙比。TPM描述了由FC = CFC分隔的两个堆积区域，并明确考虑了细颗粒含量和粒径比的耦合效应，同时在转换点保持值和斜率的连续性。CFC被视为一个材料依赖的转变参数；由于汇编的文献数据库中所有混合物的特定材料CFC值不一致，因此在当前实现中仅将CFC = 0.30作为数据库级别的参考。该公式使用易于解释的堆积和级配参数（FC、D、e_A和e_f），无需额外的特定混合物测量值。随后，RF仅应用于TPM的残差误差，而不是替代其机械结构，从而在保持物理解释能力和有限额外输入要求的同时提高预测准确性。该框架用于最小孔隙比估计和堆积状态表征；其与循环抗力和液化行为的关系超出了本研究的范围，需要使用循环加载数据进行独立验证。

章节片段

三点法原理

三点法（TPM）基于粗-细土壤混合物的最小孔隙比随细颗粒含量（FC）的非单调变化，如图1所示。随着FC的增加，最小孔隙比最初减小，在点C达到最低值，然后增加。点A和B分别代表粗颗粒和细颗粒的端元状态，而点C代表达到最低值的转变状态。

本研究使用的数据库

该数据库包含了26种土壤混合物类型和289个实验数据点，数据来源于已发表的研究。这些数据来自八种基础土壤：内华达土、Toyoura土、Silica土、Ottawa土、Cambria土、越南土、Hokksund土和MGM土。表1总结了26种混合物类型的粒径和堆积特性，包括细颗粒和粗颗粒之间的粒径比（D）以及纯净粗颗粒和细颗粒的密实状态孔隙比（e_A和e_f）。

粒径比（D）对土壤混合物相对孔隙比的影响

相对孔隙比用于归一化细颗粒主导区域土壤混合物的密实状态响应。随着细颗粒含量（FC）从转变状态增加到纯净细颗粒端元，堆积结构逐渐接近细颗粒控制的状态。因此，使用转变点处的最小孔隙比e_C = e_min（FC = CFC）和纯净细颗粒部分的密实状态孔隙比ef作为定义参考状态

结论

本研究开发了一种结合RF残差修正的三点法（TPM），用于估计非塑性粗-细土壤混合物的最小孔隙比。主要发现总结如下。

• 1.
  TPM使用密实状态的粗颗粒和细颗粒端元以及在FC = CFC时的转变状态来描述FC依赖的最小孔隙比响应。粗颗粒和细颗粒主导的分支在转变点的值和斜率都是连续的。CFC被视为一个材料依赖的参数；

CRediT作者贡献声明

宋晓良：撰写——原始草稿，验证，软件。 傅晨：监督，项目管理，概念化。 崔建：可视化，调查，数据管理。 张辉：可视化，监督，形式分析。 张泽：可视化，监督，方法学。 张安德烈：验证，调查，概念化。 张胜荣：监督，方法学，资金获取。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

致谢

本工作得到了中国国家自然科学基金（资助编号：）、黑龙江省自然科学基金（资助编号：YQ2024D002）、中国国家重点研发计划（2025YFE0112500）以及俄罗斯联邦科学与高等教育部预算项目（编号：126020516709-4）的财政支持。

宋晓良|傅晨|崔建|张辉|张泽|张安德烈|张胜荣