一种用于多尺度结构动力学中运动约束流形的变分扰动方法

《International Journal of Engineering Science》：A Variational Perturbation Method for kinematically constrained manifolds in multiscale structural dynamics

　　**摘要**
本研究开发了一种统一的变分扰动方法（VPM），用于将异质连续介质的尺寸降维为等效的梁和板理论。其核心思想是从底层连续介质的波动谱直接识别宏观状态变量。波动场被分解为一个准静态校正项，该校正项在不扩大宏观状态空间的情况下精细化本构描述，以及一些均匀的微观特征模式，其中一些可以被提升为独立的宏观自由度。这种校正-提升分解构成了该框架的组织原理。该方法的公式采用与经典双尺度方法相同的多尺度运动学分解，但以变分方式处理波动空间的变化：未解决的成分通过微观平衡问题得到放松，而保留的微观模式定义了宏观运动学流形。作为一个代表性的例子，Timoshenko旋转作为最低允许的剪切微观特征模式的提升振幅出现，而经典的剪切修正因子κ=5/6则通过变分稳定性自动得出。该框架在单一变分设置中生成了一系列结构模型，从Euler-Bernoulli和Timoshenko梁模型到更高阶的剪切变形和微观形态理论。通过圆柱弯曲（广义平面应变）下的层压和夹层复合板以及对周期性超材料的测试，验证了该公式的有效性。对于这种配置下的层压板，频率预测误差在适度厚度范围内降低到8%以下（基于VPM的高阶模型），而经典层压理论的误差超过60%。对于高对比度夹层板，经典理论中的误差超过100%的情况在实际情况的细长比范围内被准确预测。对于周期性超材料，微观模式的提升将波长有效域扩大了大约25%，延迟了人为的分支交叉，并改善了色散预测，超出了经典均匀化的极限。因为在允许的变分流形内，能量泛函不是逐阶截断的，所以在底层弹性张量的刚性假设下保持了正定性。所提出的框架提供了一条从微观尺度波动到有限细长比宏观结构理论的系统变分路径。

**引言**
现代复合结构，从涡轮叶片到超材料，都在细长几何形状中嵌入了复杂的微观结构。预测它们的机械响应需要跨越三个或更多数量级的长度尺度，这是全三维分析无法经济地解决的差距。经典结构理论，包括Euler-Bernoulli梁、Kirchhoff-Love板及其高阶扩展，通过运动学假设将三维问题简化为一维或二维模型来应对这一差距。然而，这些假设通常是先验引入的，与底层微观结构没有系统性的联系，其丰富性依赖于物理直觉而不是构建性程序。
本文要解决的核心问题是：如何从连续介质中识别结构理论的宏观状态变量？我们提出，这些变量来源于底层异质介质的波动谱。具体来说，微观波动场可以自然地分解为两个具有不同机械作用的组成部分：
- **准静态校正项**，它在层次结构的每个级别都存在，并在不扩大宏观状态空间的情况下精细化本构描述；
- **均匀的微观特征模式**，其中某些选定的成员可以被提升为独立的宏观自由度，从而以物理上合理和系统的方式扩展运动学流形。
这种本构精细化和模式提升之间的区别为结构理论提供了一种统一的生成机制。没有独立微观模式提升的理论对应于仅使用校正项的描述，而丰富的理论则是通过提升一个或多个微观特征模式而产生的。在第3.1.2节中通过分析得出一个具体的例子，Timoshenko旋转θ被解释为最低允许的剪切微观特征模式的提升振幅，通过正交投影确定其线性旋转轮廓，其误差在那里得到量化，而不是先验引入的。然后，经典的剪切修正因子κ=5/6通过变分稳定性自动得出。这种生成观点自然地与现有的多尺度框架相连，我们简要回顾这些框架以定位本文的贡献。经典的渐近均匀化（AH）（Bensoussan等人，1978年；Sánchez-Palencia，1980年）通过小几何参数的形式幂级数展开为周期性介质提供了严格的有效本构描述。然而，当应用于细长结构时，标准的渐近公式会抑制基本的运动学机制：横向剪切和翘曲（Mindlin，1951年；Reissner，1945年）通常被降级为更高阶项，并可能在主要阶次消失（Ciarlet，1997年；Trabucho和Via?o，1996年）。变分渐近方法（VAM）（Berdichevskii，1979年；Berdichevsky，2009年）在截面层面引入了能量最优性，并已成功应用于复合和各向异性梁和壳理论（Cesnik和Hodges，1997年；Hodges，2006年；Yu等人，2012年）。在广义Timoshenko构造中（Yu和Hodges，2005年；Yu等人，2002年），截面问题在经典的一维应变度量中提出，随后的渐近校正能量被重新构造为规定的Timoshenko形式，从而得到精细化的理论作为等效的输出表示。具有可变形截面的精细公式（Palacios和Cesnik，2007年；Palacios和Cesnik，2008年）还引入了有限截面模式，其振幅成为独立的一维变量；在这些构造中，丰富的形状是先验选择的，而不是从计算出的微观谱中生成的。Buannic和Cartraud（2001a；Buannic和Cartraud，2001b）的补充工作以及计算均匀化方案（Feyel，2003年；Geers等人，2010年；Hughes等人，1998年；Kouznetsova等人，2002年；Miehe等人，1999年）进一步扩展了渐近方法的应用范围，但它们的共同特点是波动场最终作为本构校正而不是新的宏观变量的来源。
另一项密切相关的工作为细长结构开发了系统的渐近尺寸降维方法，产生了在细长比参数上渐近精确的应变梯度模型（Lestringant和Audoly，2020年），以及基于能量的补充公式恢复了先前方法未解决的边界项（Audoly和Lestringant，2023年）。在这两种情况下，微观波动场最终被浓缩为降维模型的本构描述，而不是提升为独立变量。

