物理信息神经网络求解一维平流扩散方程后期误差的时间谱分析

《Mathematics》：Temporal Spectral Analysis of Late-Time Error in a Physics-Informed Neural Network Solution of the One-Dimensional Advection–Diffusion Equation

　　

摘要

在物理信息神经网络（PINN）的解中，即使控制性的瞬态过程已基本衰减，持久性的晚期时间波动仍可能残留，而传统的误差范数无法揭示这种波动是否具备系统性的时间—频率结构。本研究针对一维对流—扩散基准问题，开发了一种离线时间—谱诊断与后处理工作流程。利用高精度解析参考解和三种固定分辨率的有限差分基线方法，评估了一个PINN模型，该模型的架构通过全监督神经网络架构搜索选定，其参数采用渐进式时间窗口策略进行训练。在候选晚期时间区间的选取过程中，无需使用参考解，而是通过对重建间敏感性断点模型应用贝叶斯信息准则（BIC）来确定；随后，通过保留预定的时间谱能量比例对选定场进行重建，并通过参考误差和物理一致性度量进行独立评估。对于 ，零频分量包含原始场能量的 ，因此 重建仅保留时间均值。该投影将终末时刻的空间误差范数从 降低至 ，提升幅度约为 倍，同时将滤波窗口内的离散控制方程残差变化控制在 以内。针对 的去均值测试表明，被丢弃的波动主要由低频近似误差主导，而非高频噪声。该结果支持了所提出的选取—验证工作流程在此受控基准问题中的有效性，但并未证明该滤波器具有普适可迁移性。