一种求解非线性柯尔莫哥洛夫方程和罗森瑙-海曼方程的混合半解析与神经网络方法

《Scientific Reports》：A hybrid semi-analytical and neural network approach for solving nonlinear Kolmogorov and Rosenau-Hyman equations

　　

摘要

本文提出了一种混合半解析和物理信息神经网络框架，用于求解线性和非线性偏微分方程。所提出的方法将新迭代法（NIM）与物理信息神经网络（PINNs）相结合：由 NIM 生成低阶解析近似，并训练神经网络仅学习剩余的校正项。我们选择 NIM 而非相关的半解析方法（ADM, HAM, HPM, VIM），因为其递推是通过直接积分获得的，无需调整线性化参数，也无需进行 Adomian 多项式簿记，这使得基线的符号微分（每个训练步骤都需要）即使在对于三阶算子时也能保持低成本。每个 NIM 项也是独立获得的，因此截断阶数可以被视为超参数，而无需重新推导整个级数。这种方法简化了学习过程，改善了收敛行为，并提高了计算效率。线性 Kolmogorov 方程和非线性 Rosenau-Hyman 方程被用作基准问题。训练目标中包含了显式的 Dirichlet 边界条件损失项，以及校正网络的零锚定初始化和验证选择保护机制，后者在保留集上报告基线或校正解中更准确的一个。数值和图形结果表明，对于这两个基准问题，混合解与精确解之间具有高度一致性。对于 Kolmogorov 方程，混合解比解析基线提高了大约两个数量级（相对 \(L_2\)SX 误差 \(7.6\times 10^{-5}\) 对比 \(6.8\times 10^{-3}\)），并且比在相同预算下训练的标准 PINN（大小相同）准确度高出一个数量级以上（大约 23 倍）。对于 Rosenau-Hyman 方程，控制方程和边界项共同产生了混合相对 \(L_2\) 误差 \(2.3\times 10^{-4}\)，优于解析基线（\(6.9\times 10^{-4}\)）和标准 PINN（\(1.3\times 10^{-2}\)）。误差分析、残差分布、相等性图和收敛曲线证实了所提出方法在这两个问题上的准确性、稳定性和鲁棒性，并在多个独立训练种子下进行了统计验证。