联合连通切换图下波动方程网络的协同输出调节

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Cooperative Output Regulation for Wave Equation Networks under Jointly Connected Switching Graphs

　　

# 摘要

本文研究了在切换通信图条件下波动方程的协作输出调节问题，其中外部扰动影响偏微分方程系统的所有通道，包括边界和域内分量。领导者动力学和扰动被建模为有限维线性系统。切换图被划分为两个子图：一个由能够获取领导者信息的智能体组成，另一个则不能。根据通信结构，构建了本地参考观测器和协作参考观测器。此外，基于在边界或内部点处测量到的位移和速度，构建了本地状态和扰动观测器。通过Riesz基方法建立了所得误差系统的指数稳定性，从而验证了观测器设计的有效性。随后设计了输出反馈控制律以实现协作输出调节。数值仿真实验证明了所提方法的有效性和适用性。

# 引言

协作输出调节（COR）问题在协调网络化多智能体系统（MAS）中起着基本作用。其主要目标是确保所有智能体的输出收敛到公共参考轨迹。由于其在编队控制、传感器融合、电网同步和分布式估计等方面的广泛应用，协作输出调节（COR）受到了广泛关注。在常微分方程（ODEs）框架下，COR问题已得到广泛研究。早期关于有限维线性多智能体系统输出调节的研究主要考虑静态通信拓扑。具体而言，文献[1]针对不确定线性多智能体系统的鲁棒输出调节问题发展了一种分布式控制方法。文献[2]采用基于分布式观测器的动态全信息控制方案解决了COR问题。随后，文献[3]在适当可检测性条件下，利用分布式动态测量输出反馈研究了同一问题。为了考虑现实通信约束，包括间歇性链路故障、智能体移动性和时变环境，COR问题在切换通信拓扑下得到了进一步研究[4]，[5]，[6]，[7]，[8]。这些研究通常采用驻留时间或联合连通性条件来建立收敛性。与此同时，事件触发通信也在其他有限维协调问题中得到了考虑。例如，针对异构多智能体系统的二分图时变输出编队跟踪问题，开发了自适应动态事件触发控制[9]。

对于无穷维系统，分布参数系统（DPS）通常由偏微分方程（PDEs）建模。这类系统出现在具有耦合空间和时间动力学的广泛物理和工程应用中。代表性例子包括热过程[10]、柔性结构[11]，[12]和流体流动[13]。与集总参数模型相比，基于PDE的模型能够捕捉物理变量在空间和时间上的演化，因此对于大规模分布式系统的高保真建模和控制至关重要。近年来，越来越多的关注集中在PDE主导的MAS协作控制上[14]，[15]，[16]，特别关注协作输出调节（COR）问题[17]，[18]。文献[17]提出了一种系统框架，用于解决静态通信拓扑下具有空间和时间变化系数的异构抛物型MAS的COR问题。该框架纳入了协作参考观测器、基于反步法的状态反馈和本地扰动观测器，以处理边界和域内扰动。相比之下，文献[18]考虑了涉及未知领导者和未知扰动参数的异构双曲多智能体网络。通过采用自适应协作参考观测器、无穷维自适应扰动观测器和基于反步法的状态反馈律，作者建立了一个自适应COR框架，在静态通信拓扑下实现了领导者-跟随者输出同步。

本文研究了在切换通信图条件下波动方程网络的协作输出调节问题。其主要贡献有三方面。第一，将现有PDE网络在静态通信拓扑下的COR结果[17]，[18]扩展到了联合连通的切换图。在当前设定中，切换使参考信息的传播变得间歇。由于无信息的智能体不能持续连接到领导者，在间歇性信息交换和联合连通性条件下，建立了它们参考估计的指数收敛性。第二，根据参考信息的可用性，开发了一种基于输出的参考观测器架构。具体来说，为有信息的智能体设计了具有时变增益的本地参考观测器，而为无信息的智能体构建了协作参考观测器。该结构使得两类观测器的增益可以独立选择，这与有限维ODE设定中采用的统一协作观测器[19]形成了对比。第三，现有研究[20]，[21]，[22]，[23]主要采用边界测量，而本文提出的框架允许在选定点x? ∈ [0, 1]处同时进行位移和速度测量，从而在传感器放置方面提供了更大的灵活性。所得的非耗散观测器误差子系统通过Riesz基方法证明了指数稳定性。

