《Advances in Applied Mathematics》：Boundary dents, the arctic circle and the arctic ellipse
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摘要
本文的原始动机可以追溯到20世纪90年代中期，当时James Propp对多米诺骨牌镶嵌数在删除区域的一些单位正方形后反而增加的自然情形产生了兴趣。在前人关于有孔区域镶嵌数与对应电荷系统的二维库仑能之间平行关系的工作所给予的直觉引导下，我们考虑了沿两条相邻边具有单位正
摘要
本文的原始动机可以追溯到20世纪90年代中期，当时James Propp对多米诺骨牌镶嵌数在删除区域的一些单位正方形后反而增加的自然情形产生了兴趣。在前人关于有孔区域镶嵌数与对应电荷系统的二维库仑能之间平行关系的工作所给予的直觉引导下，我们考虑了沿两条相邻边具有单位正方形缺陷的阿兹特克钻石区域。我们证明，对于大区域，如果这些缺陷与某一顶点的距离固定，则有缺陷的阿兹特克钻石的多米诺镶嵌数与完整阿兹特克钻石的镶嵌数之比趋近于一个Delannoy数。当缺陷的位置不固定，而是趋近于阿兹特克钻石缩放极限$S$（一个正方形）边界上的给定点时，我们证明：只要连接这些点的线段位于$S$的内切圆之外，该比值与缺陷位置对应的Delannoy数具有相同的渐近行为；如果该线段穿过内切圆，渐近行为则截然不同。我们利用这一点推导出（在假设存在北极圈曲线的前提下），阿兹特克钻石的多米诺镶嵌的北极圈曲线即为$S$的内切圆。我们还讨论了六边形菱形镶嵌中该现象的对应情形。
引言
方格上区域$R$的多米诺镶嵌是指用多米诺骨牌（由两个共享一条边的单位正方形组成的并集）覆盖$R$，使得没有间隙也没有重叠。求给定区域族的不同多米诺镶嵌数的个数是统计物理学中具有重要意义的问题——它是二聚体模型的主要目标之一。$m \times n$矩形区域$R_{m,n}$的情形于1961年由Temperley和Fisher [38]（另见[25]）以及Kasteleyn [29]独立解决，他们证明：
$$M(R_{m,n}) = \prod_{j=1}^{\lceil m/2 \rceil} \prod_{k=1}^{\lceil n/2 \rceil} \left( 4\cos^2 \frac{j\pi}{m+1} + 4\cos^2 \frac{k\pi}{n+1} \right)$$
方格上另一类自然区域族由阿兹特克钻石组成。阶数为$n$的阿兹特克钻石$AD_n$通过将$2n$条高度为1的条带堆叠而成，其长度分别为$2, 4, 6, \ldots, 2n, 2n, 2n-2, \ldots, 4, 2$，使其中心对齐于同一条竖直格线上（$AD_8$的图示见Fig. 5）。1992年，Elkies、Kuperberg、Larsen和Propp在其论文[23]中证明，$AD_n$的多米诺镶嵌数由一个极其简洁的公式给出：
$$M(AD_n) = 2^{n(n+1)/2}$$
一个自然的推广是从给定区域$R$中移除一些固定的单位正方形集合，然后考虑剩余区域$R'$的多米诺镶嵌数。那么可以问：是否存在$M(R') > M(R)$的情形？对于$R$为正方形区域的特殊情形，人们相信这是不可能的（James Propp在1997年多米诺邮件论坛的帖中提及了这一点）。本文源于对阿兹特克钻石这一问题的探索，随后考虑了六边形菱形镶嵌的类似情形。
有用的直觉可以从第一作者早期的工作[7]、[8]、[9]、[10]、[14]、[15]中获得，这些工作研究了方格上大型固定有限子图$G$的完美匹配数$M$在给定的一组缺口移动时的行为（同样适用于六边形格子上子图完美匹配中的缺口，它们对应于三角格子上区域菱形镶嵌中的缺口；为简洁起见，以下讨论我们专注于方格）。我们的结果为"静电猜想"提供了强有力的支持：只要缺口远离边界（即在体相中），$\log(M)$由该电荷系统的二维库仑能给出，其中每个缺口被视为一个点电荷，其大小等于该缺口中白顶点数减去黑顶点数（在方格的正确着色下）。
对于一般区域，$\log(M)$随缺口从体相移开并与边界相互作用的变化方式，用以下系统的热能描述更为方便：将每个缺口视为一个热源或热汇（强度由上一段定义电荷的统计量给出），置于一个形状与被镶嵌区域相同的均匀材料块中；详见[11]、[12]、[15]。然而，对于阿兹特克钻石（以及三角格上的六边形），缺口与边界的相互作用仍可以在相当程度上通过更具启发性的静电直觉来理解。
