二维kagomé晶格上的非均匀伊辛模型：费米子场方法

《Annals of Physics》：Inhomogeneous Ising model on 2D kagomé lattice: Fermionic field approach

　　

# 卡果美晶格上的非均匀二维伊辛模型

- 考虑了卡果美晶格上的非均匀二维伊辛模型。
- 找到了临界耦合面。
- 计算并给出了热容。
- 计算并给出了自发磁化强度。

## 引言

伊辛模型是统计力学中研究相变和临界现象的最基本模型之一。在该模型中，每个晶格点承载一个自旋变量 $s_i = \pm 1$，表示两种可能的磁取向。自旋与最近邻相互作用，这些相互作用的集体行为决定了系统的宏观磁学性质。

在二维情况下，伊辛模型已在多种晶格几何结构上得到了广泛研究。1944年，拉尔斯·昂萨格在方形晶格上给出的精确解 [1], [2]，奠定了临界现象理论的一个基石。然而，当晶格几何改变时，模型的物理性质和分析处理方法可能会有显著差异。在昂萨格求解二维伊辛模型（2DIM）之后，二维统计或量子链模型的可积性 [3], [4] 成为理论物理学中的一个有趣课题，并在现代低维凝聚态问题中获得了越来越多的应用。

精确解法程序还与对偶性、晶格变换、Pfaffian/二聚体方法和费米子化紧密相关：克拉默斯-瓦尼耶构造确定了方形晶格的临界点，三角形和蜂窝晶格提供了经典的非方形基准，平面伊辛模型可归结为 Pfaffian 或二聚体问题，而自由费米子/八顶点公式则为本文构造提供了自然的顶点模型语言 [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13]。

下文所使用的传递矩阵构造与巴克斯特的零场八顶点解相一致：配分函数、特殊传递矩阵特征向量，以及与广义冰型/伊辛公式的等价性为本文的卡果美 R 矩阵提供了自然的代数框架。现代自由费米子发展还进一步将该点与二部二聚体、Z 不变结构以及蜂窝、三角和卡果美伊辛模型的直接自由费米子公式联系起来 [12], [14], [15], [16], [17]。

一个特别有趣的几何结构是卡果美晶格，它是由角共三角形组成的二维晶格。与方形晶格相比，卡果美晶格具有较低的配位对称性，并包含可以产生几何挫败的三角形单元，尤其是在自旋相互作用为反铁磁性时。正因为这一特性，卡果美晶格已成为凝聚态物理学中研究受挫磁性和奇异磁态的重要结构。

对于铁磁性情形，卡果美晶格伊辛模型可以通过晶格变换技术（如星-三角变换）精确求解，该变换将卡果美晶格映射到蜂窝晶格。这一映射使得系统临界温度和热力学性质的确定成为可能。该系统的理论分析发展于早先由 K. Kano、S. Naya、I. Syozi 和 H. Nakano 完成的工作 [18], [19], [20]，他们研究了装饰晶格及其在伊辛模型背景下的变换。在之前的两篇论文 [21], [22] 中，也在其他异构多边形晶格上研究了 2DIM。

因此，研究卡果美晶格上的伊辛模型具有重要意义，原因如下：首先，它提供了关于晶格几何如何影响二维系统相变的见解。其次，它为理解受挫磁性材料提供了理论框架，其中许多材料具有卡果美型结构。最后，该模型在现代关于强关联系统、自旋液体和复杂磁有序的研究中继续发挥着作用。

在密切相关的装饰或三角-卡果美几何结构上的精确映射进一步表明，对内部自旋求和可以产生有效卡果美或蜂窝模型，其临界流形具有可解析处理性 [23]。

近年来卡果美相关的进展包括：对类星型卡果美递归晶格上相互作用产生的受挫性的精确分析、横向场卡果美伊辛反铁磁体的量子模拟研究，以及具有竞争相互作用的装饰卡果美伊辛系统的有限温度相图 [24], [25], [26]。关于卡果美晶格上模型的近期综述可参见文献 [27]。

在本工作中，我们提出对非均匀卡果美晶格上的 2DIM [18], [19] 的一种解释，将其视为广义 XYZ 模型的一个特例。对于规则晶格的情形，2DIM 与非均匀可积 XYZ 模型之间的精确对应关系在文献 [28], [29] 中已建立，其中经典模型的配分函数被重新表述为适当 R 矩阵乘积上的迹。

在本工作中，我们构造了卡果美晶格上非均匀二维伊辛模型对应的 R 矩阵（第2节），并使用文献 [28], [29], [30] 中发展的技术对其进行费米子化。格拉斯曼变量表述也已在文献 [31], [32] 中应用。该技术使我们能够在傅里叶变换基下将配分函数推导为行列式的乘积（第3节）。

