纤维 - 基质不变耦合主导的软组织扭转 Swift-Poynting 转变

《Extreme Mechanics Letters》：Swift-Poynting transition in torsion of soft tissues governed by fiber–matrix invariant coupling

　　

# 摘要

软组织在扭转作用下的轴向变形通常被归因于普兰特效应（Poynting effect）或斯威夫特效应（Swift effect），但这两种响应之间的转换机制尚不明确。本研究开发了一个解析模型，用于描述纤维增强型软生物组织中这种转换现象，并考虑了纤维—基体不变量耦合。该响应被表达为线性项、二次项和高阶项的贡献，分别反映各向异性、基体弹性和纤维硬化特性。引入转换参数 Π=Bl/Aq 来识别转换过程，临界扭转角由 τc=Π 给出。其中，Aq 和 Bl 分别代表与普兰特型响应和斯威夫特型响应相关的二次项和线性项扭转诱导贡献。模型预测结果与兔乳头肌扭转实验数据吻合良好。

## 引言

圆柱体的扭转变形构成了固体力学中的一个基本问题 [1]，涉及扭转诱导的剪切变形与相关的法向响应之间的耦合。这种耦合的一个典型表现是普兰特效应 [2]、[3]、[4]、[5]，即扭转载荷产生轴向变形或法向应力。该现象最早由 J. H. Poynting [6] 在金属丝中观察到，随后在非线弹性领域得到广泛研究，并被报道存在于多种材料中 [7]、[8]、[9]、[10]，包括软生物组织 [3]。对于纤维增强组织而言，扭转响应还受到胶原蛋白或肌纤维引入的各向异性的进一步影响，导致其行为与各向同性材料有显著差异 [11]、[12]。一种相关的扭转诱导轴向响应与斯威夫特效应有关 [13]，该效应通常与材料各向异性和拉压不对称性相关联。此类行为可能源于初始材料各向异性或变形过程中诱导的各向异性。尽管这种扭转诱导轴向效应最初由 W. Swift [14] 在金属中研究，目前已知其源于非线弹性、各向异性和微观结构相互作用，但这些机制之间的平衡决定了材料在扭转下是伸长还是收缩。在生物组织中，由扭转引起的轴向变化通常与上述效应相关。这些效应通常使用考虑纤维取向的各向异性超弹性本构关系来处理。也有人指出，由 I1 和 I4 给出的基体与纤维之间的相互作用是重要的 [3]、[15]。I1 和 I4 分别表示变形张量的第一各向同性不变量和各向异性纤维不变量。此外，这些研究 [16]、[17] 强调了各向异性和纤维—基体相互作用的作用。根据纤维方向和材料常数的不同，这可能导致轴向变形增大或减小。

在非线弹性框架内，关于普兰特效应的研究工作相当丰富，该效应考虑了由于剪切应力与法向应力之间的非线性相互作用而产生的轴向力或变形 [2]、[6]、[7]。后续工作 [3]、[4]、[5]、[11]、[12] 展示了材料各向异性和非线性以及纤维取向对扭转下轴向变形的影响。另一方面，关于斯威夫特效应的研究主要集中在单端自由条件下承受扭转的各向异性材料，其中轴向变形源于材料各向异性、拉压不对称性和微观结构变化 [1]、[13]、[14]。在本分析中，术语"斯威夫特型"和"普兰特型"用于描述本文中考虑的降阶非线性弹性模型中产生的扭转响应的主要贡献。线性扭转响应被称为"斯威夫特型"，而二次扭转响应被称为"普兰特型"。这些术语用于指代当前分析中两种效应的相对大小，并不暗示经典斯威夫特效应（由各向异性介质的扭转引起）等同于当前的线弹性响应。在本框架中，这些贡献表示为 NS～Blτ 和 NP～Aqτ2，统一响应为 N(τ)≈Blτ+Aqτ2+Chτ?。其中，Blτ、Aqτ2 和 Chτ? 分别代表线性斯威夫特型、二次普兰特型和高阶纤维硬化贡献。本分析表明，扭转诱导的轴向响应在低扭转角时从斯威夫特型贡献占主导逐渐过渡到较高扭转角时普兰特型贡献占主导，这是因为随着扭转角的增加，线性和二次项的相对大小发生了变化。两种贡献之间的交叉点出现在 Blτc=Aqτc2 时，即 τc=Bl/Aq=Π。因此，τc 表示线性贡献和二次贡献变得可比的特征扭转角。

