柠檬法下具有相互依赖故障的系统的双重更换策略

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：Dual replacement strategies for systems with dependent failures under lemon laws

　　摘要：《柠檬法》规定，当车辆修理尝试次数或停机时间超过法定阈值时，制造商必须更换车辆或退款。虽然这些法规为消费者提供了必要的保护，但也给制造商带来了重大的保修成本挑战，尤其是在现代车辆中，因为组件故障通常表现出正相关性。本文通过将多变量泊松广义伽马过程（MPGGP）整合到法定维护分析中，为具有相关故障的系统开发了一个全面的维护优化框架。在该框架内，系统地评估了两种代表性的制造商更换策略：首先更换（Replacement First）和最后更换（Replacement Last）。推导出了长期预期成本率的封闭形式表达式，并开发了一种高效的层次坐标下降算法来确定最佳维护决策。基于分析模型和数值优化，我们建立了一个政策选择阶段图，描述了在不同更换成本和依赖性水平下两种更换策略的相对经济表现。结果表明，在中等更换成本和较强故障依赖性下，主动更换策略通常更具成本效益；而随着更换成本的显著增加，保守策略变得更具经济竞争力。这些发现为相关故障下的维护优化提供了定量见解，并为在《柠檬法》规定下运营的制造商提供了实际决策支持。

引言：购买新车时，消费者在评估产品质量方面面临着相当大的不确定性。现代车辆是高度复杂的系统，集成了数千个机械部件、数十个电子控制单元和复杂的软件架构。制造商的保修承诺车辆将在指定时间内正常运行，如果发生故障，制造商有责任解决这些问题。然而，传统的保修规定存在一个关键漏洞：当车辆在短时间内反复出现故障时，制造商通常仅负责进行修理，而不是更换车辆或退款。这些反复的故障导致累积的停机时间给消费者带来了不便。《柠檬法》正是为了解决这一矛盾而制定的，通过提供针对缺陷车辆的更强保护来保护消费者。该法律起源于美国，自20世纪80年代以来已在所有50个州实施，并随后被世界各地许多司法管辖区采纳，包括加拿大、欧洲、澳大利亚、中国、新加坡和韩国。根据典型的《柠檬法》规定，如果满足以下两个条件之一，车辆就有资格获得保护：(i) 同一故障经过指定次数的修理尝试（例如四次）仍未解决；(ii) 车辆停机的时间超过法定阈值（例如30天）。满足这些条件后，车辆被法律认定为“柠檬车”，制造商必须提供全额退款或更换车辆。

了解和量化《柠檬法》影响的重要性吸引了越来越多的研究关注。法律学者广泛分析了法定规定和消费者权利[4][5]，而经济分析则研究了柠檬保护对消费者的价值[6]。最近，运筹学研究者开始开发定量模型来评估保修成本的影响，印度尼西亚[7][8]、韩国和中国的研究团队为此领域做出了贡献。尽管关于《柠檬法》维护的研究不断增加，但仍有一些重要问题没有得到充分探讨。现有的定量研究主要集中在预定义的法定更换阈值下的保修成本分析和维护优化上，而组件依赖性在这一背景下的作用则受到有限关注。尽管在更广泛的可靠性文献中已经对依赖性建模进行了广泛研究，但其对《柠檬法》维护的影响仍大部分未被探索。在现代汽车系统中，由于共享的电子控制单元、共同的操作环境和级联退化机制，组件故障之间往往存在正相关性。这种依赖性可能会显著增加达到法定修理尝试次数或停机时间阈值的可能性，从而影响维护成本和制造商的更换决策。更根本的是，当组件故障具有正相关性时，是否应以不同的方式评估这些法定阈值的实际有效性仍不清楚。另一个重要问题是制造商在将法定阈值纳入维护决策后的维护策略。现有研究主要评估了在固定《柠檬法》规则下的维护成本，但很少探讨制造商应如何根据这些规定优化更换决策。实际上，制造商可能在达到法定阈值后立即更换车辆，从而严格符合《柠檬法》的消费者保护意图；或者推迟更换，直到有足够的证据表明存在系统性缺陷。尽管这些替代策略对保修成本、法规遵从性和消费者满意度有直接影响，但它们的经济后果仍然不清楚。本文将MPGGP整合到《柠檬法》维护分析中，以明确描述组件故障之间的正相关性。在此框架的基础上，我们研究了故障依赖性如何影响法定更换阈值的有效性，并制定了两种代表性的维护策略：一种是在达到法定阈值后立即更换车辆的选择性策略（Replacement First）；另一种是推迟更换直到满足所有规定阈值的保守策略（Replacement Last）。通过系统地比较不同依赖性和成本结构下的这两种策略，我们提供了一个量化框架，用于评估它们的经济表现，为在《柠檬法》规定下运营的制造商提供关于维护优化的理论见解和实际建议。

