DeepONet 辅助的瞬态表面加热条件下多层人体皮肤逆双曲型生物热传递与表面热通量重构

《International Communications in Heat and Mass Transfer》：DeepONet-assisted inverse hyperbolic bioheat transfer and surface heat-flux reconstruction in multilayer human skin under transient surface heating

　　

• DeepONet学习多层非傅里叶生物传热中的温度-表面热通量反演算子 • 双曲生物热模型可捕捉多层皮肤中的有限速度热传输 • 基于伴随的共轭梯度法生成用于DeepONet算子学习的高保真数据 • DeepONet实现准确的热通量重构，并具有快速的训练后推理能力 • 在噪声和传感器位置变化条件下验证了重构的鲁棒性

引言
由于在许多实际工程和生物应用中，直接测量热边界条件往往困难甚至不可能，反传热分析作为一个研究领域变得越来越重要。在许多情况下，必须通过反演过程重构表面热通量，而只有内部温度测量数据可用。由于这些反导热问题通常是不适定的，并且对测量误差极其敏感，可靠的求解需要采用适当的正则化和数值方法。Alifanov [1]、[2]的早期研究证明了正则化技术的有效性，并为反传热分析奠定了理论基础。许多当代反演算法基于Alifanov和Artyukhin [3]提出的用于非线性反导热问题的正则化数值方法。

经典傅里叶热传导模型假设热扰动瞬时传播到整个介质中。当热反应在高强度加热条件或极短时间尺度下发生时，这一假设就受到质疑。Cattaneo [4]和Vernotte [26]独立开发了一种扩展的热传导理论，以考虑有限的热波传播速度，从而克服这一限制。随后，许多学者创建了求解反双曲热传导问题的解析和数值方法。Chen和Yang [6]为瞬态传热估计创建了迭代正则化方法，Chen等人 [5]提出了双曲反热传导的数值方法。为了识别热物性并估计热传输，还提出了基于遗传算法和优化方法的反演方法 [7]、[8]、[9]、[10]。Kaminski [11]对非均匀材料的双曲热传导方程进行了进一步研究，而Lee等人 [12]利用反双曲热传导分析预测生物组织中未知的表面热通量。

由于活体组织中的热传递与热疗、激光手术、高热治疗、冷冻疗法、微波加热和热诊断直接相关，它引起了广泛关注。Liu [13]研究了生物组织中的波动传热行为，Liu [14]、[15]研究了多层金属和生物结构中的热反应。Liu和Cheng [17]、[18]研究了多层介质和生物组织中的有限速度热传播，而Liu等人 [16]阐明了热波现象在烧伤评估中的重要性。Ma等人 [19]研究了多层皮肤组织中的非傅里叶热行为和激光诱导热损伤。Ozen等人 [21]利用热波生物热模型研究微波诱导的组织加热，而Mitra等人 [20]揭示了双曲热传导的实验证据。

Pennes生物热方程仍然是最流行的生物传热模型 [22]。尽管Pennes公式正确地将血液循环和代谢产热纳入考虑，但它本质上基于傅里叶定律，因此忽略了热波效应。进一步的研究强调了非傅里叶热传输在生物组织和具有复杂内部结构材料中的重要性 [23]、[24]、[25]。这些研究表明，在瞬态加热条件下，热弛豫效应可能会显著影响温度分布、热波传播和组织损伤预测。

从记录的温升历史中确定未知的表面热通量仍然是热科学中最具挑战性的反演问题之一。传统反演算法通常在每个优化循环中需要反复求解正向、敏感性和伴随问题。尽管这些方法可以产生精确的重构，但在处理大数据集、实时监测或重复反演分析时，计算成本会非常高。因此，能够有效近似反演热算子且具有较低计算成本的代理模型变得越来越必要。

