《Journal of Experimental Child Psychology》：Exploring how understanding of the equals sign relates to additive and multiplicative equivalence performance beyond arithmetic fluency
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等号理解与算术流畅性之外加法和乘法等价性表现的关系
•研究人员考察了等号理解与等价性流畅性之间的联系。
•到小学毕业时，大多数学生持有较强的运算性等号观。
•部分学生开始表现出同一性-关系性理解。
•几乎没有学生认同等号的可替换性-关系性观点。
•在控制算术
等号理解与算术流畅性之外加法和乘法等价性表现的关系
•研究人员考察了等号理解与等价性流畅性之间的联系。
•到小学毕业时，大多数学生持有较强的运算性等号观。
•部分学生开始表现出同一性-关系性理解。
•几乎没有学生认同等号的可替换性-关系性观点。
•在控制算术流畅性后，关系性理解仍能预测等价性流畅性。
扎实的算术基础对儿童更广泛的数学发展和后续推理能力至关重要（McNeil 等，2025）。这一基础的关键部分是对等号的理解，它为后续的代数思维提供了基础（Byrd 等，2015；Fyfe 等，2018；Hornburg 等，2022；Matthews 和 Fuchs，2020；Simsek 等，2019）。等号并非仅仅作为计算的运算提示，而是表示两个具有相同数值的量或表达式之间的等价关系（Gould 等，2024）。能够以关系性方式解释等号的学生，更能识别不同方程格式中的等价性，并且在解决等价性问题时更有可能选择和应用适当的策略（Alibali 等，2007；Knuth 等，2008）。虽然等号解释与等价性表现之间的联系在早期学习者中已有充分文献记载（见 McNeil 等，2017 的综述），但在更有经验的学生中，在考虑了算术流畅性之后，等号理解是否仍能预测等价性表现尚不清楚。因此，本研究聚焦于北爱尔兰小学最后一年（Primary 7）的学生，这一阶段是课程从巩固算术向基础代数和未知量符号使用过渡的关键时期（Council for the Curriculum, Examinations and Assessment，CCEA，2019）。
在这一关键节点考察等号理解至关重要；持续的运算性偏差可能会阻碍中学阶段的成功，因为在中学阶段，关系性理解对于代数学习至关重要（Alibali 等，2007；Byrd 等，2015；Knuth 等，2006；McNeil 等，2006；Simsek 等，2019）。即使在能够准确解题的学生中，等价性表现的差异也可能反映潜在知识上的质性差别：有些学生使用关系推理来平衡方程，而另一些学生则严重依赖计算（参见 Rittle-Johnson 等，2011）。如果关系性解释能在算术流畅性之外解释等价性表现的独特方差，那么这将强化一种需求，即教学方法应超越方程求解练习，明确支持关于等价性的推理。
**等号的解释**
学生对等价性的认识与其对等号的解释密切相关。尽管大多数学生在正式引入该符号后都能识别它，但他们的解释差异很大，反映了他们对等价性潜在理解的关键差异（Sumpter 和 L?wenhielm，2024）。评估这些解释的一种方式是通过学生自述的定义，这些定义通常与两大概念类别一致：运算性和关系性。运算性解释将该符号视为执行计算并产生答案的提示（Baroody 和 Ginsburg，1983；Knuth 等，2006；McAuliffe 等，2020；Wardat 等，2021）。相比之下，关系性解释反映了一种理解，即等号表达两个表达式之间的等价关系（Byrd 等，2015；Knuth 等，2006；Rittle-Johnson 和 Alibali，1999）。研究表明，大多数小学生持有运算性观点（例如，“=”表示要做某事或答案在后面），而非关系性观点（例如，“=”反映等价性或同一性；Alibali 等，2007；McNeil 和 Alibali，2005a；Stephens 等，2013）。
