一种具有收敛性保证的、用于反应式避障的平滑惩罚反馈律

《Automatica》：A smooth penalty-based feedback law for reactive obstacle avoidance with convergence guarantees

　　

## 摘要

本文研究了在充满未知障碍物的环境中，仅依靠局部传感信息进行安全自主导航的问题。我们提出了一种从无约束罚函数法导出的平滑反馈控制器，该方法在结构上保证了安全性。该控制器通过闭式表达式对任意名义输入进行修改。所得的闭式反馈具有投影结构，在名义控制和其在障碍物边界切空间上的正交投影之间进行插值，从而确保用户定义安全余量的正向不变性。控制律仅依赖于到障碍物的距离和方位角，不需要地图、切换或集合构造。当名义输入为导航势函数的梯度下降时，我们证明了闭环系统能够几乎全局渐近稳定（AGAS）到目标点。在不希望的平衡点方面，我们在一种温和的几何曲率条件下证明了它们是不稳定的，该条件将障碍物边界的法曲率与势函数的等值线曲率进行比较。我们将所提出的方法称为SPF（安全罚函数反馈），该方法确保了安全和平滑的导航，并且计算开销最小，这一点在复杂2D和3D环境的仿真实验中得到了验证。

## 引言

在杂乱且未知的环境中进行自主导航仍然是机器人领域的一项基本挑战，在地面、空中和水下平台中具有关键应用。一个关键目标是在实时应用中仅使用局部传感信息来避免碰撞，而不依赖预先存在的地图或全局规划。尽管在反应式导航策略设计方面已取得显著进展，但现有方法往往无法同时满足简洁性、平滑性和全局保证。许多方法依赖于复杂逻辑、不连续性或基于情况的切换，这阻碍了它们与高阶动力学实时系统的集成。这促使我们开发一种纯反应式闭式控制器，既平滑又易于实现，同时确保安全并全局收敛到目标。我们的工作是提出这样的解决方案，使用无约束罚函数反馈，能够无缝地与名义控制律混合，并根据障碍物接近程度连续适应。

已经开发了各种方法来应对自主导航的挑战。这类方法中很大一部分假设对环境有先验知识，属于全局或基于地图的方法。这些方法包括基于环境网格或图表示的离散路径搜索方法（例如Dijkstra算法、A*算法），以及基于采样的算法，如快速探索随机树（RRT）和概率路线图（PRM）。反馈运动规划技术也属于此类（LaValle, 2006）。

为了克服经典人工势场中的局部极小值问题（Khatib, 1986, Koditschek, 1987），导航函数框架被引入到拓扑简单的环境中，如欧氏球面世界（Rimon & Koditschek, 1992）。该方法已被扩展到多智能体系统（Dimarogonas等, 2006, Tanner和Kumar, 2005）。虽然导航函数通常需要仔细调整参数以消除局部极小值，但导航变换（Loizou, 2017）和预设性能控制（Vrohidis, Vlantis, Bechlioulis, & Kyriakopoulos, 2018）等新方法可以在不需要这种调参的情况下解决该问题。混合反馈方法也被提出用于消除不希望的平衡点并确保全局渐近稳定性，如Berkane等（2019, 2022）、Casau等（2020）、Sanfelice等（2006）中所探讨的那样。然而，所有这些方法的共同局限性是它们依赖对环境的完整知识来保证安全性和收敛性。

反应式方法已被开发用于在未知环境中导航，更加强调机器人系统的自主性和适应性。早期的策略如Bug算法（Choset等, 2005, Lumelsky和Stepanov, 1986）提供了直观解决方案，但难以推广到高维环境。对于拓扑简单的障碍物配置，导航函数方法已被扩展到未知环境中（Filippidis和Kyriakopoulos, 2011, Lionis等, 2007）。Arslan和Koditschek（2019）中的基于传感器的方法使用分离超平面来识别机器人可以安全导航的局部自由空间，在强凸性假设下提供了几乎全局渐近稳定性（AGAS）保证。针对未知平面环境的混合反馈控制器也在Cheniouni等（2026）、Sawant, Berkane, Polushin, and Tayebi（2023）、Sawant等（2024）、Sawant等（2026）中进行了探索，实现了绕凸和非凸障碍物的安全导航。尽管在各自环境中有效，但这些方法通常仅具有连续性，且依赖于切换逻辑或从传感数据构建的复杂几何结构。

