时间分数阶广义Burgers-Fisher和Burgers-Huxley方程的高阶紧致差分格式

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A high-order compact finite difference scheme for time-fractional generalized Burgers–Fisher and Burgers–Huxley equations

　　

**摘要**

本文为一类具有整数次幂对流和多项式反应项的时间分数阶广义Burgers–Fisher方程和Burgers–Huxley方程开发了一种高阶紧致差分格式。Caputo导数在均匀时间网格和分级时间网格上通过后向Lagrange插值进行近似，空间上采用六阶紧致内部公式。对于均匀时间网格上的光滑解，在完整内部模板上完全展开的离散化具有形式一致阶数O(τ^{4-α}+h^6)，而分级网格构造则用于处理弱初始正则性。所实现的幽灵点非线性系统通过外推初始化的Newton方法进行求解，并使用步长和残差停止准则。对于均匀时间网格上的齐次零延拓参考实现，精确的差商和全局Lipschitz延拓导出了非线性能量估计。在显式时间步条件下，强单调性和强制性建立了当前时间层上的存在性、唯一性以及在前一时间历史固定的情况下残差扰动估计。本文不对完整变号时间卷积或所实现的幽灵点实现声称全局时间稳定性或收敛性定理。数值实验检验了光滑解和弱正则解、时间分级、长时间行为、Newton迭代行为以及直接历史评估的计算成本。

**引言**

分数阶偏微分方程（FPDEs）为物理、生物学和工程学中记忆依赖和非局部现象的建模提供了一个自然的框架[1], [2], [3], [4], [5]。其中，非线性对流–扩散–反应方程在波传播、模式形成和输运过程中起着重要作用。代表性模型包括Burgers方程[6], [7]、Fisher方程[8], [9]，以及它们的耦合广义Burgers–Fisher（BF）和Burgers–Huxley（BH）形式，这些方程出现在热传导、等离子体物理和神经脉冲传播中[10], [11], [12], [13], [14]。

有限差分方法因其实现简单而被广泛使用。对于时间分数阶问题，常用的格式通常将L1型时间近似O(τ^{2-α})与二阶空间差分相结合[15], [16]。t=0附近的弱解奇异性可能进一步降低观测到的时间阶数。紧致有限差分方法在保持相对狭窄模板的同时提高了空间精度，高阶紧致格式、收敛性分析和六阶扩展已被开发用于分数阶偏微分方程[17], [18], [19]。对于Burgers型方程，具有高分辨率特性的紧致格式也被提出。经典Burgers方程的八阶构造已被开发[20]，Luo等人[21]为Rosenau–Burgers方程构造了一族具有四阶至八阶空间精度的广义紧致格式。Wu等人[22]为KdV–Burgers–Fisher方程提出了高阶分析，而Yang和Liu[23]为时间分数阶BH方程开发了四阶紧致格式。在这些时间分数阶紧致格式中，时间离散化通常比可用的空间近似低阶，因此时间误差可能限制整体精度。

《海洋工程与科学杂志》上的几项最近研究使用了不同的方法处理分数阶Burgers型方程。Tamboli和Tandel[24]将分数阶降阶微分变换法应用于时间分数阶BF方程。Prajapati和Meher[25]开发了一种η-同伦分析变换法，与一种新型积分变换相结合。Arora等人[26]利用Crank–Nicolson时间离散化为BH、BF和修正Burgers方程提出了五次Hermite配点法。Singh和Gupta[27]将三角张力B样条配点与L1时间近似结合，用于时间分数阶Burgers方程。这些研究提供了有用的替代处理方法，尽管它们的目标和离散化框架与本文考虑的高阶紧致时空构造不同。

