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摘要本文提出了一种基于修正的玻色-爱因斯坦（BE）分布函数来描述热膨胀的新方法，其中声子布居数 n* 依赖于随温度变化的声子频率 ω*。相应的特征温度 θ*（θ* = ?ω*/kB）被假设为随温度呈指数衰减，从而考虑了内禀的晶格非谐效应。由于声子布居数 n* 和晶格体积 V
摘要
本文提出了一种基于修正的玻色-爱因斯坦（BE）分布函数来描述热膨胀的新方法，其中声子布居数 n* 依赖于随温度变化的声子频率 ω*。相应的特征温度 θ*（θ* = ?ω*/kB）被假设为随温度呈指数衰减，从而考虑了内禀的晶格非谐效应。由于声子布居数 n* 和晶格体积 V 均由不对称的原子间势所决定，因此 n* 随 θ* 的变化被假设为与 V 的温度依赖性相关。相应地，体积 V 随温度 T 的变化——由热膨胀系数（CTE）表征——被假设为与 n* 随 θ* 的变化成正比，即热膨胀系数与 n* 对 θ* 的导数成正比。所得的三参数模型同时纳入了电子和磁学贡献，并利用元素周期表中第4族至第11族的21种元素的实验数据进行了验证。所有数据集均以令人满意的精度得到复现。对拟合结果的分析表明，对于属于同一族且具有相同晶体结构的元素，其中一个模型参数可视为常数，而另一个参数被证明与爱因斯坦温度相关。该模型还为渗碳体、C-Mn钢以及铁素体和奥氏体不锈钢的热膨胀行为提供了精确的描述。
引言
金属中热诱导的晶格膨胀具有重要的基础科学意义，同时对工程结构和器件的可靠性能至关重要。热膨胀预测不准确例如可能导致热处理或退火过程中产生热应力，进而导致室温下产生有害的残余应力。这些效应对要求高尺寸稳定性和力学完整性的结构应用尤为关键。此外，准确的热膨胀知识对于材料表征也是必不可少的，因为它提供了一个灵敏的探针，用于识别各向同性金属系统（如钢）中的相变和微观结构变化。
实验上，热膨胀通常通过使用热膨胀仪监测宏观长度变化[[1], [2], [3]]，或使用衍射技术测量晶格参数随温度的变化来确定。后者包括X射线衍射[4,5]和中子衍射[6]，它们提供了关于晶格尺度行为的直接洞察，因此与宏观测量形成互补。
热膨胀主要源于非谐声子贡献，这些贡献产生于原子间势偏离理想抛物线形式时。由非线性原子间势[1,7,8]描述的这些晶格振动导致平均原子间距随温度升高而增大，而谐近似则预测不会发生热膨胀[7]。随着振动幅度的增大，非谐效应在较高温度下变得越来越显著。除晶格非谐性外，自由电子气[9]的贡献以及（在适用时）磁性转变[10]也会影响金属的整体热膨胀行为[11]。
温度的多项式函数通常用于描述常压下热膨胀系数随温度的变化。此类表达式通常需要三个，在某些情况下四个拟合参数[1,[11], [12], [13]]。由于这些参数通常缺乏明确的物理意义，因此在现有实验数据温度范围之外进行外推是不确定的。此外，多项式描述通常不适用于室温以下的温度[11]。
作为纯经验多项式表达式的替代方案，人们提出了半经验模型。这些模型通常基于德拜-格吕诺森框架[11]和各种形式的格吕诺森参数[14,15]，采用不同的假设和函数形式。在许多情况下，模型参数具有明确的物理意义，并通过最小二乘法拟合实验数据来确定。其他热膨胀建模的理论方法已在文献[16]中进行了综述。然而，尽管这些模型具有更强的物理基础，但它们通常无法在宽温度范围内以高精度的定量方式复现实验数据。
在本工作中，提出了一种基于修正的玻色-爱因斯坦（BE）分布函数来描述热膨胀的新方法，其中特征温度 θ* 被假设为随温度呈指数衰减，从而考虑了内禀的非谐效应。
章节摘要
理论与计算
本文全文均在恒定大气压条件下进行讨论。在此条件下，体积热膨胀系数记为 β 或 CTE_V，根据[1,7]定义为体积对温度的导数
对于立方和各向同性固体，体膨胀由线热膨胀系数（α 或 CTE_L）得到，得出[1]
以下各小节将讨论热膨胀来源于
方法
膨胀仪测试使用了ARMCO钢（一种几乎纯铁，见表2第1行），以及另外三种钢，其成分列于表2第2至4行。ARMCO钢用于获取bcc Fe和fcc Fe的热膨胀数据。这些数据与文献值结合用于模型优化。
使用Bahr 805A/D膨胀仪[57]测量了样品随温度和时间变化的膨胀量。加工了厚度为1 mm的平板样品
结果与讨论
本文中分析的所有数据——除渗碳体外——均为线热膨胀系数（CTE_L），为简洁起见，全文中将其简称为CTE。首先在下文中给出bcc相和fcc相Fe的结果。在此部分，将详细讨论建模方法、图表的解读以及与实验数据的统计比较。对于其余金属元素的讨论则更为简洁
结论
已建立了一个基于物理的模型来描述金属的热膨胀，并进行了充分的验证。对拟合结果的分析表明，对于属于同一族且具有相同晶体结构的元素，参数 W 可视为常数，而参数 Q 与爱因斯坦温度相关。这两个具有物理意义的参数，连同与材料相关的比例常数 Z，共同定义了整体的温度依赖性
CRediT作者贡献声明
S.M.C. van Bohemen：撰写——初稿，验证，方法论，调查，形式化分析，数据管理，概念化。
S.M.C. van Bohemen