框架研究提示，等号理解并非突然转变，而是逐渐发展为日益灵活的关系推理形式（Lee 和 Pang，2021，2023；Rittle-Johnson 等，2011；Simsek 等，2019）。在这些框架内，关系性理解被区分为两种不同形式：同一性-关系性（即认识到两个表达式代表相同的值）和可替换性-关系性（即认识到如果两个表达式相等，它们可以互换或替代以重组或简化问题；Jones，2008）。后者建立在等式的数学性质之上，包括自反性（即任何值等于自身；7 = 7）、对称性（例如，如果 3 + 4 = 7，则 7 = 3 + 4）和传递性（例如，如果 5 + 2 = 7 且 7 = 3 + 4，则 5 + 2 = 3 + 4），这些共同构成了代数推理的基础（Sfard 和 Linchevski，1994；Stewart 和 Tall，1977）。在发展上，同一性-关系性概念可能更早出现，并为后来可替换性-关系性推理的发展提供支持（Donovan 等，2022；Simsek 等，2019），因为许多年龄较大的学生能够识别同一性，但在解方程时仍难以灵活运用替换（Filloy 等，2010；Nogueira de Lima 和 Tall，2008）。
为了更好地描述这些解释，Jones 等人（2012）开发了等号概念（Conception of Equals Sign，CES）测量工具，用于评估学生如何评价等号的不同定义。他们的研究确认了三种不同的解释类别：运算性、同一性-关系性和可替换性-关系性。在比较 11 至 12 岁学生时，英国学生倾向于运算性解释，而中国学生倾向于可替换性-关系性解释，尽管两组学生对同一性-关系性定义的巧妙性评分相似（Jones 等，2012）。他们的研究结果表明，在英国小学毕业时，许多学生仍然持有运算性观点，只有相对较少的学生表现出高级的可替换性理解。此后，该测量工具已被用于考察等号解释与中学代数表现之间的联系（Simsek 等，2019），并为旨在改善等价性知识的干预措施提供信息（Donovan 等，2022）。
**从等号解释到等价性问题表现**
虽然等号解释反映了学生对等号含义的理解，但同样重要的是考虑这些解释如何支持等价性表现。这种表现通常使用非标准格式（例如，a +__ = b；a = b +__；a + b =__ + c）来评估，而非等号总是跟在运算后面的标准算术格式（例如，a + b =__）。研究一致表明，具有关系性观点的学生优于具有运算性观点的学生（Knuth 等，2006）。教学研究进一步提示了一种方向性联系：包含关系性理解的教学既能改善等号知识，也能提高等价性表现，而程序性教学则能提高表现但不加强理解（Rittle-Johnson 和 Alibali，1999）。这一模式与更广泛的理论观点一致，即程序技能在概念理解的基础上最为有效（Fyfe 等，2014）。
主要持有运算性观点的学生通常会发现等价性问题具有挑战性。来自对较年幼学生（7-11 岁）研究的证据表明，运算性解释与非标准方程求解中的系统性困难相关（McNeil 等，2017）。虽然这种解释对于标准算术格式可能足够，但当方程要求学生评估等号两侧的关系时，这种解释就会产生问题。这种困难可能因教学实践而加剧：课程和教科书对等号关系性含义的教学支持有限，很少提供非标准方程的接触机会，或提供以关系性方式参与等价性的机会，尽管这一问题在各教育系统中的显著程度可能有所不同（Capraro 等，2007；Essien，2009；Li 等，2008；McNeil 等，2006；Pang 和 Lee，2025；Powell，2012）。此外，持续强调以标准格式练习算术可能会强化一种僵化的运算性解释，这种解释难以改变（McNeil，2014；Powell，2015）。