具体而言，固定一个阿兹特克钻石$AD_n$，从中移除两个单位正方形，一个白色一个黑色（这是必要的，才能使剩余区域存在多米诺镶嵌）。根据上述静电类比，在体相中，这两个缺口将倾向于相互吸引（意味着它们在靠近时比远离时有更多镶嵌方式），在共享一条边时达到最大值。然而，这样有缺口区域的镶嵌数就只是$AD_n$中包含该多米诺骨的镶嵌数，因此不会超过$M(AD_n)$。
在我们试图增加镶嵌数的探索中，更有成效的是认识到$AD_n$外接于其西南边的外部区域在某种意义上是一个巨大的正电荷缺口（东北边同理）。因此，在远离体相的地方，黑色缺口应有很强的趋势被吸引到西南边或东北边，白色缺口则被吸引到东南边或西北边。这暗示缺口的好位置（如果我们希望最终得到的区域比$AD_n$有更多的镶嵌方式）例如：黑色缺口贴合西南边界，白色缺口贴合东南边界——从而成为凹痕而非缺口。
即使对于中等大小的阿兹特克钻石，当凹痕靠近南部顶点时，我们也注意到凹痕区域的镶嵌数与完整阿兹特克钻石镶嵌数之比非常接近整数。随后我们发现这些整数实际上是Delannoy数。
我们在定理2.1中证明了这一点。更一般的情形——阿兹特克钻石沿西南边有$k$个凹痕、沿东南边也有$k$个凹痕——可以从$k=1$的情形出发，利用Jacobi发布的行列式恒等式[34, Eq. (XX.4), p. 208]推导出来（见推论3.4）。
一个有趣的问题是，当凹痕的位置不再固定（如定理2.1中的情形），而是在缩放极限中趋近于阿兹特克钻石缩放极限——正方形$S$——边界上的给定点时，$k=1$的情形会发生什么。这引导我们做出了一个惊人的发现：凹痕区域与无凹痕阿兹特克钻石的镶嵌数之比具有两个截然不同的渐近行为，取决于连接凹痕的线段是否穿过$S$的内切圆。这在定理2.3中予以陈述。其对北极圈现象的含义——包括在假设存在北极圈曲线的前提下，推导出阿兹特克钻石的多米诺镶嵌的北极圈曲线是内切圆这一事实的新推导——在其陈述后的注2.4和注2.7中进行了讨论。第3节和第4节包含我们结果的证明，以及凹痕阿兹特克钻石与无凹痕阿兹特克钻石镶嵌数之比的显式渐近表达式（见定理4.2）。我们的显式公式的一个惊人推论是：当阿兹特克钻石底部两条边各有$k$个凹痕，且所有连接不同边上凹痕的线段都穿过内切圆时，凹痕之间的联合相关性由凹痕与阿兹特克钻石顶点的个体相互作用所决定；详见定理4.7、推论4.8和注4.9。
在第5节中，我们考虑六边形菱形镶嵌的相同问题。我们证明同样的现象成立（其中六边形内切椭圆扮演了$S$内切圆的角色），并发现相应的比值趋近于二项式系数。
我们关于多米诺镶嵌结果的证明基本上是自包含的，而关于菱形镶嵌结果的证明则基于第一作者与Fischer [13]的计数公式。它们蕴含了阿兹特克钻石多米诺镶嵌北极圈定理的新版本（见[16]、[28]）以及六边形菱形镶嵌类似北极圈曲线结果的新版本（见[17]）。我们的北极圈定理新版本涉及相邻两边各有一个凹痕的阿兹特克钻石。它指出，只要连接凹痕的线段位于内切圆之外，此类凹痕阿兹特克钻石的多米诺镶嵌的北极圈曲线是一个圆与一条线段的并集（见定理2.5）。六边形类似情形（同样带有凹痕）的版本指出北极圈曲线是一个椭圆与一条线段的并集（见注5.3）。这两个结果都需要一个概率论中的"常识性"事实：从原点（例如）到"远处"点$w$的格路径以高概率接近连接原点与$w$的直线段。由于似乎这样的结果除了特殊情形外从未被写成过，Michael Larsen撰写的附录提供了该事实的精确陈述和证明。
鉴于多米诺镶嵌（菱形镶嵌）被公认为是不相交Delannoy路径族的已知解释，我们的结果蕴含：只要连接凹痕的线段位于内切圆（内切椭圆）之外，连接缺陷的路径渐近独立于编码该镶嵌的不相交格路径族中的其他路径。对于凹痕不在相邻边而在交替边上的凹痕六边形的研究（从一个不同的视角），见Condon的论文[19]。
我们推导出阿兹特克钻石多米诺镶嵌的北极圈曲线是内切圆（在假设存在北极圈曲线的前提下）以及六边形内切椭圆的类似结果，非常令人联想到Colomo和Sportiello的切线法[18]。更确切地说，这符合Sportiello在[37, p. 33]中所称的"2-精化切线法"框架。我们的论证是直接的且完全自包含的。