控制障碍函数（CBF）提供了另一个反应式框架，用于在实时中执行安全性，特别是在安全关键系统中（Wieland & Allg?wer, 2007）。对于控制仿射系统，CBF产生关于输入仿射的安全条件，通常通过二次规划（QP）在线执行。CBF与控制Lyapunov函数（CLF）在统一QP框架中的组合由Ames, Xu, Grizzle, and Tabuada（2017）开发。然而，Reis, Aguiar, and Tabuada（2021）表明CLF-CBF-QP控制器可能会引入不希望的平衡点，其中一些可能是渐近稳定的。相关发展包括基于拟保形映射和基于CBF的QP的反应式导航（Notomista, Choi, & Saveriano, 2025），以及使用降阶模型进行高维系统鲁棒安全关键控制（Molnar & Ames, 2023）。然而，这些方法仍然需要几何映射和/或在线约束优化。值得注意的是，在单积分器动力学且无输入约束的特定情况下，CBF-QP安全滤波器具有闭式解，可以解释为修改名义控制以满足安全约束。然而，这类方法仍然依赖于不等式约束的执行，通常在约束激活边界处不光滑，尽管在标准正则性条件下具有局部Lipschitz连续性。尽管已有各种努力构建平滑安全滤波器（Cohen, Ong, Bahati, & Ames, 2023），但据我们所知，目前尚无通用框架能够同时适应感知限制、产生平滑反馈律并提供可证明的几乎全局渐近稳定性保证。这些局限性促使我们寻找一种平滑的、基于传感器的闭式反馈律，能够同时从大吸引域内确保安全性和收敛性。

基于现有反应式导航方法的局限性，我们提出了一种统一框架，仅使用局部信息即可同时保证安全性和收敛性。本研究受到我们先前开发的Safety Velocity Cone（SVC，安全速度锥）方法（Berkane, 2021, Smaili和Berkane, 2024）的启发，该方法使用集合不变性原理（Nagumo, 1942）仅基于局部传感实现任意维度环境中的安全导航。虽然该方法在确保安全方面有效，但Smaili和Berkane（2024）中产生的控制器仅具有Lipschitz连续性，因此与需要可微反馈的系统兼容性较差。在本文中，我们通过将平滑控制器构建为无约束罚函数优化问题的解来扩展该方法，从而产生统一的、可调节的反馈结构。

本工作的贡献有四个方面。首先，我们从无约束罚函数法中推导了一个任意平滑的反馈律，称为SPF（Safe Penalty-based Feedback，安全罚函数反馈）。与混合方法和基于集合的方法（通常最多产生连续控制器）（Arslan和Koditschek, 2019, Cheniouni等, 2025, Sawant, Berkane, Polushin, and Tayebi, 2023）不同，所提出的设计确保了平滑性，非常适合与涉及高阶动力学或轨迹跟踪的系统集成。注意，与经典罚函数方法（Mestres & Cortés, 2023）相比，经典方法依赖固定的罚参数，我们的方法引入了一种状态相关的罚缩放函数，该函数根据机器人相对于附近障碍物的位置和朝向连续适应。这种结构增强了边界附近的响应能力，同时在自由空间中保持名义性能。其次，所提出的反馈仅依赖于两个量：到最近障碍物的距离和相对于其边界的方位角，避免了先验地图、切换逻辑或几何预处理的需要。这产生了一个简单轻量级的解决方案，适合实时实现。第三，对于任意名义输入，安全性都得到了保证，当名义控制器为势函数的梯度下降时，我们证明了闭环系统的几乎全局渐近稳定性（AGAS）。所得的控制律作为一种最小侵入性修改，保持了原始策略的目标寻求行为。第四，我们在一种放松的几何曲率条件下建立了所有不希望的平衡点的不稳定性。与早先的强曲率假设（Arslan和Koditschek, 2019, Cheniouni等, 2025, Paternain等, 2018）不同，我们的条件仅要求存在一个满足不等式的切方向，使其显著不那么保守——尤其是在高维环境中。我们通过复杂2D和3D环境中的仿真验证了所提出SPF方法的性能。