如果没有对等号的关系性理解，许多学生就会默认采用从左到右的计算程序，并试图将方程理解为标准算术任务（McNeil 等，2017）。这种运算性方法使学生难以识别潜在的方程结构，导致系统性错误（Falkner 等，1999；Perry 等，1988；Stephens 等，2013；Sumpter 等，2025）。例如，在解决诸如 5 + 12 =__ + 3 这样的等价性问题时，一些学生可能只加等号前出现的数字（例如，5 + 12 = 17 + 3），另一些学生则可能不管方程结构如何而将方程中的所有数字相加（例如，5 + 12 = 20 + 3），或者反向加到等号（例如，5 + 12 = 9 + 3）。这些计算错误模式反映了运算性解释的局限，并突显了关系性理解在解决等价性问题中的重要性。
然而，等价性表现既需要关系性理解，也需要执行必要计算的能力（McNeil 等，2017）。算术流畅性强的学生能高效提取数字事实，减少了工作记忆负荷，为问题解决释放了认知资源（Tenison 和 Anderson，2016）。相反，算术流畅性较弱的学生可能在计算上耗费过多的认知努力，留下较少的资源来应用关系性理解。实证证据支持这一观点：围绕有意义的数字关系组织算术事实的学生在解决等价性问题时表现出更大的灵活性和准确性（Chesney 等，2014），而通过心算建立流畅性的干预措施能加强关系性思维（Kindrat 和 Osana，2018）。纵向证据进一步表明，算术流畅性对等价性流畅性增长的支撑作用强于反向作用，突显了其基础性角色（Xu 等，2024）。总体而言，虽然对等号的关系性理解至关重要，但算术流畅性在等价性表现的成功中也发挥着重要的补充作用。值得注意的是，以往研究在考察方程求解任务的表现时，通常使用标准化测试分数来控制一般数学能力，而不是直接测量算术流畅性（Knuth 等，2006）。
虽然有大量证据表明，许多小学高年级学生仍持有运算性观点或部分关系性观点（McAuliffe 等，2020；Rittle-Johnson 等，2011；Stephens 等，2013），并且算术流畅性支持等价性表现（Xu 等，2024），但关于一旦学生能够准确解决这些问题，哪些因素解释了持续存在的变化，人们知之甚少。具体而言，在考虑了算术流畅性之后，等号解释是否继续解释等价性流畅性的差异，仍是未知的。
此外，算术研究表明，乘法推理建立并超越加法推理，代表了更高级的数学思维形式（Nunes 等，2016；Steffe，1992；Steffe 和 Olive，2010）。虽然与加法推理相比研究较少，但乘法推理对学习者来说明显更复杂，概念要求更高（Butterworth，2005；Siemon，2013；Vergnaud，1994）。例如，学生在解决乘法和除法问题时，较少应用基于概念的捷径（如逆运算或结合性），而在加法和减法中则更常应用（Robinson 等，2006）。然而，这些差异是否延伸到等价性情境中仍不清楚：学生对待加法和乘法等价性任务的方式是相似的，还是乘法格式引入了额外的难度？如果是后者，学生可能会发现乘法等价性问题比加法对应问题困难得多。
**本研究**
在这项预注册研究中（https://osf.io/x5qmj/），北爱尔兰小学最后一年（Primary 7）的学生完成了评估等号理解、等价性流畅性和算术流畅性的任务。等号理解通过两种方式操作化：（1）学生提供自己对等号的定义，（2）他们对替代定义的“巧妙性”进行评分。同时纳入自陈式生成和评价性测量，使研究人员能够考察学生的外显理解是否与其基于识别的评价相一致，这建立在先前表明这些测量捕捉理解不同侧面的研究基础之上（Donovan 等，2022；Matthews 等，2012；Sumpter 和 L?wenhielm，2024）。此外，这些测量之间的一致性可能为了解学生知识表征的连贯性提供洞见，而不一致则可能表明部分或不稳定的理解，需要更明确的教学来巩固。
等价性流畅性通过限时加法和乘法任务进行操作化，其中等号的位置不同于标准格式。这种限时格式不仅捕捉了学生能否解决非标准方程，还捕捉了他们识别和利用等号两侧等价关系的效率。这种方法与以下观点一致：较强的表现依赖于关系性识别，而非依赖较慢的、逐步计算（例如，Carpenter 等，2003；Kirkland 等，2024）。为了控制基础算术能力，学生还完成了限时标准算术流畅性任务，涵盖加法、减法、乘法和除法。
