一种适用于多种介质领域热传导的通用扩散界面模型

《International Communications in Heat and Mass Transfer》：A universal diffuse-interface model for heat conduction in multiple media domains

　　摘要
本研究提出了一种适用于多种介质域中热传导的通用扩散界面模型，这些介质域可以包含任意数量的组分。该模型建立了一个包含各向异性扩散张量的统一热传导方程，以考虑不同组分之间的界面热阻。所提出的模型既满足降维一致性也满足热力学一致性，而匹配渐近分析表明，它在形式上能够恢复孤立成对界面的相应锐界面极限。该模型采用多松弛时间格子玻尔兹曼方法（MRT-LBM）进行实现。通过一个稳态二维三组分基准测试以及两个三维异质介质案例（其中一个包含嵌入式球形物体，另一个不包含）的数值结果验证了该方法在捕捉温度分布、界面热流传输和有效热响应方面的准确性。最后，一个异质三相多孔介质案例展示了该模型在不规则静态几何形状和高达1000的体积热容比条件下的数值稳定性。

引言
多种介质域中的热传导在热工程应用中非常常见。在电子热管理中，多层复合基板、散热组件和封装结构包含复杂的界面接触网络，其热性能强烈依赖于局部热传递特性[1][2]。在燃料电池和电池等能量转换设备中，多孔电极、电解质和集流体形成了复杂的多相区域，界面传输显著影响温度调节和反应效率[3][4]。在核反应堆冷却系统、地热能利用和先进热交换器中，复合壁和冷却剂流动路径引入了多个具有非理想热接触的界面[5]。在所有这些情况下，界面热传输起着关键作用。这种界面热传输通常是系统整体效率的主要决定因素，在微观和纳米尺度上其重要性更加突出[6][7]。因此，准确建模和预测系统级热行为需要考虑这些非理想的界面效应[8][9][10][11]。最近的研究通过解析建模、实验测量和耦合热-水-力学分析研究了多层岩石、层状多孔材料和饱和土壤系统中的界面热阻[12][13][14][15][16]。

界面通常可以分为两类：完美界面和不完美界面。完美界面的定义是温度和热流都是连续的。相比之下，由于表面粗糙度、污染或微间隙等因素导致的不完美界面通常表现为连续的热流伴随着温度不连续性，这种行为通常由Kapitza阻力模型描述[17][18]。由于这些界面效应难以通过实验直接捕捉，且解析模型通常仅适用于简单几何形状，数值模拟已成为研究多种介质中热传导的强大工具。例如，Kalis[19]应用有限差分（FD）方案解决了多层介质中具有分段不连续系数的热传递问题。Peng等人[20]提出了一种三步边界元方法（BEM），用于解决涉及多个非均匀介质的二维（2D）和三维（3D）瞬态热传导问题。Ben-Romdhane[21]提出了一种浸没式有限元方法（FEM），用于研究航天器多层热防护系统中的热传递。然而，这些方法要么需要在界面附近进行特殊处理，要么需要推导复杂的基函数解，这使得开发高效数值算法变得具有挑战性。此外，这些研究仅考虑了完美界面。

为了克服这些限制，本研究开发了一种用于模拟具有热接触阻力的多种介质中热传导的扩散界面模型。将界面热接触阻力的效应纳入模型，从而推导出一个包含各向异性扩散系数张量的统一热传导方程。验证了该扩散界面模型的降维一致性和热力学一致性。进行了匹配渐近展开分析（该方法广泛应用于评估扩散域方法的一致性和准确性[22][23][24]），以证明所提出模型与相应锐界面极限的渐近一致性。随后，使用多松弛时间格子玻尔兹曼方法（MRT-LBM）求解所提出的扩散界面方程，该方法最初由Dominique d'Humières[25]提出，并在后续研究中得到进一步发展[26][27]，同时也适用于各向异性对流-扩散方程的一般MRT公式[28]。然而，后一种公式适用于非常一般的各向异性扩散系统，通常需要在矩空间中进行额外的问题依赖构造。由于本研究考虑的扩散界面方程不具备这种一般性的各向异性扩散特性，因此采用标准MRT-LBM来实现更直接和高效的结果，同时保留了MRT框架的公认数值优势。通过一个稳态二维三组分基准测试以及两个包含和不包含嵌入式球形物体的三维异质介质案例验证了该模型的准确性。此外，该模型还在一个异质三相多孔介质中得到了进一步验证，研究了较大体积热容比对公式在不规则静态几何形状和较大体积热容比条件下的数值稳定性。本研究的范围仅限于具有预设成对界面热导系数的静止多组分介质中的热传导。电子封装、电池热管理和多孔材料被视为静止界面热传导的潜在应用场景，而移动界面和耦合输运过程超出了本研究的范围。

数学模型
在本研究中，我们将多个介质域划分为N个子域Ω=Ω1Ω2…ΩN，这些子域通过成对界面Γij(i≠j)分隔，如图1所示。每个组分由其热物理特性表征，即体积热容ρcpi、热导率Di和热源Ri。为了开发扩散界面模型，引入了一组相位场函数?i0≤?i≤1来描述N组分介质，它们满足以下关系∑i=1N?i=1。

数值方法
基于推导出的方程（1），采用多松弛时间（MRT）格子玻尔兹曼方法（LBM）[26][32][33]来获得其数值解。为此，将方程（1）的两边同时除以参考比热ρcpr，得到?ρcp?/ρcprT?t=??D?/ρcprI+A?T+R?/ρcpr。其中ρcpr=1/H(?1ρcp1+H?2ρcp2+…+H?NρcpN)，方程（21）被离散化得到以下格子玻尔兹曼方程：gαx+eαΔtt+Δt=gαxt?M?1SgMαβgβxt?gβeqxt+M?1I?Sg2MαβGβ。

二维数值验证
为了验证所提出模型在二维情况下的准确性，我们模拟了一个三介质系统中的稳态热传导，如图4（a）所示。一个正方形计算域被三个不同的极角分为三个相。施加热源项Rix=?3aisinθ,x∈Ωi（i=1?3），界面热导系数分别为λ12=D1a1a2?a1cotθ12、λ13=D1a1a1?a3cotθ13、λ23=D2a2a3?a2cotθ23。

结论
本研究开发了一种适用于具有任意数量组分和成对界面热阻的多组分介质中热传导的通用扩散界面模型。通过将各向异性扩散张量引入统一热传导方程，该公式满足了降维一致性和热力学一致性，而匹配渐近分析表明，它在形式上能够恢复孤立成对界面的相应锐界面极限。

作者贡献声明
Tian Hongli：撰写——最初草稿、验证、软件开发、实验研究、形式分析。
Fan Xiuzhang：撰写——最初草稿、验证、实验研究、形式分析。
Zhen Hongchao：撰写——最初草稿、可视化、验证、软件开发、形式分析。
Zhang Shiting：撰写——审稿与编辑、验证、方法论、概念化。
Hu Yang：撰写——审稿与编辑、监督、方法论、概念化。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的可能会影响本文工作的财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了中国国家自然科学基金（项目编号12172039）的支持。

作者列表：Tian Hongli | Fan Xiuzhang | Zhen Hongchao | Zhang Shiting | Hu Yang