分数阶区室模型结合人工神经网络用于麻疹传播动力学研究：以澳大利亚为例

《Applied Soft Computing》：Fractional-Order Compartmental Model Integrated with Artificial Neural Networks for Measles Transmission Dynamics: A Case Study of Australia

　　

**摘要** 麻疹仍然是一种高度传染性的病毒性疾病，也是严峻的公共卫生挑战。尽管已有有效的疫苗，但免疫力减弱、疫苗接种覆盖率不完整以及感染病例报告不足等问题持续削弱着防控工作。这些问题凸显了需要一种智能计算框架来支持流行病学决策并强化预防策略。本研究提出了一种融合人工神经网络框架的分数阶麻疹模型。该模型旨在更准确地捕捉流行病学过程中固有的复杂非线性及记忆效应。该方法将解析分数阶建模与神经网络计算相结合，其性能通过MSE、RMSE和MAE值进行评估。此外，还考察了分数阶模型的关键基本性质，包括解的存在性和唯一性、平衡分析、基本再生数以及Hyers-Ulam稳定性，同时利用澳大利亚1997-2022年的麻疹数据通过最小二乘法估计模型参数。估计的再生数为0.9096，表明在当前条件下疾病传播得到有效控制。人工神经网络不仅提高了计算效率，还保留了分数阶建模的本质动力学特征。还观察到偏离整数阶行为的微小偏差显著影响麻疹动力学，强调了分数阶框架对于准确可靠地近似麻疹传播动力学的必要性。

**引言** 麻疹是一种急性病毒传播疾病，其传播效率极高，且其传播动力学在很大程度上取决于周围人群的免疫水平。根据世界卫生组织（WHO）的数据，2019年麻疹病例数达到869,770例，为1960年以来记录的最高发病数[1]。这一增长出现在WHO所有区域，与2016年相比，麻疹相关死亡率几乎增加了50%，2019年估计死亡人数达207,500例。麻疹病毒[2]通过飞沫传播，可在数小时内保持传染性，使个体在症状出现前后均可传播感染。此外，该病毒会抑制免疫系统，增加后续感染的风险。危及生命的并发症可能包括脑炎（大脑炎症）、肺炎和死亡[3]。

疫苗接种仍然是最可靠的预防手段，主要通过麻疹-流行性腮腺炎-风疹（MMR）疫苗和麻疹-流行性腮腺炎-风疹-水痘（MMRV）疫苗提供保护。CDC推荐两剂MMR接种方案，第一剂在12-15个月龄时接种，第二剂在4-6岁之间接种。坚持MMR疫苗接种对于维持群体免疫和防止疫情暴发不仅对儿童至关重要，对青少年和成人也同样重要。MMR疫苗预防麻疹的有效性约为97%；然而，近年来疫苗接种覆盖率有所下降，疫苗接种失败率仍超过3%，对疾病控制构成风险。1963年麻疹疫苗引入之前，美国每年经历数百万例麻疹感染和数百例麻疹相关死亡[4]。尽管全球疫苗接种项目已大幅减少麻疹暴发，但疫苗接种率低的地区仍面临控制疫情的挑战[5]。了解麻疹传播动力学并加强公共卫生干预对于减轻和降低疾病负担至关重要。

数学建模是研究麻疹动力学和追踪感染趋势的有力工具。它提供了有价值的见解，帮助政府和公共卫生机构设计并实施有效的控制措施[6]、[7]、[8]、[9]、[10]。Peter等人[11]建立了确定性和分数阶模型，通过明确纳入第一剂和第二剂疫苗接种区室来研究麻疹传播动力学，以评估疫苗接种的影响。Aguegboh等人[12]建立了分数阶麻疹模型，描述麻疹如何传播以及疫苗接种在减少其传播中发挥的重要作用。Alshammari等人[13]利用Caputo分数阶导数建立了分数阶SEIR麻疹模型，以更好地捕捉疾病传播中固有的记忆效应。Khan等人[14]使用具有调和均值型感染率的确定性和分数阶模型来描述人群中麻疹的传播动力学。同样，研究者[15]、[16]、[17]、[18]也采用分数阶模型研究了麻疹的动力学。