偏微分方程计算方法中的更广泛发展也提供了有用的背景。Ren等人[28]为具有移动边界的Stefan问题提出了物理信息极限学习机，而Xu等人[29]为经典对流–扩散方程开发了晶格Boltzmann启发的有限差分格式。这些研究说明了当前对灵活求解框架、高阶离散化和仔细边界处理方面的兴趣。在本文考虑的的时间分数阶Burgers型方程类中，仍存在两个实际问题：常用分数阶近似的正式时间一致阶数往往低于可用的空间阶数，并且密切相关的Fisher、Burgers、BF和BH非线性项通常通过不同的离散化和非线性求解器来处理。因此，我们寻求针对以下指定的整数次幂对流和多项式反应项的共同高阶紧致离散化和非线性求解器框架。所提出的框架旨在用于此规定的模型类，而非任意的非线性分数阶偏微分方程。为此，我们考虑以下广义非线性偏微分方程，其中包含上述模型作为特例：

$$C_0D_t^\alpha u(x,t) = p\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + q\frac{\partial A(u)}{\partial x} + rB(u) + f(x,t), \quad 0< /> 0的一维扩散问题齐次零延拓参考实现上。在前一时间历史固定的情况下，分析在显式时间步条件下建立了非线性能量界以及当前层上的存在性、唯一性和残差扰动估计。所实现的幽灵点实现在数值实验中使用，并与分析中所使用的参考实现保持区分。完整变号时间卷积的全局时间分析和边界相邻幽灵点行的完整六阶一致性分析超出了本文的范围。

本文其余部分组织如下：第2节描述了高阶时间和空间离散化、幽灵点边界实现和Newton求解器。第3节建立了齐次零延拓参考实现在均匀时间网格上的空间能量性质以及当前层上的存在性、唯一性和残差扰动估计。第4节展示数值实验，第5节得出结论。

**问题设置和记号**

对于本工作考虑的广义Burgers–Fisher和Burgers–Huxley模型，我们写为：

$$A(u) = \frac{u^{1+\beta}}{1+\beta}, \quad B(u) = \sum_{\ell=0}^{m} c_\ell u^\ell, \quad \beta \in \mathbb{N}_0, \; c_\ell \in \mathbb{R}.$$

代入(1)得：

$$C_0D_t^\alpha u = pu_{xx} + q\frac{\partial}{\partial x}A(u) + rB(u) + f(x,t).$$

在全篇工作中，非线性指数限制为整数，使得对流通量和反应项属于上述多项式类型类。

**当前层非线性能量和适定性分析**

本节的分析限于均匀时间网格，其中μ = τ^αΓ(2-α)。在本节中，我们假设p > 0，而q, r ∈ ?。使用(6)中的完整内部系数，我们分析了在第2节中引入全局Lipschitz延拓的齐次零延拓参考实现。本节的目的是有意限于在前一时间历史固定的情况下一个时间层上的非线性代数问题。精确的差商……

**数值结果**

我们使用四个具有制造解的问题来评估所提出的格式。示例1检验了具有齐次边界条件的光滑Burgers–Fisher问题中观测到的时间和空间阶数，仅将形式一致阶数作为参考阶数。示例2考虑了具有非齐次Dirichlet边界条件的光滑Burgers–Huxley问题，为相关的边界处理提供了数值证据，并检验了计算性能和敏感性……

**结论**

本文为一类指定的时间分数阶广义Burgers–Fisher和Burgers–Huxley方程开发了一种高阶紧致有限差分格式。在均匀和分级时间网格上使用向后Lagrange插值，在完整内部模板上对对流和扩散项采用六阶紧致公式，所实现的幽灵点非线性系统通过外推初始化的Newton方法进行求解，并使用步长和残差……

**未引用的引用**
遗漏引用：算法1

**作者贡献声明**

冯云龙：初稿撰写、可视化、软件、方法论、形式分析、数据管理。张心动：审阅与编辑、初稿撰写、可视化、方法论、调查研究、形式分析、概念化。魏磊磊：审阅与编辑、初稿撰写、可视化、软件、形式分析。

**利益冲突声明**

我们声明与其他人或组织不存在财务和个人关系，这些关系可能不当影响我们的工作，对于任何产品、服务或公司的任何专业或其他个人利益，无论何种性质，均不能被理解为影响本文题为"时间分数阶广义Burgers-Fisher和Burgers-Huxley方程的高阶紧致有限差分格式"的手稿中呈现的立场或审稿。

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