**最新研究**
最近的研究强调了超出经典渐近降维的额外挑战。高阶渐近展开可能会失去正定性，并需要Boussinesq型校正来恢复适定性（Thbaut等人，2025年；Thbaut等人，2026年）；这种现象在当前的公式中不存在，因为能量泛函从未按?的幂次截断，因此在允许的流形上通过弹性张量的刚性保持正定性。动态均匀化和微观形态公式进一步强调了微观惯性和内在微观模式对色散波传播的重要性（Berezovski等人，2013年；Ganghoffer等人，2025年；Russillo等人，2024年；Ya?muro?lu等人，2024年）。在细长结构中，即使在高阶理论中，边界层效应和预渐近行为也可能仍然显著（Buannic和Cartraud，2001b；Kim，2022年；Kim等人，2016年；Kim和Wang，2011年）。在丰富的计算均匀化中，提出了基于单元格特征模式与宏观应力或动量非零耦合的保留规则（Roca等人，2018年；Sridhar等人，2016年）；这些是一阶连续介质的二元可行性测试。据作者所知，现有框架没有提供一种分级的、标准化的、可重复的程序来识别哪些微观模式应该提升为降维结构理论的宏观变量，也没有在单一变分设置中对准静态和动态微观响应进行统一处理。运动学丰富方法（Reddy，2003年）在没有微观结构指导的情况下先验引入额外的自由度；渐近浓缩方法将波动场放松为本构描述，但没有将其保留为独立变量。当前工作通过将波动空间不仅作为本构校正的来源，还作为通过分解为准静态校正项和可提升的微观特征模式来系统识别宏观状态变量的基础，填补了这一空白。

