一种具有分层渗透性海床的新型布西涅斯克型模型：推导、分析与验证

《Coastal Engineering》：A new Boussinesq-type model with layering permeable seabeds: derivation, analysis and validation

　　

摘要 本文通过在透水海底上采用人工分层方式，提出了一个用于不同透水地形上波浪传播的Boussinesq模型。通过引入参数，增强了Boussinesq模型的色散、阻尼、非线性、增容和速度性能。新提出了透水海底上二阶波幅和增容的分析解，并与Boussinesq模型的解进行了对比验证。分析了Boussinesq模型解在透水海底上的波浪速度分布，并与分析解进行了比较。结果表明，在透水层厚度与自由水层厚度之比（相对海底厚度）分别为4、2、2和1的条件下，所提出的模型在1%误差范围内，其相速度、阻尼、二阶波幅和速度性能分别适用于无量纲水深h/L0=0.349、0.14、0.061和0.117。模型的增容性能在6%误差范围内适用于无量纲水深h/L0=0.392、0.097和0.042，对应的相对海底厚度分别为0.5、1和2。采用有限差分法求解数值模型以验证其色散、阻尼和增容特性，并将结果与分析解进行比较。此外，将数值结果与实验数据进行对比，验证了新开发的Boussinesq模型的可行性，并为评估耗散介质上的波浪传播提供了重要参考。

引言 大多数近岸区域的海底是透水的，由鹅卵石、粗砂和砾石等介质组成，在世界范围内广泛分布。这些介质表现出不同的孔隙率，使得海底通常具有透水性。因此，研究透水海底上的波浪传播至关重要。目前，适用于透水海底上波浪传播的主要数学模型包括CFD波浪模型、非静压波浪模型、线性浅水方程波浪模型、Navier-Stokes方程波浪模型和Boussinesq波浪模型（Yamamoto等，1978；Ren等，2023）。Liu等（1996；2007）基于Navier-Stokes方程波浪模型构建了波-渗透相互作用耦合DNS模型，并验证了长波作用下非饱和透水海底的渗透响应。通过将Navier-Stokes方程波浪模型与Brinkman模型耦合，讨论了透水海底内外波浪诱导边界层的流动特性。Tong等（2025）将非线性长波、粘性边界层和非饱和多孔渗透耦合，进一步改进了传统模型的性能缺陷。值得注意的是，Van Gent（1994）将长波方程与水动力学和渗透模型耦合，开发了适用于透水地形上波浪传播的一维数学模型，为后续透水海底上波浪传播研究提供了重要参考。Boussinesq模型由于计算效率高，被广泛用于模拟近岸区域的波浪传播和转化。该模型最初由Boussinesq（1872）提出，后经Peregrine（1967）发展为经典形式，经过近60年的发展，已被证明在模拟近岸区域波浪传播和转化方面非常高效。色散、阻尼、增容、非线性和速度场的准确性已成为评估此类方程能否有效模拟透水近岸地形上波浪传播和演变的标准。

为模拟透水海底上的波浪传播，开发具有出色色散和阻尼性能的Boussinesq型模型一直是该领域的关键研究焦点。Cruz等（1997）在方程中引入了多孔介质阻力项，构建了基于深度平均速度的Boussinesq型模型。该模型的色散性能显著提高，但其阻尼性能仍相对有限。随后，不同学者从不同的控制方程和速度变量出发进行了一系列改进，详见Liu和Sun（2011）的综述。Hsiao等（2022）和Chen（2006）分别基于Euler方程推导出以深度平均速度和任意点速度表示的Boussinesq型模型。此后，Cruz和Chen（2007）对Chen（2006）的模型进行了数值验证，证明了其可行性。Zhang等（2025）采用了Chen（2006）提出的方法来分析船浪与风浪的相互作用，同时考虑了船速、尺寸和几何形状等参数对波浪传播的影响。Liu等（2013）从Laplace方程出发，通过参数化方法建立了约二阶全非线性透水Boussinesq模型，以不同的速度变量表示。值得注意的是，Liu等（2024）通过引入计算速度变量，显著增强了方程的色散和阻尼性能，使模型即使在大水深（h/L0=1，其中h为水深，h/L0为无量纲水深）和高相对海底厚度（hs/h=10，其中hs为海底厚度）条件下仍能保持高精度。为了更好地耦合渗透效应，他们（Liu等，2012；Liu等，2013）将高阶不透水Boussinesq模型与Cruz等（1997）的模型相结合，扩展了模型的适用范围，显著增强了以任意点速度和计算速度表示的Boussinesq模型的性能。然而，基于深度平均速度的模型通常存在阻尼性能不足和依赖多个经验参数的问题。大多数模型在适应不同透水层厚度时，通常通过调整色散系数来优化阻尼性能。虽然这种方法对单频波有效，但在多频波相互作用方面却显得力不从心。由于不同频率分量表现出不同的阻尼特性，难以通过统一系数实现全局优化，从而限制了其工程适用性。为了系统性地改善阻尼性能，本文摒弃了传统仅依靠系数调整进行修正的方法。将透水层划分为人工子层，通过构建分层阻尼机制，可以更合理地表示波浪在多孔介质中的能量耗散，从而增强模型对不同渗透条件和波浪谱的适应性。该方法旨在克服现有模型在阻尼表征方面的不足，并为模拟变渗透率海底上多周期波浪传播提供更可靠的数值模型。