近年来，科学机器学习的进步使得能够求解由偏微分方程控制复杂的正向和反演问题。Lu等人 [28]在本研究中开发了一种基于物理的模拟辅助DeepONet框架，用于反演表面热通量重构。控制双曲生物热模型提供了生成高保真温度-热通量数据的物理基础，而DeepONet通过有监督训练学习由此产生的反演算子。因此，物理一致性是通过基于模型的数据生成过程引入的，而不是通过神经网络损失函数中的显式控制方程残差。在求解参数偏微分方程中，相关的神经网络算子技术，如傅里叶神经网络算子 [29]、神经网络算子框架 [30]和U形神经网络算子 [34]，展现了令人印象深刻的性能。此外，物理信息机器学习算法 [31]、[32]、[33]、[35]大大增强了将物理规律纳入数据驱动模型的能力。

最近，利用机器学习求解反演物理问题引起了大量兴趣。科学机器学习框架使得能够准确近似解算子，并在训练后显著降低计算成本 [35]。此外，物理信息学习技术在生物系统和热传输应用中展现了出色的性能 [36]。此外，算子学习技术在解决具有有限观测数据和复杂物理过程的反演问题方面展现了前景 [37]。

除了传统的整体域优化方法外，反传热估计的序列和准在线策略也得到了大量关注。Sun等人 [38]采用了一种分散式模糊推理方法，在激光诱导热疗过程中重构生物组织中的表面激光功率和内部温度，展示了基于推理的方法在生物医学热重构中的适用性。最近，Zhang等人 [39]开发了一种改进的逐步更新卡尔曼滤波器，用于初始温度场不确定条件下的非线性反传热估计。Zhang等人 [40]还推进了序列优化，提出了一种改进的序列共轭梯度方法，用于非线性反传热问题中的实时估计。这些方法强调了高效处理瞬态热信息的重要性，而无需反复执行传统的整体域优化。然而，序列滤波、模糊推理和算子学习遵循根本不同的计算范式。这促使我们研究DeepONet作为一种离线训练的反演算子，它能够随后从新的温升历史提供快速的重复重构。

受这些进展的启发，当前工作提出了一种使用机器学习处理多层人体皮肤组织中反双曲生物传热问题的范式。首先，利用控制双曲生物热方程生成对应于不同瞬态表面热通量 [42]、[43]、[44]情况的高保真热数据集。然后，使用基于敏感性分析、伴随方程和共轭梯度法的传统反演求解进行热通量重构。随后，使用DeepONet架构 [[46]、[47]]学习连接记录温升历史与未知表面热通量分布的非线性反演算子。在阶跃、指数、高斯和正弦加热情况下，在各种噪声水平和传感器位置下评估了所建议框架的预测能力。

热表征和非傅里叶传热建模的最新进展加强了在异质介质中真实表征瞬态热现象的必要性。Zhao和Wu [48]提出了一种热脉冲方法来测量有效热特性，并展示了瞬态热响应在材料特性评估中的重要性。[49] Singhal等人通过解析建模和人工神经网络研究了在斜坡加热和移动热载荷下皮肤组织中的两温度热弹性生物传热，在生物医学热传输中。此外，Sur等人 [50]将物理信息神经网络和数据驱动方法相结合，研究了辐照半导体介质中的非傅里叶热传输。耦合热力学的相关进展也考虑了记忆和尺寸依赖效应；例如，Das等人 [52]使用记忆依赖的Moore-Gibson-Thompson理论研究了水-热-电-力学行为，而Singhal等人 [55]将分数阶Moore-Gibson-Thompson热弹性与机器学习辅助预测相结合，用于非局部结构。Das等人 [56]探索了分数阶非局部压电热弹性动力学，这是泛化传热理论在具有有限速度和记忆依赖热响应系统中的重要性日益增长的另一个实例。