**研究问题1：学生如何定义等号？**
基于先前研究表明许多学生能正确识别等号但对其含义的理解往往有限，研究人员首先预测大多数学生能成功命名等号（假设1a），但他们的定义会有所不同，运算性定义比关系性定义出现得更频繁（假设1b）。更具体地说，研究人员预期运算性定义最为常见，其次是同一性-关系性定义，最后是可替换性-关系性定义，后者预期很少出现。
**研究问题2：学生对他人等号定义的评分与其自身定义有何关系？**
基于Jones等人（2012）的研究，研究人员预测CES项目会负荷到三个因子上，分别代表运算性、同一性-关系性和可替换性-关系性概念，其中运算性和可替换性-关系性因子呈负相关，同一性-关系性和可替换性-关系性因子呈正相关（假设2a）。此外，与Jones等人（2012）英国样本的结果一致，研究人员预测北爱尔兰学生会将运算性定义评为比同一性-关系性和可替换性-关系性定义“更巧妙”（假设2b）。最后，扩展先前工作，研究人员预测学生的巧妙性评分会与其自身解释一致；例如，提供运算性解释的学生预期会将运算性项目评为最巧妙，关系性解释也预期有同样的对应关系（假设2c）。
**研究问题3：学生对等号的解释如何预测其等价性流畅性？**
先前研究表明，学生解决涉及多种运算的等价性问题的能力与运算性解释呈负相关，与关系性解释呈正相关（Alibali 等，2007；Sumpter 和 L?wenhielm，2024）。因此，研究人员假设，在控制了相关算术流畅性后，关系性解释（包括同一性-关系性和可替换性-关系性）将独特地预测学生在加法和乘法等价性问题上的表现，而运算性解释将负向预测表现（假设3）。
**论文解读：等号理解对小学毕业生加法与乘法等价性流畅性的预测作用**
**1. 研究背景与问题提出**
扎实的算术基础是儿童更广泛数学发展和后续推理能力的基石。在众多基础性知识中，对等号（equals sign，表示两个量或表达式之间等价关系的符号）的理解尤为关键，它为后续的代数思维提供了必要的前提。等号并非仅仅是触发计算的运算提示，而是标志着两个具有相同数值的量或表达式之间的等价关系。能够以“关系性”方式解读等号的学生，更能灵活识别不同方程格式中的等价性，并更倾向于在解决等价性问题时选择和运用恰当的策略。
然而，大量研究表明，许多小学生，甚至小学毕业阶段的学生，仍普遍持有“运算性”的等号观，即将等号视为“执行计算”或“得出答案”的指令。这种僵化的运算性理解在处理非标准格式的等价性方程（如 a + b = __ + c）时，往往会导致系统性错误。相较之下，关系性理解，特别是更高级的“可替换性-关系性”理解（即认识到两个相等表达式可以互换以重组或简化问题），被认为是代数推理的重要基础。尽管已有研究证实等号理解与等价性表现之间的联系，但在控制了基础算术流畅性之后，等号理解是否仍能独立预测高年级小学生的等价性表现，尚不明确。此外，乘法推理在概念上比加法推理更为复杂，但在等价性情境下，加法与乘法任务是否存在不同的认知需求，亦缺乏直接证据。
**2. 研究设计**
本研究以预注册形式开展，旨在系统考察小学最后一年学生（Primary 7）的等号理解、等价性流畅性与算术流畅性之间的关系。研究共招募了北爱尔兰贝尔法斯特及周边地区11所学校的277名学生（平均年龄11.4岁，标准差0.3；48%为女生），样本涵盖了广泛的社会经济背景（享受免费校餐资格比例为4%至74%）。数据通过课堂集体测试方式收集，采用纸笔形式。研究工具包括：（1）等号理解测量：要求学生自主定义等号，并使用“等号概念测量工具”评估对他人定义（运算性、同一性-关系性、可替换性-关系性及干扰项）的巧妙性评分；（2）算术流畅性测量：采用改编自海德堡算术测验的加、减、乘、除四个分测验，每项限时1分钟；（3）等价性流畅性测量：包括加法等价性任务和研究者自编的乘法等价性任务，均限时1分钟。统计分析采用了描述性统计、卡方拟合优度检验、主成分分析、方差分析及层次线性回归等方法，并对缺失值采用了多重插补处理。