增容性能是衡量波浪从近海传播至近岸时波参数变化的关键指标，也是评估各种波浪模型准确性的重要依据。对于不透水海底，Boussinesq型模型的增容性能已得到充分研究和优化。Madsen和S?rensen（1992）率先将增容梯度项引入Boussinesq模型。随后，Sch?ffer和Madsen（1995）通过引入色散和增容修正参数，系统性地增强了模型的增容性能。在此基础上，众多研究通过优化和校准增容参数推动了模型性能的持续改进（Chen等，1995；Beji和Nadaoka，1996；Zou，1999；Zou，2000；Lynett和Liu，2004；Liu和Sun，2005），并得到了Galan等（2012）和Simarro等（2013）的确认。近年来，Sun等（2023）通过引入包含粘性效应的计算速度变量，进一步扩展了不透水地形下Boussinesq模型的适用性和准确性。Liu等（2015）采用变换速度公式并校准相关参数，进一步提高了二维和三维模型的增容性能。

二阶波幅是表征波浪传播非线性特征的重要指标，常被用作评估波浪模型准确性的标准之一。对于不透水海底，Boussinesq型模型的非线性已得到广泛研究和优化。Wei等（1995）基于Laplace方程推导出了一组约二阶全非线性Boussinesq型方程。随后，许多学者采用各种方法增强了这些方程的非线性性能和适用性。Madsen等（1998）和Madsen等（2020）通过引入边界条件将Boussinesq型模型扩展到四阶全非线性，并分析了方程的非线性特性和稳定性。Zou和Fang（2008）也通过引入垂直坐标变换增强了模型的性能。Lynett和Liu（2004）采用人工分层方法推导了约二阶全非线性双层和多层Boussinesq型模型。Rao等（2021）利用数值模型结合实验证明了分层方法可以增强模型的非线性性能；Liang等（2025）提供了最大适用水深。Liu等（2012）和Fang等（2013）通过引入具有非线性特征的参数化项，增强了以深度平均速度表示的模型的非线性性能，其方法得到了Sun等（2021）的验证。Sun等（2023）引入了人工粘性，推导了粘性条件下Stokes二阶波幅的分析解，并进行了相应的非线性理论分析和数值验证。

速度场是描述近岸区域波浪传播和演变的关键量之一，常被用作评估Boussinesq模型等数学模型准确性的重要标准。最初，Peregrine（1967）推导了以自由面升落和深度平均速度表示的经典Boussinesq型模型。随后，学者们主要通过改变速度变量的表示方式或引入附加项来改善这些方程的速度性能。Nwogu（1993）和Gobbi等（2000）分别提出了以任意点速度和计算速度表示的Boussinesq型方程，提高了模型中水平和垂直速度的垂直分布精度。Liu和Fang（2016）即使在kh=23.2的条件下，通过定义计算速度并采用水柱分层，实现了垂直速度分布的高精度和最小误差。随后，Liu等（2018）和Liu等（2019）采用类似方法开发了多层Boussinesq型模型，将精确速度模拟的有效范围扩展到kh=352。Liu等（2023）和Wu等（2026）通过引入高阶参数化项增强了模型的速度性能；后者将平滑粒子流体动力学（SPH）方法与Madsen和Schaffer（1998）提出的模型框架相结合。Liang等（2025）通过引入包含参数化项的新函数改进了模型的速度性能。Sun等（2023）参考Liu和Fang（2016）的方法论框架，研究了粘性透水海底上的速度分布。

当波浪向岸传播时，水深减小引起的波浪增容会放大海床附近的波浪载荷，这些载荷是作用于透水海底的主要动力载荷。波浪的相速度和群速度受海底渗透阻尼修正，控制着波浪与海床孔隙水压之间的相位关系以及波浪能量的传输和耗散。强近岸非线性会产生不对称的波浪载荷和残余压力，触发孔隙水压的积累，并大幅改变海床液化的演变过程。同时，速度场共同反映了波浪增容、色散传播和非线性动力特征。它是揭示波浪与透水海底耦合机制和确保模拟精度的核心物理量。因此，为合理描述水体与多孔海床之间的耦合，在研究透水海底上的波浪传播时，必须同时考虑波浪增容、波浪速度演变、非线性和速度场。