本文其余部分组织如下。第2节阐述问题，介绍标准假设，并给出切换拓扑下的通信协议。第3节致力于观测器设计。具体而言，为切换通信图开发了一个协作参考观测器，并利用切换子图的结构特性证明了其有效性。此外，基于在指定空间点处同时对位移和速度进行测量，构建了由被控对象和扰动模型组成的耦合系统的本地观测器。然后通过Riesz基方法建立了所得误差系统的指数稳定性。第4节给出了一个输出反馈控制器以实现协作输出跟踪，并分析了闭环系统。第5节提供了主要结果的证明。第6节提供了数值仿真实验以说明所提方法的性能。最后，第7节对论文进行了总结。

**符号说明。** ?表示所有实数的集合，?表示自然数集合，??表示正自然数集合，?表示所有复数的集合。设σ: [0, +∞) → ?? = {1, 2, …, ??}为一个分段常值切换信号，其中?? ∈ ??，??称为切换索引集。切换信号定义为右连续的、分段常值函数，在任何有限时间区间内仅具有有限多个不连续点。给定这样一个信号σ(t)，我们定义一个时变有向图??_σ(t) = (??, ?_σ(t))，其中边集?_σ(t) ? ?? × ??对所有t ≥ 0成立。该图被称为动态通信图。对于每个t ≥ 0，我们考虑一个切换邻接矩阵??_σ(t) = [a??(t)]_N_{i,j=1} ∈ ?^{N×N}，其中a??(t) = 0或a??(t) > 0对所有i, j = 1, …, N成立。矩阵??_σ(t)被假定为对应于??_σ(t)的带权邻接矩阵。相应的Laplacian矩阵定义为?_σ(t) = ??_σ(t) ? ??_σ(t)，其中??_σ(t) = diag(π?(t), …, π_N(t))为对角度矩阵，π?(t) = Σ_{j=1}^N a??(t)。为了描述跟随者子系统与参考信号生成领导者之间的交互，我们进一步定义扩展邻接矩阵???_σ(t) = [a??(t)]_{N+1}_{i,j=0} ∈ ?^{(N+1)×(N+1)}，对所有i, j = 0, 1, …, N成立。对于每个i = 0, 1, …, N，当且仅当第i个智能体在时刻t能够获取参考信号时，我们设a??(t) > 0。???_σ(t)的所有其他元素被假定为非负，约束为对所有i = 0, 1, …, N，a??(t) = 0。与???_σ(t)关联的动态有向图记为???_σ(t) = (???, ??_σ(t))。智能体和领导者之间的交互结构由扩展Laplacian矩阵??_σ(t)捕捉，定义为

??_σ(t) =
( 0 0_{1×N}
-(a??(t), …, a_N0(t))? H_σ(t) )

其中H_σ(t) = ?_σ(t) + ?_σ(t)，?_σ(t) = diag{a??(t), …, a_N0(t)}。

## 问题描述

描述弦振动或声波传播的波动方程是一个具有典型特征的无穷维系统。在本文中，我们考虑由N > 1个索引为N的智能体组成的一类MAS。每个智能体由如下形式的一维波动PDE控制：

{
y_{i,tt}(x,t) = y_{i,xx}(x,t) + f_i(x) d_i(t), x ∈ (0,1), t > 0,
y_{i,x}(0,t) = U_i(t) + F_{0,i} d_i(t), t ≥ 0,
y_{i,x}(1,t) = -c_i y_{i,t}(1,t) + F_{1,i} d_i(t), t ≥ 0,
(y_i(x,0), y_{i,t}(x,0)) = (y_{i,0}(x), y_{i,1}(x)), x ∈ [0,1],
}