可修复系统的可靠性分析长期以来依赖于随机计数过程来描述故障发生情况并支持维护决策。其中，非齐次泊松过程（NHPP）基于Barlow和Hunter提出的最小修理概念以及Barlow和Proschan发展的经典可靠性框架，由于其分析可行性和明确的概率解释而成为最广泛采用的模型之一。然而，实际的维护活动往往偏离理想化的最小修理假设。重复修理可能会改变系统的退化轨迹，导致修理效果比最小修理好、差或完全不同。为了适应这些更现实的维护行为，已经开发了一系列广义随机过程，包括Cha提出的广义Pólya过程（GPP）及其后续扩展，这些扩展考虑了不同的修理效果和修理模式[9][10][11]，以及捕捉越来越复杂维护动态的最近随机退化模型[12][13]。这些发展大大丰富了可修复系统的建模，为描述越来越现实的故障和维护过程提供了坚实的理论基础。尽管上述研究主要集中在单个组件内的修理历史依赖性上，但现代工程系统越来越多地表现出多个组件之间的相互作用，其中故障往往是统计上相关的而不是孤立的。为了捕捉这种依赖性，越来越多的研究开发了明确考虑相关故障过程的随机模型。在GPP的基础上，Cha和Mercier[14]引入了MPGGP，该模型通过共享的随机脆弱性来模拟多个可修复组件之间的正相关性。这一框架扩展了多变量GPP，并为描述复杂系统中的相关计数过程提供了灵活的概率工具。这些研究显著推进了依赖故障的建模，并为可靠性分析和维护建模建立了成熟的随机工具。然而，现有应用主要集中在可靠性评估和维护优化上，而将依赖性建模整合到基于法定阈值的维护框架（如《柠檬法》维护）中的研究却很少。

与随机可靠性模型的发展并行，人们也投入了大量精力研究维护决策，特别是在不同操作条件和成本结构下的更换策略优化。现有研究调查了各种维护策略，包括基于年龄的更换[15][16]、面向任务的维护[17][18]、基于状态的维护[19][20]以及可修复系统的随机更换策略[21][22]。这些研究通过建立分析模型和优化方法，为在各种系统特性下确定经济高效的更换决策做出了重大贡献。尽管取得了这些进展，但大多数现有的维护优化研究都是从系统可靠性和维护成本的角度出发的，而没有明确考虑《柠檬法》等消费者保护法规规定的法定更换要求。因此，法规更换阈值与制造商维护决策之间的相互作用受到了有限关注。特别是，制造商应在达到法定阈值后立即采取主动更换策略，还是推迟更换直到出现更明显的持续缺陷证据，这一点仍然很大程度上未得到探索。针对《柠檬法》维护，定量研究逐渐从法律解释扩展到维护成本分析和保修优化。Iskandar和Husniah[7][8]通过研究一维保修策略和具有累积停机时间的多故障模型，启动了对《柠檬法》保修成本的分析研究。最近，Alifin等人[8]进一步将有限的故障相互作用纳入《柠檬法》维护成本分析，提供了对保修索赔的更现实的描述。这些研究提高了对制造商在法定更换要求下的保修责任的定量理解。然而，现有研究主要关注在预定义的法定阈值下评估维护成本，而组件故障相关性在触发法定更换条件和相应维护决策中的作用仍了解不足。特别是，制造商如何在正相关故障下调整更换策略，以及故障依赖性如何影响替代更换策略的经济表现，尚未得到系统研究。

本文通过以下主要贡献解决了已识别的研究空白：(1) 将依赖故障建模整合到《柠檬法》维护分析中。我们将MPGGP整合到《柠檬法》维护框架中，以明确描述组件故障之间的正相关性。这种整合使得能够在相关故障过程中评估法定更换决策，将现有的《柠檬法》维护模型扩展到独立故障的传统假设之外。(2) 为评估依赖故障下的更换策略提供了一个统一的分析框架。在提出的框架内，我们系统地分析了两种代表性的制造商更换策略，并量化了故障依赖性如何影响法定更换条件的触发和不同维护决策的经济表现。(3) 对法定更换法规下的维护决策提供了见解。通过分析优化和数值研究，我们揭示了故障依赖性和经济因素如何共同影响替代更换策略的相对表现，为在《柠檬法》规定下运营的制造商提供了实际建议。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了我们建模框架下的核心数学工具。第3节基于《柠檬法》提出了双策略框架，介绍了通用多阈值成本模型，并推导出了Policy I和Policy II下的长期预期成本率的显式表达式。第4节和第5节分别致力于优化Policy I和Policy II，建立了最优条件并提出了高效的层次坐标下降算法。第6节对两种策略进行了全面比较分析。第7节基于真实的汽车数据进行了详细的数值案例研究，通过广泛的优化和敏感性分析验证了我们的理论发现。最后，第8节总结了主要发现、对制造商的实际建议以及未来研究的方向。