卡果美晶格模型的一个核心结果是临界点的参数面的确定，该结果在第4节中获得。对于均匀情形，已知临界耦合为 $\sinh[2J_c] = (4/3)^{1/4}$，我们重现了这一公式。我们证明，对于非均匀情形，临界点属于二维临界面，该面在实耦合参数的三维空间中由以下方程描述：$[\sum_{k=1}^{3} \cosh[2J_k] - \prod_{k=1}^{3} \sinh[2J_k] - \prod_{k=1}^{3} \cosh[2J_k]]$。我们还给出了自由能作为积分的精确表达式、热力学极限下的热容（第4节）以及均匀晶格情形下自发磁化的表达式（第5节）。结果表明，晶格几何和耦合的非均匀性如何改变了相对于标准二维伊辛模型的临界行为。

## 配分函数：R 矩阵

卡果美晶格如图1所示。它由周期性排列的三角形和六边形组成。伊辛模型的自旋 $s_\alpha = \pm 1$ 位于晶格顶点上，仅考虑最近邻相互作用。非均匀情形的自旋-自旋相互作用由三种不同的耦合 $J_i$（$i = 1, 2, 3$）描述，分别附加在三个不同方向取向的链上。配分函数为：

$$Z = \sum_{s_\alpha s_\beta s_\gamma} \prod_{\alpha\beta\gamma} e^{J_1 s_\alpha s_\beta' + J_2 s_\beta s_\gamma + J_3 s_\alpha s_\gamma}$$

然而，也有可能

## 费米子场表述

在文献 [28] 中，使用了配分函数的费米子实现来分析八顶点模型。在本工作中，我们将这些结果应用于由式 (2.7) 定义的特殊情形。

每个晶格点 $(i, j)$ 处的二维自旋态以费米子形式表示为二维 Fock 空间 $|0\rangle_{ij}$ 和 $|1\rangle_{ij}$ 的基元素。这些态满足：

$$c_{ij}|0\rangle_{ij} = 0, \quad c_{ij}^+|0\rangle_{ij} = |1\rangle_{ij}$$

其中 $c_{ij}$ 和 $c_{ij}^+$ 是费米子湮灭算符和产生算符，满足

## 临界点

通过引入记号 $A[J_1, J_2, J_3] \equiv A_2$（参见式 (3.30)）和 $p_{ij} \equiv [\pi(n_i + n_j + 1)/N]$，配分函数可以写成紧凑的乘积形式：

$$Z(J_1, J_2, J_3) = \prod_{n_i, n_j}^{N, N} \{A_1 + A[J_1, J_2, J_3]\cos\frac{\pi p_i}{N} + A[J_2, J_3, J_1]\cos\frac{\pi p_j}{N} + A[J_3, J_1, J_2]\cos\frac{\pi ij}{N}\}$$

系统的临界行为由行列式的零值决定。这些零值对应自由能的奇点，从而定义了临界面。

与方形晶格上的普通伊辛模型类似，热力学极限 $N \to \infty$ 是

## 自发磁化

在文献 [28] 中，我们发展了一种方法来计算具有自由费米子性质的二维自旋模型在铁磁情形下的磁化强度。该方法基于模型的费米子（格拉斯曼）表述，使用标量费米子和连续泛函积分。

自发磁化 $\langle s_{(i,j)} \rangle$ 可以从无限 $N \times N$ 晶格上自旋-自旋关联函数的长距离行为中得出：

$$\langle s_\alpha(i,j) \rangle^2 = \lim_{N \to \infty} \lim_{K \to \infty} \langle s_{(0,0)} s_{(K,K)} \rangle = \lim_{N \to \infty} \lim_{K \to \infty} \langle s_{(0,0)}$$

## 总结

我们使用 R 矩阵的费米子表述，遵循文献 [28], [29], [30] 中发展的技术，给出了卡果美晶格上二维伊辛模型（2DIM）的解。费米子表述提供了一种方便且系统的方法来分析该模型，因为它将自旋自由度映射到具有明确代数性质的费米子变量上。该方法对于处理各向异性尤其有用，其中耦合取决于方向。

## CRediT 作者贡献声明

Shahane A. Khachatryan：撰写 – 原稿、方法论、调查研究。
Zhidong Zhang：撰写 – 审阅与编辑。
Ara G. Sedrakyan：撰写 – 审阅与编辑、监督、方法论、概念化。

## 利益冲突声明

不存在利益冲突。

## 致谢

A.S. 感谢金属研究所的热情接待，本工作在此启动。Sh. Kh. 和 A.S. 的工作还得到了 HESC 基金资助 21AG-1C024 和 24FP-1F039 的支持。Z.Z. 的工作得到了国家自然科学基金资助 52031014 的支持。

Shahane A. Khachatryan | Zhidong Zhang | Ara G. Sedrakyan