其中y_i(x,t)表示智能体i在空间位置x和时刻t处的状态。

## 观测器设计

在本节中，我们基于假设的通信网络结构开发观测器设计。在子节3.1中，构建了一个协作参考观测器以捕捉智能体网络中共享的参考动力学。在子节3.2中，假设y_i(x?,t)及其导数y_{i,t}(x?,t)均可测量，设计了一个本地观测器来估计由(2.1)和扰动模型(2.3)描述的耦合系统的状态。

## 基于输出反馈的协作输出调节

在本节中，我们设计了一个输出反馈控制器，以实现系统(2.1)的协作输出跟踪。控制器设计利用了本地参考观测器(3.1)、协作参考观测器(3.2)和本地扰动观测器(3.4)。

考虑如下复合外系统，它结合了参考和扰动动力学：

{
?_i(t) = Υ_i P_i(t),
d_i(t) = [I, 0] P_i(t),
r(t) = [0, F] P_i(t),
}

其中P_i(t) = col(d_i(t), v(t))，Υ_i = diag{G_i, G?}。相应的估计信号……

## 主要结果的证明

**引理3.1的证明。** 将扩展Laplacian矩阵??_σ(t)分块如下：

??_σ(t) =
( 0 0_{1×m} 0_{1×(N-m)}
A_{21}(t) A_{22}(t) A_{23}(t)
0_{(N-m)×1} A_{32}(t) A_{33}(t) )

其中A_{21}(t) = -col(a??(t), …, a_{m,0}(t))，A_{22}(t) ∈ ?^{m×m}，A_{33}(t) ∈ ?^{(N-m)×(N-m)}。接下来，定义矩阵??_σ(t)为

??_σ(t) =
( 0 0_{1×m} 0_{1×(N-m)}
A_{21}(t) ā_{22}(t) 0_{m×(N-m)}
0_{(N-m)×1} A_{32}(t) A_{33}(t) )

其中ā_{22}(t) = diag(a??(t), …, a_{m,0}(t))。显然，-??_σ(t)仍然是一个行和为零的Metzler矩阵。与Laplacian矩阵??_σ(t)关联的图?_σ(t)被定义为……

## 数值仿真实验

为了说明所提方法的有效性，我们模拟了由N = 6个智能体组成的闭环MAS Ω?(x,t) = col(y, ?, d, d?, v, v?)，其中n_r = n_d = 2。对于i = 1, 2, …, 6，我们选择以下参数：

{
f_i(x) = (sin2x, i2cos2x),
F_{0,i} = (i, 0),
F_{1,i} = (0, i),
F_{2,i} = (2i, i),
x? = 1/3, x? = 2/3,
c = diag{1.5, 1.8, 1.3, 1.7, 1.3, 1.2},
-k = diag{0.9, 1, 0.5, 0.6, 1.1, 0.3}.
}

全局参考模型（智能体0）定义为：G? = (0, -2; 2, 0)，v(0) = (1, 1)?，F = (1, 0)。

本地扰动由以下模型生成：G_i = (0, -4; 4, 0)，d_i(0) = (1, 1)?。

我们考虑……

## 结论

本文研究了一类受切换通信拓扑和边界及分布扰动影响的波动型多智能体系统的COR问题。基于时变通信协议构建了一个协作参考观测器。此外，利用位移和速度的中间点测量设计了一种新颖的本地观测器，据我们所知，这是首次提出。所提出的框架……

## CRediT作者贡献声明

**郭宝柱**：撰写–审阅与编辑、监督、获取研究资金、概念化。

**胡清清**：撰写–原稿、软件、方法论、调查。

**金鹏飞**：监督、形式分析、概念化。

## 利益冲突声明

作者声明不存在已知的可能影响本文工作的竞争性财务利益或个人关系。

**作者信息：**
郭宝柱 | 胡清清 | 金鹏飞
华北电力大学数理学院，北京，102206，中国