本文的结构反映了所提出框架的主要组成部分。第2节介绍符号和几何预备知识。第3节定义未知环境中的导航问题，并基于最小局部传感制定可行性条件。第4节介绍主要理论贡献：一种平滑的基于罚函数的反馈律，该律对任意名义输入保证安全性，保持目标寻求行为，并在简单的几何条件下确保几乎全局渐近稳定性——即障碍物边界局部比势函数的等值线更弯曲。第5节提供复杂2D和3D环境中的数值验证。第6节以总结和未来研究方向作为结论。

## 符号说明

设?、??和?分别表示实数集、正实数集和自然数集。设??为n维欧氏空间，其中n∈?。设‖?‖表示欧氏范数算子。对于子集A???，设int(A)、?A、ā和?A分别表示A在??中的拓扑内部、边界、闭包和补集。对于函数f(x):??→?，设?f(x)和?2f(x)分别表示f关于x的梯度和Hessian矩阵。对于向量场F(x):??→??，设?F(x)表示

## 问题形式化

我们考虑一个半径为R>0的球形机器人，其中心位于x∈??。机器人在工作空间W???中运行，W被假设为欧氏空间的子集。设O??W，i∈{1,…,m}，表示工作空间中存在的m个闭合子集，代表障碍物。设X为自由空间，定义为X?W??????int(O?)。

障碍物区域为自由空间的补集?X。设d?X(x)为距离函数，度量从点x∈

## 主要结果

我们的目标是确保机器人在实际自由空间X?内的安全导航，通过保证该集合的正向不变性和收敛到期望的目标位置x_d。此外，我们寻求设计一个控制器，使其尽可能最小地偏离名义控制输入κ?(x)——这一性质称为最小侵入性。

为实现此目标，我们基于以下无约束优化问题的解构建控制策略：

min (1/2)‖u?κ?(x)‖2 + (1/2)ψ(d_μ(x), s_ν(x))(u?η(x))2

其中ψ:?

## 仿真结果

在本节中，我们通过运行2D和3D仿真来演示所提出的平滑控制器在保证未知环境中安全导航方面的性能。目标是验证前几节中推导的理论结果，特别是控制律提供的安全性和收敛性保证。

为此，我们考虑以下二次正定函数：V(x) = (1/2)(x?x_d)?P(x?x_d)

其中P∈????为正定矩阵。由此得出

## 结论

本文介绍了SPF（Safe Penalty-based Feedback，安全罚函数反馈），这是一种新颖的罚函数框架，用于反应式避障，仅使用局部传感信息即可保证安全性和收敛性。通过将控制器构建为无约束优化问题的闭式解，我们获得了平滑反馈律，该律在避免碰撞的同时最小程度地偏离给定的名义控制器。

理论结果建立了针对任意名义输入的

Lyes Smaili于2022年从阿尔及利亚国家理工学院获得机械工程本科和硕士学位。他目前加拿大魁北克省加蒂诺的渥太华大学计算机科学与工程系信息科学与技术专业攻读博士学位。他是IEEE研究生会员。他的研究方向包括自主导航、状态估计和自主机器人系统。

Lyes Smaili | Soulaimane Berkane