人工神经网络（ANNs）已成为强大的计算工具，广泛应用于图像分析、时间序列预测、模式检测和自然语言理解等领域。其适应性源于多种学习技术，如有监督和无监督方法。尽管存在这些挑战，ANNs具有高度通用性，但也存在明显局限性。这些包括高计算需求、需要大量训练数据集以及过拟合问题——即模型学习了噪声而非真实模式，在新数据上表现不佳。尽管面临这些挑战，ANNs具有高度通用性，已被有效地应用于广泛的数学和科学建模领域[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]。

Rahman等人[26]采用ANN框架分析和验证了分数阶Omicron模型。Huang等人[27]开发了一种使用Levenberg-Marquardt反向传播算法训练的神经网络求解器，以获得分数阶乳腺癌模型的数值解。Shafqat等人[28]采用人工神经网络近似和验证CF分数阶SIQR模型的解轨迹。Zahri等人[29]开发了基于SDE-NNs的混合模型，以更准确地捕捉时滞效应。Guedri等人[30]设计了与神经网络耦合的SITRM模型，以研究残疾进展对疟疾动力学的影响。为准确研究腐败动力学，Farooq等人[31]使用了分数阶-ANN混合模型。为更准确精确地捕捉人群中疥疮的动力学模式，Shah等人[32]研究了随机-ANN混合模型。Zarin等人[33]利用ANN-LMB洞察，使用非线性区室模型研究脑型疟疾动力学。

智能计算建模的最新进展也展示了非线性自回归外生神经网络（NARX-NN）在捕捉生物和生理系统中复杂非线性动力学方面的能力。Sabir等人[34]引入了一种采用贝叶斯分布式算法反向传播的NARX网络，用于对非线性时滞帕金森病系统中的脑电活动节律进行建模。Mukhtar等人[35]构建了具有外生输入的智能神经网络结构，通过Levenberg-Marquardt算法优化，以研究治疗干预下帕金森病的分数阶固有免疫应答。此外，Mukhtar等人[36]采用自适应贝叶斯神经网络求解器处理了一种新的位置相关皮层节律的非线性分数阶帕金森病模型。这些工作表明，混合分数阶-神经网络框架处于计算生物医学建模的前沿，而NARX型架构明确将时间外生输入编码为滞后回归量，代表了现有方法的一个有前景的扩展。

上述现有研究主要依赖经典或分数阶数学模型来分析疾病动力学和疫苗接种效应，或将经典模型与ANN相结合。尽管这些模型提供了理论见解，但其实际应用有限。真实数据中强烈的非线性、记忆效应和报告不足病例降低了其预测可靠性。同时，基于神经网络的专家和智能系统在从数据中学习复杂模式方面表现出强大能力；然而，它们通常在没有纳入流行病学结构或分数阶动力学的情况下开发。这种机制性建模与智能系统之间的分离降低了预测的可靠性和可解释性。

在本研究中，我们开发并数值分析了一个融合人工神经网络方法的分数阶麻疹传播模型，以探索麻疹在人群中传播的非线性动态行为。本研究的新颖贡献如下：
- 利用Atangana-Baleanu-Caputo导数建立了分数阶麻疹传播模型，以捕捉记忆效应和历史依赖的流行病学动力学。
- 该模型明确区分了报告不足和已报告的感染者，以考虑未检测到的麻疹病例的隐性传播。它还纳入了易感者、暴露者、第一剂疫苗接种者、第二剂疫苗接种者和康复者区室，以捕捉人群中麻疹的非线性动力学。
- 严格研究了所提模型的基本数学性质，包括解的存在性和唯一性、无病平衡和地方性平衡分析、基本再生数以及Hyers-Ulam稳定性。
- 采用人工神经网络作为数据驱动的近似工具，学习由Atangana-Baleanu数值方案（Caputo意义下）生成的分数阶麻疹模型的解轨迹。这使得ANN能够在利用分数阶模型的记忆捕捉能力的同时重现分数阶系统的复杂非线性动力学。
- 使用MSE、RMSE和MAE评估ANN的近似性能，以评估其重现分数阶系统非线性动力学的能力。
- 利用基于澳大利亚真实麻疹数据的最小二乘误差优化技术估计模型参数。

该方法将分数阶建模的记忆捕捉优势与人工神经网络的近似能力相结合，从而提高了麻疹传播分析的可解释性和预测可靠性。

**节段摘要**

**预备知识** 分数阶微积分是普通微积分的扩展，其中导数和积分采用非整数阶。由于系统的当前状态可能受其整个历史的影响，分数阶微分方程自然地编码了记忆和遗传效应。正因为这一特性，分数阶模型通常更适合生物和流行病学问题，在这些问题中当前动力学受早期事件的影响。在传染病建模中，

