辛几何诠释的（量子）宇宙学

《Annals of Physics》：A Symplectic interpretation of (quantum) cosmology

　　

摘要

本文证明，具有宇宙学意义的迷你超空间可等价地表示为由一个形如标准形式 ?? ～ η??p?p? + U(q) 的简单哈密顿量所定义的动力学系统，但其相空间上的辛结构并非正则形式。相应量子理论通过几何量子化构建，所得 Wheeler-DeWitt 方程与相关标准量子宇宙学模型完全一致。这为经典和量子宇宙学动力学赋予了纯粹的辛几何解释。文中还构造了一些非交换推广。

引言

以下对本论文主体所需几何背景作简要说明。

从几何观点看，普通力学系统的相空间是配置空间流形 ?? 的余切丛 T*??；通常配置空间配有一个黎曼度量（相关微分几何概念可参见，例如，[1]、[2]、[3]、[4]）。另一方面，相空间本身始终带有非退化闭 2-形式——正则辛形式 ω。该可逆 2-形式 ω 进而定义了一个双矢量场 ??（即 ω 的逐点矩阵逆），通过 {f, g} ? ??(df, dg) 定义相空间函数的泊松括号。此外，向量场 X_?? ? ??(·, d??)（与所研究动力学系统的哈密顿函数 ?? 相关联）的流动，给出力学系统演化过程中所遵循的经典轨道。

当相空间以其正则辛形式 ω = dp? ∧ dq? 考虑时，经典代数

{q?, p?} = δ??，{q?, q?} = 0 = {p?, p?}

成立。还需回忆，对于由哈密顿量 ?? = ?? + ?? = ?g??p?p? + ??(q) 定义的普通力学系统（其中配置流形 ?? 携带度量场 g），一致量子化方案通过 [4]、[5] 实现：

?? ? ? = ?(?2/2)Δ + ??(q)

其中 Δ 为所谓的拉普拉斯–贝尔特拉米算符（当 g 平坦且使用笛卡尔坐标时，可得到通常的量子化规则 p ? ?i??/?q）。此处应强调，正则量子代数

[?q?, ?p?] = i?δ?? 1?；[?q?, ?q?] = 0 = [?p?, ?p?]

得到满足。

现在，假设相空间不以其正则辛形式 (3) 考虑，而是以另一个非退化闭 2-形式 ω?。此时，正则代数 (4) 不再满足，因此，根据 Dirac 对应原理，合适的量子代数应取代正则对易关系 (7)。这是现今所谓非交换量子力学（noncommutative quantum mechanics）的一个特殊实例（该主题的综述可见 [6]）。

本信的主要部分致力于证明：某些宇宙学模型可视为基于形如 ?? ～ η??p?p? + ??(q) 的简单哈密顿量定义的动力学系统，但在相应相空间中采用适当的非正则 2-形式。量子理论通过实现几何量子化方案来构建，并证明所得量子框架产生标准正则量子化下相应宇宙学模型所出现的 Wheeler-DeWitt 方程。文中也构造了一些非交换推广。由于几何量子化在理论物理中并非非常标准的工具，下面用一节对其作最基本介绍。

T*R? 的几何量子化

尽管本文研究仅处理 T*R? 这一简单情形，我们仍试图给出较广泛的说明（标准参考可见 [4]、[7]、[8]、[9]、[10]）。设 (??, ω) 为辛流形。设 ??: C∞(??, ?) ? f ? ??(f) = f?（其中 f? 为希尔伯特空间 ? 上的自伴算符）为如下映射，使得：

(q1) ??(1) 为 ? 上的恒等元；
(q2) ?? 是线性的；
(q3) [??(f), ??(g)] = i? ??({f, g}_ω)（f, g ∈ C∞(??, ?)）；
(q4) ??(q?) 与 ??(p_b) 在 ? 上不可约地作用。

在 ?? = T*R? 最简单情形（且 ω = dp? ∧ dq?）下，条件 (q1)–(q3) ……（后文接续）。

辛宇宙学

这是本文主体部分，其中一些（量子）宇宙学模型被展示为普通动力学系统（其哈密顿量形如 ?? ～ η??p?p? + ??(q)）的纯粹辛修正。

最后结论

• 经典 FLRW 模型家族被证明可由如下非常简单哈密顿量定义的动力学系统产生：

?? = ?(?p?2/6 + p_φ2) + ??(φ) ? 3k/a?

但其相空间携带稍作修正的辛形式

ω? = (1/a) dp? ∧ da + dp_φ ∧ dφ。

• 另一方面，FLRW 家族的标准 Wheeler-DeWitt 量子宇宙学被看到从前一点所提及的经典系统的几何量子化中涌现。特别地，非交换量子代数

[a, a_p?] = i? a；[φ?, p?_φ] = i?

被看到 ……

未引用参考文献 [15]

利益冲突声明：作者声明不存在可能影响本文研究工作的、所知的竞争性经济利益或个人关系。

致谢：作者获得 SNI-SECIHTI 的部分支持。

Abraham Espinoza-García