一种用于高通量热电器件筛选的Sobolev约束傅里叶神经算子

《ENERGY CONVERSION AND MANAGEMENT》：A Sobolev-constrained Fourier neural operator for high-throughput thermoelectric device screening

　　

**摘要**

高通量热电筛选需要对大规模材料库进行器件级评估，但反复求解耦合的有限电流场计算代价高昂。在此，我们开发了一种Sobolev约束傅里叶神经算子（Sobolev-FNO），用于重构温度和电势场。随后，从这些场中一致地评估电流密度、负载功率、热端总热输入和转换效率，均在相同的匹配负载工作状态下进行。该模型在9145个经过物理审核的有限元（FEM）算例上训练，纳入了有限电流热电耦合和温度相关输运性质。其目标函数将场重构与梯度、边界和热电热通量约束相结合，以改善对导数敏感的器件量。化学式分组划分防止了数据子集之间的精确化学式重叠，同时保留了两个完整材料族用于分布外评估。在测试集上的中位相对效率误差为0.143%，在被保留的材料族上为0.269%。消融实验和常用数据基线比较支持了导数感知监督的贡献。端到端评估每个算例约需2.900毫秒，比非线性有限元工作流快约2292倍。所提出的Sobolev-FNO为大规模热电材料库中的材料优先级筛选提供了高效的先筛后验框架。

**引言**

工业厂房、运输系统、电力设备和电子设备仍以低中品位热量的形式损失大量能量。热电发电机（TEGs）提供了一种固态路线来回收部分热量。它们无需运动部件即可将温差直接转化为电能。材料通常根据无量纲品质因数$zT = S^2\sigma T/k$来排序，其中$S$是塞贝克系数，$\sigma$是电导率，$k$是热导率，$T$是绝对温度[1]、[2]、[3]。然而，高$zT$值本身并不能决定器件性能。器件在指定工作条件下的转换效率还取决于p型和n型腿的配对、电流流动、热端热输入、热和电接触电阻、几何形状以及边界条件[4]、[5]、[6]。近期的热电机器学习研究也强调，材料性质在测试集上的高分并不自动转化为实验上有用的器件候选材料，因为数据库质量、采样偏差、热力学稳定性和族级迁移能力会显著影响发现流程的可靠性[7]、[8]。

这一区别促使我们在基于性质的材料筛选和器件评估之间引入一个器件级建模阶段。热电数据库包含数千条无机材料-温度记录的输运性质测量数据，每条记录都需要在指定工作条件下反复求解耦合的温度和电势场。尽管有限元方法能够精确求解这些场及其相关的电热耦合[9]、[10]、[11]，但其数据库规模的应用仍然计算代价高昂。此外，电流密度和总热电热通量取决于温度和电势的空间梯度。因此，有效的代理模型必须加速场重构，同时保留评估端子功率和热端热输入所需的场和导数信息[12]。

机器学习代理模型可以降低反复热电动模拟的成本，但其对器件筛选的适用性取决于所选的输出表示、训练目标和物理约束。数据驱动的代理模型提供了几种互补的方法来加速热电计算。标量回归模型、集成方法和多层感知机可以高效地将材料或设计参数映射到预设量（如功率或效率）[13]、[14]、[15]。当只需要端子指标时，这些模型是合适的，但它们并不能显式重构内部场，而局部电流密度、边界热通量和物理一致性可从这些内部场中评估。编码器-解码器CNN，包括U-Net型架构，可在结构化网格上提供多尺度场回归，并已被应用于热电和热场预测[16]、[17]、[18]。最近，可组合神经模拟器支持了分段和配对热电发电机的快速优化及后续实验验证[19]。这些研究表明，当所需输出是预设的端子量时，机器学习代理模型具有实用性。然而，它们不一定能重构局部输运分析和不同数值边界通量评估所需的内部温度和电势场。

物理信息神经网络（PINNs）将控制方程和边界条件纳入优化目标函数，对于正向、反向和数据有限问题具有吸引力[20]、[21]。物理信息方法也已被用于研究耦合热电输运和材料性质识别[22]、[23]。然而，对于大规模数据库评估，传统的逐算例PINNs可能需要反复优化，而参数化PINNs必须在数据、方程和边界损失之间保持平衡组合来表示完整的材料和操作空间[24]、[25]。PINNs和神经算子因此解决了互补的需求：前者强调方程约束优化，后者强调在参数化物理算例中重用已学习的解映射。

神经算子学习参数化物理问题族与其解场之间的映射[26]、[27]、[28]。这一能力与热电筛选相关，因为每条材料记录定义了不同的耦合场问题，但需要相同形式的器件级后处理。在本研究中，算子输入包括热储温度$T_{res}^h$和六个全局材料描述符，$k_{ref}$、$S_{ref}$、$\sigma_{ref}$、$n_k$、$n_\sigma$和$n_S$，以及空间坐标$(x,y)$。输出是有限电流温度场和电势场，$T(x,y)$和$V(x,y)$。随后从这些重构场中评估电流密度、总热电热通量密度、端子电压、负载功率、热端热输入和匹配负载效率。因此，训练好的算子可以替代在采样域内材料性质曲线和工作温度范围内的反复非线性有限元求解，同时保留热电后处理所需的内部场。