然而，上述所有成果均聚焦于不透水海底。透水海底上波浪传播的增容、二阶波幅和速度特性尚未得到系统研究。由于缺乏透水海底上增容和非线性特征的分析解和广泛接受的评估标准，现有的透水Boussinesq型模型在增容和二阶波幅性能方面尚未得到有效验证和校准。为解决这一研究空白，本文将在透水海底理论框架下，基于波浪群速度与波幅之间的关系，开发一个评估方程增容性能的分析基准。

此外，基于Stokes波理论，本文推导了可渗透海底地形上波浪非线性特征的解析解。对这些特征的理论分析旨在填补该领域的研究空白，并为模拟波浪在可渗透海床上的传播提供更可靠的理论依据。基于Liu等人（2013）提出的方法，本文采用人工分层技术处理可渗透海床，建立了一组以深度平均速度表达的适用于可渗透海床波浪传播的Boussinesq型方程。通过引入高阶参数化项，方程的整体性能得到提升。借鉴Liu等人（2023）提出的思想，对速度场性能进行了优化。此外，本文推导了单层可渗透海床上二阶波浪幅度的解析解，以及基于Stokes理论的波浪在可渗透地形上浅水化效应的解析解。同时，对所建模型的色散特性、阻尼特性、非线性特性、浅水化特性及速度场性能进行了分析，并与解析解进行了对比和验证。最后，建立了一维水平数值模型，并与相关解析解和实验数据进行了验证。本文结构安排如下。第2节详述模型推导过程。第3节呈现模型的色散、阻尼、二阶波浪幅度、浅水化及速度场特性的理论分析。第4节介绍所建Boussinesq型模型的一维数值模型设置，以及数值结果与解析解和实验数据之间的对比。第5节得出结论。

**Boussinesq型方程的推导**

本文研究所涉及的可渗透海床由刚性多孔介质组成。在每个人工层内，孔隙率和固有渗透系数为常数。海床的固体骨架是固定的，不考虑由渗流引起的沉积物变形。此外，本模型适用于波浪在具有大孔隙的可渗透海床（如刚性粗砂和砾石）上的传播模拟，而不适用于具有小孔隙的细砂海床。

**基于恒定海底的傅里叶分析**

通过Stokes-Fourier分析，获得由Boussinesq方程描述的正则波的线性色散与阻尼、二阶波浪幅度以及速度分布。复波数可表示为k = kr + iki，其中其实部与波长相关，虚部与阻尼率相关，i表示虚数单位。每个方程均简化为一维水平海床，并求解Boussinesq方程的解。

**数值模型构建**

本研究采用的数值方法遵循Kirby等人（1998）开发的FUNWAVE模型的计算方案。控制方程在结构化网格上使用有限差分法进行离散。时间离散采用混合四阶Adams-Bashforth-Moulton（ABM）格式，空间导数则采用中心差分格式进行近似。在预测步骤中，使用a计算水面升差和速度向量。

**结论**

本文建立了用于模拟可渗透海床上波浪传播与演变的新Boussinesq型模型。可渗透海床被视为人工分层，并引入高阶改进项以提升模型的色散特性、二阶波浪幅度行为、浅水化特性及速度相关性能。控制方程以各层间水面升差和深度平均速度表达。

**CRediT作者贡献声明**

黄明翰：写作—审阅与编辑、形式分析。
刘忠波：写作—审阅与编辑、验证、监督、方法论、概念化。
刘勇：写作—审阅与编辑、监督、方法论、调查研究、概念化。
罗伟：写作—审阅与编辑、写作—原稿撰写、验证、方法论、调查研究、形式分析、概念化。
赵阳：写作—审阅与编辑、验证、方法论、形式分析。

**未引用参考文献**

Chen和Liu，1995；Hsiao等人，2005；James等人，1998；Liang等人；Liu等人，2018；Liu等人，2012；Liu等人，2013；Lynett等人，2000；Lynett和Liu，2004；Madsen和Fuhrman，2020；Sch?ffer和Madsen，1995；Van Gent，1995；Wei等人，1999；Yamamoto等人。

**利益冲突声明**

? 作者声明他们不存在可能影响本文所报告工作的已知的竞争性经济利益或个人关系。

**致谢**

本研究由新基石科学基金会通过XPLORER PRIZE资助，国家自然科学基金委（批准号：52171247）以及中交公路规划设计院有限公司海岸工程水动力学重点实验室开放基金项目（批准号：2025-KLCEHD-OF03）资助。

**作者及单位信息：**

罗伟 | 赵阳 | 刘忠波 | 刘勇 | 黄明翰

中国海洋大学海岸与近海工程国家重点实验室，中国青岛，266100