针对不确定的非线性系统，采用规定的性能输出跟踪方法，并提供安全性保障

《Automatica》：Prescribed performance output tracking with safety guarantees for uncertain nonlinear systems

　　摘要
本文提出了一种低复杂度的控制方案，适用于存在输出和状态约束的不确定非线性多输入多输出（MIMO）系统。该方案结合了预定的性能控制（PPC）方法，并融入了在整个状态空间上定义的安全相关、状态依赖和时间依赖的约束条件。我们证明了闭环系统的稳定性，并确保了在过渡阶段和稳态阶段都能达到预定的输出跟踪性能。此外，我们正式定义了允许的初始条件、参考信号和约束条件的非空集合，以确保始终能够实现控制目标。对于任意的初始条件和参考信号，我们提出了一种控制方案的修改版本，该版本能够在用户定义的有限时间内保持系统稳定性并满足状态约束，同时优先考虑安全性而非输出跟踪精度。所提出的控制器无需知道系统的非线性特性，避免了近似结构、自适应或基于优化的技术，从而保持了低计算复杂度。通过在一个双连杆机器人操纵器上的仿真验证了该方法的有效性。

引言
在控制理论中，特别是在安全至关重要的应用中，强制执行状态约束是一个基本挑战，因为违反物理或操作限制可能会危及性能和安全性。这些约束对于确保复杂系统的安全和可靠运行至关重要，特别是在自动驾驶汽车、机器人技术和航空航天等领域，其中违反约束可能会产生严重后果。一种用于在全状态约束下控制系统的方法是参考和命令调节器（RCG）方法（参见Garone等人（2017年）及其参考文献）。RCG是一种附加控制架构，通过必要的情况下修改参考信号来强制执行约束。另一种方法是控制屏障函数（CBFs）（Agrawal和Panagou，2021年；Ames等人，2017年；Dong等人，2024年；Isaly等人，2024年；Jankovic，2018年；Liu等人，2021年；Long和Wang，2022年；Romdlony和Jayawardhana，2016年；Salehi等人，2020年；Wang和Xu，2024年；Xiao等人，2024年；Xu等人，2015年），它们通过实时优化修改控制输入来保证状态约束得到满足，从而使轨迹保持在安全范围内。然而，RCG和CBFs方法都存在明显的局限性，特别是在复杂性和系统需求方面的要求上。RCG需要明确的系统模型和已知的干扰范围，而CBFs尽管可以通过实时修改控制输入来抵抗未知干扰，但通常需要大量的计算资源。此外，CBFs通常需要详细的系统知识，这可能会在高系统不确定性下限制其鲁棒性。

为此，已经提出了适应性控制框架来应对状态约束问题，以进一步提高在不确定环境下的鲁棒性（Li等人，2019年；Min等人，2021年；Song和Zhou，2018年）。这些方法涉及复杂的适应律，可能会增加计算负担。重要的是，这些现有方法主要关注于强制执行状态约束，而不保证对输出跟踪误差的预定用户定义的性能特性（如最大超调、最小收敛速率或最大稳态误差）。在这种情况下，预定的性能控制（PPC）在过渡阶段和稳态阶段都证明了其在强制执行预定义输出性能规范方面的有效性。PPC最初由Bechlioulis和Rovithakis（2008年）引入，并已广泛应用于各种类别的不确定非线性系统中（参见Aforozi和Rovithakis，2024年；Bechlioulis和Rovithakis，2014年；Bechlioulis和Rovithakis，2017年；Bikas和Rovithakis，2018年；Bikas和Rovithakis，2024年；Fotiadis和Rovithakis，2024年；Katsoukis和Rovithakis，2022年；Mehdifar等人，2025年）。PPC在保持低复杂度的同时提供了强大的性能保证，因为它不依赖于近似结构、优化或自适应机制。然而，传统的PPC方案仅确保系统状态的有界性，而不强制执行严格的用户定义的状态约束。

为了克服这一限制，一些工作（Chang等人，2024年；Song和Sun，2022年；Sun和Pan，2019年；Wang等人，2024年；Xu等人，2023年；Yao等人，2024年）将PPC与自适应或切换机制结合使用来强制执行全状态约束，但这通常会增加控制复杂性。Li等人（2025年）部分解决了这一问题，提出了一种非自适应、非切换的PPC方案。然而，在那种情况下，约束是“软”的，会动态放宽以保持控制的可行性。现实世界中的约束既是状态依赖的，也是时间依赖的。例如，自动驾驶汽车需要精确跟踪参考轨迹，并实时调节速度，同时适应环境和天气变化。尽管最近有所进展，但在实际应用中，如何在保证所有系统状态的安全相关约束的同时实现具有预定过渡和稳态特性的跟踪性能仍然是一个尚未充分解决的问题。

为了填补这一空白，本文提出对经典PPC方法的修改，以在一类不确定的多输入多输出（MIMO）非线性系统中强制执行状态依赖和时间依赖的刚性约束。所提出的控制方案保证：
(1) 输出跟踪误差在预定义的、指数递减的性能范围内演变，满足过渡和稳态规范；
(2) 所有系统状态都保持在预定义的状态依赖和时间变化的约束范围内；
(3) 控制结构的复杂度保持较低，与经典PPC一致。

我们严格定义了一组允许的初始条件和参考信号，以确保实现控制目标。对于任意的初始条件和参考信号，我们提出了一种控制修改版本，能够在用户定义的有限时间内保持系统稳定性并满足约束条件，同时优先考虑安全性而非输出质量跟踪。控制器无需事先知道干扰范围，避免了自适应机制、近似结构或基于优化的技术，确保了适合实时实现的低计算复杂度。

本文的其余部分组织如下：第2节我们阐述了问题；第3节提出了解决问题的必要条件以及为此目的设计的控制器；第4节提供了本研究的主要结果；第5节提出了一种解决初始化条件放宽问题的控制修改方案；第6节通过仿真研究验证和澄清了理论发现；最后在第7节进行总结。

系统类别和假设
考虑多输入多输出非线性系统：
?????=????+1, ??=1,…,???1, ??????=???(?????)+???(?????)????+???(??)，
其中 ????=[??1,??…????,??]?∈???，
?????=[???1…?????]?∈???????是系统状态，
??∈???是系统输出，
??=[??1…????]?∈???是控制输入，
??=[??1…????]?∈???是外部干扰。
函数 ???(?????):??????????? 和 ???(?????):???????????×?? 定义如下：
???(???)?[??1?(?????)…?????(?????)]?，
???(???)??? ????1,1?(?????)…??1,???(?????)???????,1?(?????)…????,???(?????)?? ??，
其中元素 ????, ????,??:????????? 是非线性函数。另外，用 ????:?≥0?? 表示。

控制设计
定义严格递增且连续可微的函数 ???(??)?ln?(1+??1???)，并定义 ???(??)??????(??)????=21???2>0，???1?(?)?????1???+1。控制器设计遵循递归程序：

步骤1 (??=1,…,??,??=1)：
设 ?????(??) 为(4)中定义的性能函数。然后，
????,1?(??)=????,1?(??)??????(??)?????(??)，
???,1?(??)=???(????,1?(??))，
????,1?(??)=?????,1????,1?(??)。

步骤 ?? (??=1,…,??,??=2,…,???1)：
????,???(??)=????,???(??)?????,???1?(??)????,???(??????1,??)，
???,???(??)=???(????,???(??))，
????,???(??)=?????,??????,???(??)。

步骤 ?? (??=1,…,??,??=??)：
????,???(??)=????,???(??)?????,???1?(??)????,??