p-Laplacian 薛定谔-泊松系统的多重归一化解

《Asymptotic Analysis》：Multiple Normalized Solutions for p-Laplacian Schr?dinger–Poisson Systems

　　

摘要 本文研究了 p-Laplacian Schr?dinger–Poisson 系统归一化解的存在性与多重性：
\[
\begin{cases}
-\Delta_p u + \lambda u^{p-1} - \kappa\left(|x|^{-1} * |u|^p\right)u^{p-1} = f(u) & \text{在 } \mathbb{R}^3 \text{ 中}, \\
\int_{\mathbb{R}^3} |u|^p \, dx = a^p, \quad u > 0 & \text{在 } \mathbb{R}^3 \text{ 中},
\end{cases}
\]
其中 \(a > 0\) 表示给定的 \(L^p\)-范数，\(\kappa \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) 为参数，\(\lambda \in \mathbb{R}\) 作为未确定的 Lagrange 乘子出现。本文的主要发现总结如下：(i) 当 \(\kappa < 0\) 时，在 \(f\) 为奇函数且满足 \(L^p\)-超临界而 Sobolev 次临界增长的条件，我们借助 Poho?aev 流形方法与 genus 理论，证明了当 \(a > 0\) 充分小时，系统存在归一化基态解。在此设定下，我们证明问题存在无穷多个能量趋于正无穷的归一化解，并分析了归一化基态能的渐近行为。(ii) 当 \(\kappa > 0\) 且非线性项为 Sobolev 临界增长 \(f(u) = |u|^{p^*-2}u\) 时，我们利用截断技术与集中紧致性原理，克服了能量泛函无下界的困难。在 \(\kappa\) 和 \(a\) 满足适当约束条件下，证明了存在无穷多个具有负能量的归一化解。这些结果拓展了作者此前关于 p-Laplacian Schr?dinger–Poisson 系统的工作。