考虑速度相关啮合刚度和分形backlash的直齿轮改进动力学模型（不同支撑刚度条件下）

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：An Improved Dynamic Model for Spur Gears with Velocity-Dependent Mesh Stiffness and Fractal Backlash under Various Support Stiffness

　　

# 摘要

高精度齿轮传动系统的动态建模对于提高高功率密度应用中的耐久性并降低噪声至关重要。然而，传统模型的预测精度往往受到限制，原因在于其对关键参数（如啮合刚度和侧隙）在真实工况下的表征过于简化。本研究提出了一种改进的直齿圆柱齿轮非线性动态模型，该模型融合了速度相关时变啮合刚度（VMS）和分形侧隙，并考虑了多种支撑刚度条件以提升仿真真实度。针对大振动位移建立了控制方程，以有效捕捉柔性支撑结构中产生的大量弹性势能，其中轴承和轴以串联方式作用。该模型整合了一种通过基于瞬态动力学和有限元框架的原创计算算法（OCA）计算的速度相关时变啮合刚度（VMS），以及一种新型分形侧隙模型，该模型利用改进的Weierstrass-Mandelbrot函数将齿轮参数与齿面粗糙度直接关联。通过与能量法、有限元仿真和实验数据的对比验证，证实了该算法的精度，表明VMS会引起共振峰值、分岔和混沌运动，且受驱动速度影响，而静态刚度模型则无法体现这些现象。研究结果表明，柔性支撑结构会放大振动响应，分形参数在低速下加剧冲击效应，但在中等粗糙度下则起到振动吸收作用。该方法为分析实际工程应用中齿轮系统的动力学特性提供了更为全面的工具。

# 引言

直齿圆柱齿轮传动系统是机械功率传输中的关键组件，其动态特性直接影响设备的可靠性、噪声水平和服务寿命[[1], [2], [3]]。近年来，高速重载应用的需求日益增长，加剧了齿轮系统非线性振动问题。时变啮合刚度、侧隙、支撑条件及其交互作用等因素已成为主要的研究关注点[[4], [5], [6]]。因此，建立准确的动态模型对于深入理解齿轮传动的动态行为至关重要，这为其设计和优化奠定了基础。

为研究齿轮系统的动态行为，研究人员开发了各种动态模型。早期研究中，齿轮系统通常采用简化的1自由度（DOF）或2自由度动态模型进行分析[[7], [8], [9], [10]]。然而，后续研究认识到支撑轴承变形引起的平移运动的重要性[11,12]，从而发展出多自由度动态模型以进行更全面的分析。Ren等人[13]引入了一个4自由度集总参数动态模型用于直齿轮，考虑了重力、侧隙、偏心、传动误差和外部激励。Wang等人[14]建立了5自由度齿轮动态模型以处理齿轮系统的弯扭耦合响应。Li等人[15]提出了一个6自由度齿轮动态模型，基于齿轮啮合条件获得了更真实的动态啮合力。Tong等人[16]考虑了船体的垂荡-纵摇耦合运动，建立了6自由度齿轮模型并研究了齿轮动力学特性。Cao等人[17]建立了包含电机和负载扭转振动效应的8自由度齿轮系统动态模型。Sun等人[18]利用有限元方法建立了多自由度齿轮模型，分析了温度和轴承类型对振动响应的影响。尽管考虑轴承支撑的多自由度齿轮模型得到了越来越多的发展，但研究结果证实轴对齿轮系统的支撑也有重要贡献[19,20]。相对于轴承支撑刚度，轴的弯曲刚度较低，当考虑轴时，支撑结构从刚性转变为柔性。这导致齿轮啮合过程中产生较大位移，使得传统轴承支撑模型不适用于严重振动条件下的动力学分析。因此，对于具有高度柔性支撑结构的齿轮系统，需要更准确的动态模型。

齿轮侧隙通过引入非线性显著影响齿轮系统的动态特性，这些非线性影响稳定性、动态响应、传动精度、噪声水平和整体可靠性。早期研究通常将齿轮侧隙视为固定参数[21,22]，而近年来的研究日益关注侧隙的时变特性及其动态影响[[23], [24], [25]]。然而，上述研究未考虑随机分布微结构对齿轮接触表面的影响。为弥补这一不足，后续研究评估了齿面粗糙度的影响。研究结果强调了定量表征微观齿面特征的必要性[[26], [27], [28], [29]]，其中分形理论已被广泛采用作为建模表面粗糙度的有效方法。Chen等人[30,31]利用分形理论修正了齿轮侧隙并将其整合到齿轮模型中，以分析微观齿面特征的影响。Huang等人[32]比较了考虑分形侧隙的齿轮系统的分岔和混沌特性，Li等人[33]研究了包含分形表面粗糙度的直齿轮润滑状态。此外，Mo等人[34]基于分形理论建立了齿轮粗糙表面模型，揭示了齿面粗糙度与磨损之间的关系。尽管取得了这些进展，大多数研究主要关注分形公式本身，对分形计算中涉及的齿轮参数关注有限。因此，仍有必要明确建立分形侧隙与齿轮参数之间的关系。