**数值方案** 利用文献[45]中的方法，麻疹模型（3）取如下形式：

$$\begin{cases} ABC_{\mathfrak{I}}^{\alpha_t} S = \hbar_1(t, S, V_f, V_s, L, I_u, I_r, R) \\ ABC_{\mathfrak{I}}^{\alpha_t} V_f = \hbar_2(t, S, V_f, V_s, L, I_u, I_r, R) \\ ABC_{\mathfrak{I}}^{\alpha_t} V_s = \hbar_3(t, S, V_f, V_s, L, I_u, I_r, R) \\ ABC_{\mathfrak{I}}^{\alpha_t} L = \hbar_4(t, S, V_f, V_s, L, I_u, I_r, R) \\ ABC_{\mathfrak{I}}^{\alpha_t} I_u = \hbar_5(t, S, V_f, V_s, L, I_u, I_r, R) \\ ABC_{\mathfrak{I}}^{\alpha_t} I_r = \hbar_6(t, S, V_f, V_s, L, I_u, I_r, R) \\ ABC_{\mathfrak{I}}^{\alpha_t} R = \hbar_7(t, S, V_f, V_s, L, I_u, I_r, R) \end{cases}$$

我们得到如下迭代形式：

$$S(w+1) = S(0) + \frac{1-\alpha}{M(\alpha)} \hbar_1(t_w, S, V_f, V_s, L, I_u, I_r, R) + \frac{\alpha}{M(\alpha)} \sum_{j=0}^{b} \left[ \frac{h^\alpha \hbar_1(t_j, S, V_f, V_s, L, I_u, I_r, R)}{\Gamma(\alpha+2)} \{(b+1-j)^\alpha(b+2-j+\alpha) - (b-j)^\alpha(b+2-j+2\alpha)\} - \frac{h^\alpha \hbar_1(t_{j-1}, S, V_f, V_s, L, I_u, I_r, R)}{\Gamma(\alpha+2)} \right]$$

**图形表示与讨论** 本节对麻疹模型（3）进行数值模拟，以研究状态变量在指定时间段内的行为。麻疹模型的相应参数值为：$\Lambda = 634.59$，$\mu = 3.4247 \times 10^{-5}$，$\rho_1 = 5.3698 \times 10^{-4}$，$\xi = 1 \times 10^{-6}$，$\rho_2 = 6 \times 10^{-3}$，$\sigma = 0.1$，$p = 0.30$，$\delta = 0.10$，$\alpha_u = 1.25 \times 10^{-4}$，$\gamma_u = 0.0714286$，$\gamma_r = 0.125$，$\alpha_r = 1.25 \times 10^{-4}$，$\beta_1 = 0.000000198$，$\beta_2 = 0.00000000198$。图3说明了$\beta_1$的影响，$\beta_1$是报告不足的麻疹病例与易感者之间的有效接触率。

**结论** 在本研究中，建立了分数阶麻疹模型并进行数值分析，以更好地利用神经网络方法理解麻疹的长期动力学。ANN与分数阶模型的集成提供了一个更可靠、更准确的学习型计算框架，用于捕捉麻疹动力学中的记忆效应和非局部相互作用。麻疹模型（3）的数学性质已得到严格研究，包括存在性和

**未来工作** 未来的研究可以将所提模型扩展到纳入随机效应，捕捉麻疹传播和报告中的随机波动。可以加入时滞效应，以更真实地表示潜伏期、延迟诊断、疫苗接种延迟和治疗延迟。还可以进一步使用物理信息神经网络进行增强，以在有限数据条件下改善学习，同时保持潜在的流行病学结构。该框架还可以被训练并

**未引用参考文献** [39]；[40]；[41]

**CRediT作者贡献声明** Khan Usman：写作 – 审阅与编辑、软件、方法论、数据整理。陈昀：写作 – 审阅与编辑、写作 – 初稿、监督、数据整理、概念化。

**利益冲突声明** 作者没有利益冲突需要披露。

**致谢** 作者没有致谢内容。

**竞争利益声明** 不存在竞争性的财务或个人利益。

**出版同意** 本文稿已获所有作者批准发表。

Usman Khan | 陈昀

郑州大学数学与统计学院，河南郑州 450001，中国