傅里叶神经算子（FNO）通过谱卷积学习参数到场映射，实现全局空间耦合和高效的批量推理[29]。在本问题中，温度相关性质、有限电流电热反馈、焦耳和汤姆逊体积项、珀尔帖热输运和有限热接触电导产生非线性、材料相关的温度场和电势场。精确的器件指标除了需要小的场重构误差外，还需要精确的空间导数。谱截断和非周期边界在微分后可能进一步放大边界处的局部误差。

为解决这一差异，Sobolev训练同时监督场导数和场值[30]、[31]。所提出的目标函数因此将温度和电势重构与一阶梯度、电边界、电流密度、热通量分布和积分热输入约束相结合，从而将场重构与热电器件评估所需的导数敏感量对齐。

材料间迁移呈现了额外的挑战。热电数据库通常不平衡，多条记录可能在不同温度下共享相同的规范化化学式标识符，或源自密切相关的材料族。因此，随机逐行划分可能将强相关记录同时放入训练和测试子集，产生过于乐观的预测性能估计。近期的热电机器学习研究强调了数据库质量、可解释筛选和材料感知评估的重要性[32]、[33]。相应地，共享相同规范化化学式标识符的记录保留在同一数据划分中，并排除两个完整的数据库定义材料族用于保留族分布外测试。采用有界族感知采样器以减少高表示材料类别的主导。

基于此框架，本研究做出了四个主要贡献。第一，我们构建了一个包含9145个材料-温度算例的有限电流有限元数据集，具有温度相关输运性质以及功率和热端热输入的一致匹配负载评估。第二，我们开发了一种Sobolev约束FNO，重构温度和电势场，同时显式监督热电后处理所需的导数敏感量。第三，我们使用化学式不相交的测试集数据和两个完全保留的数据库定义材料族来评估材料级泛化能力。第四，我们使用常用数据划分和相同的热电后处理，将所提模型与多项式岭回归、基于分布的多层感知机、坐标U-Net和纯场FNO进行比较。所得到的预测结果应解释为在指定几何形状、热接触模型和匹配负载工作条件下有条件的材料筛选结果。

本文其余部分组织如下。第2节介绍了有限电流热电公式、边界条件、器件响应后处理和有限元数据生成程序。第3节描述了Sobolev-FNO架构、导数感知训练目标、材料族感知采样策略和评估方案。第4节报告了场重构、边界通量和器件级精度、计算性能、对两个保留材料族的迁移能力、基线比较、数据库筛选结果和训练导出的特征支持指标。最后，第5节总结了主要发现、适用性限制和进一步发展方向。

**章节摘要**

**控制方程和边界条件**

训练标签在一个热电腿$\Omega_i$上生成，其中$i\in\{p,n\}$，p型和n型响应通过塞贝克系数的符号和大小来区分。为了标准化器件配置并隔离指定材料和操作输入的影响，所有腿均分配固定参考几何尺寸$L_i=w_i=d_i=1.0$ mm，$A_i=1.0$ mm2。因此，几何形状从神经算子输入中排除，报告的效率和排名是

**输入表示和FNO架构**

每个热电算例由一个操作参数和六个材料性质参数表示，$\mathbf{p}=[T_{res}^h, k_{ref}, S_{ref}, \sigma_{ref}, n_k, n_\sigma, n_S]$。其中，$T_{res}^h$是热储温度；$k_{ref}$、$S_{ref}$和$\sigma_{ref}$分别是参考热导率、塞贝克系数和电导率；$n_k$、$n_\sigma$和$n_S$描述它们的温度依赖性。这七个标准化标量参数在计算网格上广播，并与归一化空间

**结果与验证**

模型在三个层面进行评估：温度和电势场的重构、导数敏感热电量的恢复以及匹配负载转换效率的预测。验证集、测试集和族分布外测试子集分别包含1319、1389和144个样本。测试集包含来自训练中代表的数据库定义材料族的未见规范化化学式标识符，而族分布外测试集

**结论**

本研究开发了一种Sobolev约束傅里叶神经算子（Sobolev-FNO），用于有限电流匹配负载条件下的场分辨热电材料筛选。该模型在9145个经过物理审核的有限元解上训练，纳入了温度相关输运性质和耦合热电效应。负载功率和热端总热输入从同一收敛状态中评估。化学式分组划分防止了精确化学式重叠，同时保留了两个

**CRediT作者贡献声明**

胡俊松：撰写–初稿，方法学，形式分析。刘耀琪：撰写–初稿，可视化，验证。曾山：验证，数据整理。王攀：撰写–审阅与编辑，监督，经费获取，概念化。

**利益冲突声明**

作者声明他们不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性财务利益或个人关系。

**致谢**

本研究得到了国家自然科学基金（No. 12502086, 12102043）、湖南省自然科学基金（No. 2026JJ40006）和江西省自然科学基金（No. 20252BAC240126）的支持。作者感谢中南大学高性能计算中心的资源支持。

胡俊松 | 刘耀琪 | 曾山 | 王攀

湖南大学土木工程学院，中国衡阳，421001