时变啮合刚度是齿轮系统振动和噪声的主要激励源，其准确计算对动力学分析至关重要。过去十年中，势能法（PEM）和有限元法（FEM）已被广泛用于确定啮合刚度。Zhang等人[35]整合了Hertz接触理论、有限元法和切片法的优势来计算啮合刚度。Wang等人[14]引入了一种改进的势能法，考虑了齿根圆与基圆的不对中。Xu等人[36]开发了一种考虑位置相关Hertz接触变形的行星齿轮模型。Wang等人[37]利用机器视觉技术检查缺陷并评估直齿轮系统中润滑条件下的啮合刚度。Chen等人[38]推导了一种改进的势能法，考虑磨损齿廓获得啮合刚度，Han等人[20]应用有限元方法确定锥齿轮对的TVMS。尽管已对静态条件下的TVMS进行了大量研究，但近期研究强调静态啮合刚度（SMS）不能完全代表实际齿轮对的行为。为更好地反映真实工况，有必要将动态因素纳入刚度计算中。例如，Cao等人[39]提出了一种力相关的啮合刚度模型，考虑了啮合过程中动态啮合力波动的影响。Zheng等人[40]分析了高速离心效应对齿轮的影响，并计算了考虑动态离心效应的啮合刚度。Jiang等人[41]计算了驱动速度波动条件下的啮合刚度，侧重于驱动速度波动部分的影响。尽管取得了这些进展，驱动速度对啮合刚度的直接影响很少被明确纳入计算模型。Liu等人[42]通过创建一种解析-有限元计算算法来处理转速对啮合刚度的影响，该算法考虑了啮合力速率的变化。尽管该方法纳入了转速效应，但它基于有限元理论，涉及复杂的建模和大量的计算资源。因此，开发高效的速度相关啮合刚度计算方法以揭示其对啮合刚度和齿轮动态行为的影响显然十分必要。

基于上述关于支撑柔性、分形侧隙和速度相关啮合刚度之间复杂耦合的研究缺口，本文开发了一种改进的直齿轮传动系统动态模型。该模型将轴的柔度作为主要支撑组件纳入，采用基于分形理论且与齿轮参数关联的时变侧隙表征方法，并提出了一种新型速度相关啮合刚度计算方法。通过对耦合动力学方程进行数值求解，研究了不同工况下的交互影响。通过参数研究和实验验证，本研究为高速齿轮传动中的非线性振动机制提供了新见解，并为优化高可靠性和高精度应用中动态性能提供了实际指导。

总之，尽管现有研究在齿轮动力学建模方面取得了进展，但仍存在显著的研究缺口。首先，轴的柔度对系统支撑的重大影响常被忽视，大多数模型依赖于简化的轴承支撑。其次，虽然分形理论已被用于建模侧隙，但分形特征与基本齿轮设计参数之间缺乏明确、参数化的联系，限制了其物理基础。第三，现有的啮合刚度模型主要为静态模型，忽略了运行转速的直接影响，而这对高速动力学至关重要。为弥补这些研究缺口，本文提出了一种新型耦合动态模型，其主要创新包括：1）将轴柔度作为主要柔性支撑元件纳入模型；2）建立时变分形侧隙与基本齿轮设计参数之间的明确关系；3）开发一种高效的解析方法计算速度相关啮合刚度，直接纳入转速效应。该综合模型被用于研究不同条件下的非线性动态交互。通过与实验数据验证，该模型为高速齿轮传动的振动机制提供了新见解，并为设计高性能齿轮系统提供了更可靠的依据。

本文结构如下：第2节详细介绍了齿轮系统的动力学建模，包括大位移的控制方程和分形侧隙的推导。第3节介绍了用于VMS计算的OCA及其验证。第4节通过数值仿真讨论了驱动速度、支撑刚度和表面粗糙度对动态响应的影响。最后总结研究结论。

## 章节摘录

### 齿轮系统动力学建模

柔性支撑齿轮转子-轴承系统的构型如图1所示。轴两端轴承的支撑被建模为线性弹簧和黏性阻尼器。齿轮对通过弹性元件$k_{\tau_m}$和黏性元件$c_{\tau_m}$在啮合线方向并联连接。输出扭矩$T_g$施加到齿轮上，施加到小齿轮的驱动速度$\dot{\theta}_p$可建模为恒定角速度叠加小幅波动。

### VMS原创计算算法

本节采用基于解析有限元框架的瞬态动力学方法求解齿轮齿的VMS。如图5（a）所示，齿轮齿廓由齿根圆曲线（$OD$）、过渡曲线（$DC$）和渐开线曲线（$CA$）组成。渐开线曲线包含啮合区域（$BA$），$E$代表轴孔末端。$F_Q$和$v_Q$分别为啮合点$Q$处的啮合力和啮合速度。在线性弹性假设下（即胡克定律），齿轮……

### 对比与验证

为验证所提出的OCA计算VMS的准确性，与几种成熟的方法（PEM[38]和FEM）进行了对比。在有限元方法中，直齿轮齿使用商业软件Ansys-APDL?建模为一维悬臂梁。通过设置驱动速度为0.001 rpm，可使用OCA计算准静态条件下的SMS。本研究使用的直齿轮对参数列于表1。图8展示了SMS的结果……

### 结果与讨论

本节首先通过比较改进动态模型与传统动态模型在不同支撑刚度下的系统响应差异进行分析。然后研究了转速对动态啮合刚度和动态响应的影响。同时，进行了基于VMS和SMS的动态响应对比，并分析了齿面粗糙度和分形维数的影响。

### 结论

本研究开发了一种改进的直齿轮系统非线性动态模型，该模型整合了速度相关时变啮合刚度和新型分形侧隙公式，同时考虑了不同支撑刚度条件的影响。通过准确捕捉柔性支撑中的大量弹性势能，该模型为大幅振动位移下的齿轮动力学提供了高度真实的仿真。

通过提出的用于VMS计算的OCA方法

CRediT作者贡献声明
张丽丽：撰写初稿、研究
屈大怡：验证、软件、研究
江翰君：撰写审阅与编辑、监督、资金获取、概念化
刘富浩：监督、资源、方法论
饶萌：研究、数据管理
刘家豪：验证、软件
肖跃尧：可视化、正式分析
刘归眠：可视化、正式分析

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青岛理工大学机械与汽车工程学院，山东青岛，266520，中国