在我们将论文提交至arxiv.org之后，其第二作者向我们指出了一个密切相关的工作[20]——Debin和Ruelle的工作（我们在撰写论文时对此并不知情）。确实，在[20]中，对阿兹特克钻石进行了平行的分析（我们研究的另一个例子——六边形的菱形镶嵌——在[20]中未被考虑）。然而，我们所考虑的Delannoy路径族与[20]中的路径族之间存在一个关键区别：在我们的情形中，最外层路径连接阿兹特克钻石中的两个凹痕，而在[20]中，它连接包含阿兹特克钻石的$90°$楔形区域两侧的两条竖直线段——其起点和终点总是在阿兹特克钻石之外。
另一个区别在于，我们的研究设置使我们能够从结果中推出一族非相交Delannoy路径的缩放极限，这类路径源自Aztec菱形区域的骨牌铺砌，但移除了一个起点和一个终点（见注2.6）。这一缩放极限仍然由连接被移除起点和终点的线段所确定，这一事实似乎是一个新的且令人惊讶的结果。因此，这两种方法互为补充，而它们都导致了同一现象，这令人满意地验证了2-细化切线法在这一情况下的有效性。
与先前文献还有另外两点联系，分别是Bufetov和Knizel的工作[4]以及Di Francesco和Guitter的论文[21]，其中确定了沿一侧有凹痕的Aztec矩形区域的北极曲线。
分段摘要
主要结果
对于任意1≤i,j≤n，令ADn^{i,j}为从Aztec菱形ADn中移除其西南边界上第i个单位正方形和东南边界上第j个单位正方形（均从底部向上计数）后所得区域；AD8^{2,4}如图2所示。
在使用vaxmacs程序[8]进行一些实验后，可以很快发现，对于较小的取值，
定理2.1的证明
令n×n矩阵Ln和Sn定义为：
Ln=((C(i,j)))0≤i,j< />
1/2）。
引理4.1
(a) 当n,x,y→∞且x/n→a，y/n→b时，其中01/2; 0, 若(1?a)(1?b)<1/2}。
(b) 当n,x,y→∞且x/n→a，y/n→b时，其中0
菱形铺砌
对于六边形的菱形铺砌，存在上述结果所引问题的一个自然类比。设ha,b,c为三角形格上的六边形区域，其边长依次为a, b, c, a, b, c（从顶部顺时针方向）。菱形是两个共享一条边的单位三角形的并集。区域r的菱形铺砌是用菱形覆盖r，没有间隙或重叠。给定一个六边形区域ha,b,c，哪个单位向上指三角形和哪个单位向下指三角形应该……
致谢
我们感谢michael larsen、russell lyons和bernhard gittenberger就具有固定起点和终点的格路径缩放极限问题进行的非常有益的讨论（参见第2节中的事实(ii)）。
mihai ciucu | christian krattenthaler 菱形铺砌 对于六边形的菱形铺砌，存在上述结果所引问题的一个自然类比。设ha,b,c为三角形格上的六边形区域，其边长依次为a, b, c, a, b, c（从顶部顺时针方向）。菱形是两个共享一条边的单位三角形的并集。区域r的菱形铺砌是用菱形覆盖r，没有间隙或重叠。给定一个六边形区域ha,b,c，哪个单位向上指三角形和哪个单位向下指三角形应该…… 致谢 我们感谢michael larsen、russell lyons和bernhard gittenberger就具有固定起点和终点的格路径缩放极限问题进行的非常有益的讨论（参见第2节中的事实(ii)）。 mihai ciucu | christian>
菱形铺砌
对于六边形的菱形铺砌，存在上述结果所引问题的一个自然类比。设ha,b,c为三角形格上的六边形区域，其边长依次为a, b, c, a, b, c（从顶部顺时针方向）。菱形是两个共享一条边的单位三角形的并集。区域r的菱形铺砌是用菱形覆盖r，没有间隙或重叠。给定一个六边形区域ha,b,c，哪个单位向上指三角形和哪个单位向下指三角形应该……
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我们感谢michael larsen、russell lyons和bernhard gittenberger就具有固定起点和终点的格路径缩放极限问题进行的非常有益的讨论（参见第2节中的事实(ii)）。
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