尽管在描述扭转诱导轴向响应方面已取得相当进展，但关于斯威夫特型和普兰特型贡献之间相互演变的研究相对有限。近期研究表明，纤维分散性可以影响承受扭转的软组织中斯威夫特型到普兰特型的转换 [18]。然而，非线弹性、各向异性增强和基体—纤维组分之间的相互作用如何控制这种转换，目前仍未完全理解。在本框架中，斯威夫特型到普兰特型的转换被解释为控制轴向响应的各项的相对贡献变化的结果。在非线弹性中，普兰特型响应与产生扭转载荷下伸长或压缩的二次非线性相关 [7]。相比之下，斯威夫特型响应的特征是对扭转角的线性依赖。因此，在本研究中，两种响应通过材料响应对扭转的线性与二次依赖关系来区分。所呈现的行为受材料各向异性和微观结构不对称性的影响 [3]、[13]、[14]。因此，本研究考察了纤维—基体不变量耦合在控制纤维增强软组织从斯威夫特型向普兰特型响应转换中的作用。

本研究的核心发现是纤维—基体不变量耦合控制了已识别的响应模式之间的转换。耦合参数和纤维取向的变化显示出随着扭转变形增加主导机制的相应变化。这些发现对于理解生物组织的扭转行为具有重要意义，包括心脏、韧带和肌腱。本工作的主要贡献是：（i）识别了转换参数 Π=Bl/Aq；（ii）建立了包含斯威夫特型和普兰特型响应的统一扭转框架；以及（iii）证明了纤维—基体耦合不变量决定了转换准则 τc。所提出的公式还可直接从材料参数估算转换准则，而无需将斯威夫特型和普兰特型响应视为独立机制。

## 各节概要

### 纤维增强软组织扭转的解析建模

本节开发了一个基于连续介质力学的解析框架，用于研究具有纤维—基体不变量相互作用的纤维增强型软生物组织中的斯威夫特—普兰特转换。所得到的封闭解方程将有助于分别从轴向应力和扭矩的角度研究扭转行为。

### 通过实验数据验证模型

本节通过将预测结果与白兔组织样本承受扭转载荷的实验测量值 [30] 进行比较，评估本构关系 (10) 在描述斯威夫特—普兰特响应方面的有效性。该比较用于评估纤维—基体不变量耦合对预测轴向应力和扭矩响应的影响。进一步比较了耦合各向异性公式与其非耦合对应公式以及相应的各向同性模型。

### 软组织中的扭转斯威夫特—普兰特转换

本节分析了扭转诱导的轴向响应及其在斯威夫特型和普兰特型响应模式之间的演变。从各向异性、纤维与基体之间的耦合以及非线弹性的作用方面研究了转换现象。数学公式包含三种耦合效应：斯威夫特效应（SE）、普兰特效应（PE）和高度非线性纤维硬化效应（FSE）。对于相对较小的扭转角水平（τ<1.25），转换过程...

### 结果与讨论

本节考察了轴向预拉伸（λz）、纤维取向（θ）和耦合参数（α, β）对扭转轴向应力和扭矩响应的影响。轴向预拉伸（λz）的影响如图 4 所示，图 5 讨论了与斯威夫特—普兰特转换相关的（α, β, θ）的影响。此外，图 6 展示了转换对不同输入参数的敏感性。

## 结论

本工作的一个主要结果是参数 Π=Bl/Aq，它指示响应遵循普兰特型行为还是斯威夫特型行为。该转换取决于纤维—基体相互作用和纤维取向。该模型能够捕捉生物组织中扭转下轴向变形的演变过程。识别 τc=Π 提供了一个简单的准则，可直接或间接从材料参数估算模式转换的起始点，这对于纤维增强复合材料的设计和分析可能具有实用价值。

## CRediT 作者贡献声明

Jayant Kumar：撰写—原始稿件，可视化，验证，软件，方法论，调查研究，形式分析，数据整理，概念构思。Deepak Kumar：撰写—审阅与编辑，可视化，验证，监督，资源，方法论，概念构思。Atul Kumar Sharma：撰写—审阅与编辑，可视化，验证，监督，概念构思。

## 利益冲突声明

作者是本刊的编辑委员会委员，未参与本文的编辑审阅或发表决定。

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