**3. 主要发现**
**3.1 学生对等号的定义方式（研究问题1）**
结果支持了研究假设：绝大多数学生（96.4%）能够正确识别等号符号，但对其含义的理解存在显著差异。约49.1%的学生提供了运算性定义（如“表示答案”或“得出结果”），22.0%的学生提供了同一性-关系性定义（如“两边相等”或“两边数值相同”），而没有学生主动提供可替换性-关系性定义。另有约20.2%的学生给出了未明确的定义（如仅写“等于”而无进一步解释），5.8%的回答无法归类。卡方检验表明，运算性定义显著多于同一性-关系性定义（χ2(1, N = 197) = 28.55, p < .001）。这说明，尽管学生普遍认识等号，但其对等号意义的理解在小学毕业阶段仍以运算性为主导。
**3.2 等号概念的结构及与学生自身定义的关系（研究问题2）**
主成分分析（PCA，一种数据降维方法，用于识别多个项目背后的潜在结构）在CES测量项目的9个条目上（排除3个干扰项后）复制出了Jones等人（2012）报告的三因子结构，分别对应运算性、同一性-关系性和可替换性-关系性概念，从而支持了假设2a。因子间相关模式亦与预期一致：运算性因子与两个关系性因子均呈显著负相关（分别与同一性-关系性 r = -.13，与可替换性-关系性 r = -.28），而两个关系性因子之间呈显著正相关（r = .22）。方差分析显示，三种定义类型的巧妙性评分存在显著差异（F(1.72, 470.43) = 173.44, ηp2 = .49, p < .001），运算性定义被评为最巧妙（均值 = 4.1，标准差 = 1.5），依次高于同一性-关系性定义（均值 = 3.4，标准差 = 1.7）和可替换性-关系性定义（均值 = 1.6，标准差 = 1.6），支持了假设2b。进一步分析发现，学生的自述定义与他们对巧妙性的评价之间存在一致性：大多数提供运算性定义的学生将运算性项目评为最巧妙，而过半提供同一性-关系性定义的学生选择了同一性项目。值得注意的是，有7名学生将可替换性项目评为最巧妙，其中6名此前给出了同一性-关系性定义。整体而言，学生的外显定义与评价性判断基本吻合，支持了假设2c。
**3.3 等号解释对等价性流畅性的预测作用（研究问题3）**
层次回归分析显示，在控制了性别和相应的算术流畅性（加法模型控制加法和减法流畅性；乘法模型控制乘法和除法流畅性）后，等号概念评分仍对等价性流畅性具有显著的解释增量。在加法等价性模型中，性别、加法流畅性和减法流畅性共同解释了71.6%的方差，加入等号概念后，额外解释了1.1%的方差，其中同一性-关系性因子是唯一的显著预测因子（β = .09, p = .007）。在乘法等价性模型中，性别、乘法流畅性和除法流畅性共同解释了72.4%的方差，加入等号概念后，额外解释了2.2%的方差，其中同一性-关系性因子同样是唯一的显著预测因子（β = .13, p < .001）。运算性因子和可替换性-关系性因子在两个模型中均未达到显著预测水平。结果部分支持了假设3：同一性-关系性理解在基础算术流畅性之外，对加法和乘法等价性流畅性均具有独特的预测作用，其解释方差在乘法模型中约为加法模型的两倍。
**4. 结论与讨论**
本研究通过预注册设计，系统考察了小学毕业阶段学生对等号的理解状况及其对等价性表现的影响。研究结果显示，尽管绝大多数学生能够识别等号，但他们的理解仍以运算性为主导，关系性理解（尤其是可替换性-关系性理解）较为少见。然而，同一性-关系性理解在算术流畅性之外，对加法和乘法等价性流畅性均具有显著的独特预测作用，这突显了在程序性算术技能之外，概念性关系理解对于灵活解决非标准方程结构的重要性。研究结果支持了Jones等人（2012）提出的等号理解三因子结构，并进一步表明同一性-关系性与可替换性-关系性是关系性理解中可区分的组成部分。乘法等价性任务中关系性理解解释了更大的方差比例，提示乘法等价性问题可能对概念性理解有更高的依赖。研究结果对数学教育实践具有启示意义：课程与教学应明确且持续地纳入关系性语言和对等号含义的多样性教学，以促进学生对等价性的深层理解，为其后续代数学习奠定坚实基础。同时，未来研究应采用纵向设计以厘清等号理解与等价性表现之间发展性相互作用的时间进程。