初步概念：引理1 设 {M(t), t≥0} 为一个强度函数为 λ(t) (λ(t)>0) 的NHPP，表示为 M(t)～NHPP(λ(t))。那么，在时间区间 (0,t] 内的事件数量遵循具有概率质量函数 P(M(t)=n)=(Λ(t))nn!exp(?Λ(t)) 的泊松分布，其中 Λ(t)=∫0tλ(u)du 是累积强度函数（CIF）。引理2 如果一个随机变量 Φ 遵循参数为 (v,k,α,l) 的广义伽马分布（v≥0, k,α,l>0），则表示为 Φ～GG(v,k,α,l) [23][24]，其概率密度函数为...

《马格努森-莫斯保修法》确立了制造商在经过合理次数的修理尝试后，如果车辆缺陷仍然存在，则必须退款或更换车辆的基本《柠檬法》原则[26]。对于制造商来说，遵守这一联邦标准不仅是一项法律义务，还涉及修理成本、更换成本和品牌声誉的复杂优化问题。为了数学上概括这一原则并实现成本效益的决策，对于给定离散阈值的最优 T?...

定理1 对于固定的故障阈值 (K1,...,Km,κ)，Policy I 下的成本率表示为 CF(T)=∑i=1mciE[Ni(τF)]+crE[τF]。随着预防性更换时间的增加，预期周期长度和预期修理成本都会增加。当T变得足够大时，预防性更换条件不再生效，成本率将收敛到仅由故障阈值决定的极限值：τF≡min{tK1,…,tKm,tκ}。因此，给定离散阈值下的预期循环长度和最优T?都会受到影响。与策略I不同，策略II中的预防性更换时间T不能通过渐近更换边界来确定。对于策略II，更换时间由方程（23）定义，该方程表明只有当预防性更换时间和所有由阈值触发的更换条件都满足时，系统才会进行更换。因此，增加T并不像在策略I中那样简单地消除预防性更换效果，而是在预防性更换和推迟更换之间引入了一种权衡。

在独立优化了策略I（先更换）和策略II（后更换）之后，我们现在要探讨一个基本问题：在什么条件下，维护计划应该遵循柠檬法则的主动逻辑，而不是采取保守的、基于确认的方法？答案不在于哲学偏好，而在于系统可靠性特性和经济参数之间的定量相互作用。

柠檬法则要求在出现“显著”问题的最初迹象时采取行动。

为了验证所提出策略的实用性和有效性，我们基于一款中型乘用车进行了数值案例研究。由于发动机和传动系统由共享的电子控制单元、相似的工作环境以及共同的质量变化引起，因此考虑了由它们组成的动力传动系统。根据一家国内汽车品牌的售后统计数据，最低维修成本...

本文通过明确纳入多变量泊松广义伽马过程（MPGGP）来描述组件之间的依赖性，从而开发了一个全面框架，用于在柠檬法规定下优化维护策略。在这个框架内，制定了两种代表性的更换策略，并进行了系统的比较：一种是主动的“先更换”策略，即在触发第一个法定阈值时更换车辆；另一种是保守的“后更换”策略...

CRediT作者贡献声明：
张美萱：撰写——原始草稿、方法论、概念化。
董文杰：撰写——审阅与编辑、概念化。
朱敬涵：撰写——审阅与编辑。
谢乃明：撰写——审阅与编辑、监督。

未引用的参考文献：
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利益冲突声明：
作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢：
本研究得到了中国国家自然科学基金（项目编号72401132和T2441003）、中国博士后科学基金会（项目编号2022M721596）、江苏省自然科学基金（项目编号BK20230870）以及中国国家重点研发计划下的政府间国际科技创新合作重点专项（项目编号2026YFE0153500）的支持。

作者：
张美萱 | 董文杰 | 朱敬涵 | 谢乃明