利用模函数与α阶N?rlund均值构造缺项序列空间

《Axioms》：Construction of Lacunary Sequence Spaces via Modulus Function and N?rlund-Mean of Order α

　　

在这项工作中，研究人员引入了基于N?rlund型均值、模函数序列和阶参数0<α≤1的缺项序列空间新类。主要新颖之处在于将这些组成部分纳入加权N?rlund-缺项框架。研究人员在权重序列和缺项序列的显式条件下，建立了与经典N?rlund型序列空间和缺项序列空间的包含关系与等价关系。研究人员进一步刻画了α阶加权缺项统计收敛，并研究了其与相应收敛空间的关系。最后，证明了所得次范数(paranorm)序列空间的完备性和拓扑性质。这些结果扩展了缺项序列空间和N?rlund型序列空间的现有框架。

统计收敛(statistical convergence)概念由Fast和Steinhaus引入，基于自然数子集的渐近密度；此后经Schoenberg、Fridy、Freedman、Fridy-Miller、Fridy-Orhan、Mursaleen等人发展，成为求和理论与泛函分析中的重要工具。缺项(lacunary)序列、加权统计收敛、N?rlund型均值与模函数(modulus function)是其中相互关联的研究对象。Ba?ar?r和Konca曾引入与N?rlund型均值相关的缺项序列空间并研究加权缺项统计收敛，但未在序列空间框架中同时加入模函数序列和阶参数α。另一方面，Ghosal等研究了带模函数的加权收敛与统计收敛，却未使用N?rlund型均值结构。因此，本文在这些工作的基础上，将模函数序列和阶参数0<α≤1同时纳入加权N?rlund-缺项框架，构造新的缺项序列空间，并研究其包含关系、加权缺项统计收敛、完备性与拓扑性质。相关成果发表于《Axioms》。

在技术方法上，研究人员以严格递增且满足k₀=0、k_r→∞的缺项序列θ和正权序列p=(p_k)为基础，定义N?rlund型均值；再借助模函数序列F=(f_r)和阶参数α构造α阶N?rlund型缺项收敛空间。为研究统计收敛，引入了加权缺项密度。包含关系和等价关系的证明依赖于缺项比q_r=k_r/k_r-1的下极限、上极限条件，以及涉及缺项区间和权重的估计量。完备性证明采用Cauchy序列在实Banach空间中的逐坐标收敛，并用总次范数(total paranorm)完成拓扑结构论证。研究对象为实数序列，不涉及样本队列。

主要结果如下。

定理1：若缺项序列满足lim inf_r q_r>1，则新定义的N?rlund型缺项收敛空间包含于相应加权缺项统计收敛空间，且极限保持一致。定理2：若缺项比序列有界，即lim sup_r q_r<∞，则反向包含成立。推论1由此给出两个空间等价且极限相同的条件。

定理3：在权序列的适当条件以及权序列上有界条件下，研究人员得到N?rlund型序列空间与加权缺项统计收敛空间之间的包含关系，并证明相应收敛极限相同。

定理4与定理5：当lim inf_r q_r>1时，加权缺项统计收敛蕴含加权统计收敛；当lim sup_r q_r<∞时，反向包含成立。推论2说明在缺项比满足上下界条件时，两类统计收敛空间等价且极限一致。

定理6：对任意缺项序列，加权缺项统计收敛空间与缺项统计收敛空间之间存在包含关系；研究人员通过在缺项区间的指定位置构造取1、其余位置取0的无界序列，证明该包含是真包含。

定理7：在存在常数M使某个加权条件成立时，加权缺项统计收敛与加权统计收敛等价；反之，不满足相应加权条件的加权缺项统计收敛序列不属于加权统计收敛类。推论3给出特殊权序列下的对应结果。

定理8：（1）当对每个k满足p_k的某给定条件时，N?rlund型空间与加权缺项统计收敛空间之间存在包含关系及极限一致性；（2）当对每个k满足另一条件且p_k上有界时