**变分扰动方法（VPM）**
这里开发的变分扰动方法（VPM）采用了与经典双尺度方法相同的多尺度运动学分解。其特色是对波动空间的变分处理：而不是将所有波动成分浓缩为本构描述，该框架识别可以提升、近似或简化为独立宏观自由度的均匀微观特征模式，而剩余成分则通过变分方式得到放松。由此产生的结构理论层次结构由保留的波动内容组织：
- **Euler-Bernoulli**：准静态校正项提升为有效刚度；没有引入新的宏观变量；
- **Timoshenko**：最低剪切微观特征模式被提升并投影到线性旋转轮廓上；
- **HSDT**：更高阶的平面内微观模式被提升并简化；
- **Micromorphic**：多个微观特征模式被提升而无需进一步简化。
因此，层次的每个级别对应于不同的保留波动模式选择，而未解决的成分通过相同的变分微观平衡问题得到放松，无论富集水平如何。
当前公式的另一个特点是能量泛函从未按?的幂次截断。因此，Thbaut等人（2025年；Thbaut等人，2026年）中识别出的非正能量问题在构建上不存在：通过允许流形上弹性张量的刚性保持正定性，无需Boussinesq型校正。

**主要贡献**
1. **理论方面**：开发了一个变分框架，其中结构理论的宏观状态变量直接从底层连续介质的波动谱中识别。校正-提升分解为结构理论提供了一种系统的生成机制：例如，Timoshenko旋转作为最低允许的剪切微观特征模式的提升振幅出现，κ=5/6通过变分稳定性自动得出。
2. **计算方面**：该框架通过微观动态模式允许系统性地丰富均匀连续介质的波长有效域。对于所考虑的周期性结构，微观模式的提升将人为的分支交叉从kl/π≈0.45推迟到kl/π≈0.55，扩大了大约25%。丰富效果取决于宏观波长与微观结构长度尺度之间的尺度分离程度。
3. **实践方面**：对于圆柱弯曲（广义平面应变）下的层压复合板，频率预测误差从经典层压理论的误差降低到8%以下（基于VPM的HSDT和LCW）在适度厚度范围内（L/h=10–30）。对于高对比度夹层板，经典理论中的误差超过100%的情况在实际细长比范围内被准确预测。
该公式针对实际感兴趣的有限细长比范围，其中?=h/L或l/L通常在[10?2,10?1]之间；第3节的数值结果表明，VPM在整个范围内保持准确性。在?→0的细长极限下，它与经典结构理论在形式上保持一致。

**论文的其余部分组织如下**
第2节发展了VPM公式：多尺度假设、控制准静态校正项和动态微观特征模式的微平衡问题、提升机制以及有限元实现。第3节通过分析恢复Timoshenko梁理论及其从波动谱派生的运动学流形、圆柱弯曲下层压和夹层复合板的数值研究以及对周期性超材料的色散分析来验证该框架。第4节总结了发现并指明了未来工作的方向。附录为比较的所有理论提供了显式的运动学算子。

**公式**
本节介绍了用于异质连续介质尺寸降维的变分扰动方法（VPM）。该公式结合了预定的运动学流形Ψ和变分确定的波动场w，提供了对准静态微观松弛和内在动态微观响应的统一处理。由此产生的框架为后续章节中发展的校正-提升分解奠定了基础。

**结果与讨论**
本节通过概念验证示例展示了所提出框架的分析和数值演示，首先是恢复经典结构理论的封闭形式，然后是突出其多尺度能力的数值研究。

**结论**
本文开发的变分扰动方法（VPM）为异质细长结构建立了一个非层次化的多尺度框架。通过将多尺度位移公式化为能量最优的投影到运动学流形上，而不是截断的幂级数，该公式保留了宏观诱导的微观梯度作为主要贡献者。一个关键的概念性贡献是区分了准静态校正项，它们精细化本构描述。在使用这些工具后，作者根据需要对内容进行了审阅和编辑，并对发表文章的内容承担全部责任。

**利益冲突声明**
作者声明以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益和个人关系：Jun-Sik Kim 报告称获得了韩国国家研究基金会的财务支持。如果还有其他作者，则他们声明自己没有已知的可能会影响本文所述工作的财务利益或个人关系。

**致谢**
本工作得到了由韩国政府（科学技术信息通信部）资助的韩国国家研究基金会（NRF）的资助（项目编号：RS-2025-16072142）。

Jun-Sik Kim