泛化热建模的进展伴随着基于深度学习的重构和预测算法越来越多地用于加速计算困难的物理问题。Ren等人 [51]开发了一个框架，将物理和深度学习模型相结合，以提高特性预测的计算效率和可解释性。Jiang等人 [53]展示了深度学习在数字全息显微镜相位重构中的应用。Wang等人 [54]引入了一种增强的深度神经网络技术，用于核电站传感器异常检测和重构。从时变数据分析的角度来看，Yu等人 [57]提出了一种基于深度图核的技术，用于时间序列分类。最近，Xu等人 [58]提出了一种自回归物理信息图神经网络，用于高功率换能器中温度场的实时预测，突出了物理引导学习在快速热场估计方面的前景。类似地，Yin等人 [62]利用深度学习和物理信息反演，使用时序观测图像地下交换过程。这些工作说明了深度和物理引导学习在重构、反演分析和复杂物理系统快速预测中的重要性日益增加。

在生物组织的非傅里叶热建模方面也取得了显著进展。Singhal等人 [59]研究了在环境暴露期间使用双相滞生物热公式进行人眼热传输。Singhal等人 [60]研究了非傅里叶热波在多层眼组织中的传播。Singhal等人 [61]基于双相滞热弹性理论对多层人眼中的热传递进行了类似的解析研究。在皮肤组织中，Singhal等人 [63]提出了一种混合分数阶热弹性-机器学习框架，结合KNN、CNN和SVM技术，而Singhal等人 [67]将分数阶热弹性、Atangana-Baleanu和Cattaneo-Vernotte公式与机器学习分类器相结合，用于研究皮肤组织中的热和质量传递。Tiwari等人 [69]研究了在不同温度条件下记忆效应对皮肤组织生物热响应的影响。最近，Singhal等人 [66]将双相滞数学模型与力学信息机器学习相结合，用于眼部热风险预测。总体而言，这些发现突出了非傅里叶公式和基于机器学习技术在定义和预测生物介质瞬态热行为中的重要性日益增加。

物理引导学习的一般进步也使其更容易应用于反传热问题。Zhu等人 [64]开发了一种具有基于物理先验的时频物理信息神经网络架构，用于跨域重构，展示了混合物理-学习技术在恢复复杂系统响应中的可行性。Filippi等人 [65]使用自动化计算和机器人方法对原代细胞进行微操纵和流动检查，说明了智能计算技术与生物学研究的日益融合。Wei等人 [68]创建了一个自动深度学习过程，用于精准治疗心血管代谢疾病的体成分分析，进一步证明了数据驱动方法在生物医学决策支持应用中日益增加的使用。然而，据我们所知，迄今为止文献中没有报告一种有效的算子学习框架，明确用于学习从内部瞬态温度数据到未知表面热通量历史的反演映射，在多受双曲热传输支配的多层皮肤模型中。这一空白促使了当前工作，其中DeepONet被用作模拟辅助的算子学习代理，用于离线训练后快速重复反演热通量重构。

本研究的主要贡献总结如下：• 开发了一个DeepONet辅助的反演算子，用于直接从内部温度观测值中重构由双曲热传输支配的多层生物组织中未知的瞬态表面热通量历史。

• 本研究采用已建立的双曲型生物热传导公式作为问题的物理基础，而非将其宣称为一种新的传热模型。
• 引入了一种混合离线 - 在线计算策略。在离线阶段，传统的敏感性、伴随和共轭梯度计算提供高保真的反演信息；而在在线阶段，训练好的 DeepONet 通过直接算子评估执行后续的热流重构，无需为每个新的温度历史重复完整的迭代反演过程。
• 研究了所学习的反演算子在具有显著不同时间特征的瞬态热载荷下的泛化能力，包括阶跃、指数、高斯脉冲和正弦热流历史。
• 系统地检验了反演重构相对于测量噪声、传感器位置和热弛豫时间的鲁棒性，从而评估了所学习算子在受扰动热观测和非傅里叶传输条件下的稳定性。
• 定量评估了 DeepONet 辅助重构相对于传统基于共轭梯度法（CGM）的反演程序的计算性能，展示了算子学习在离线训练阶段完成后进行快速重复反演评估的潜力。

这些贡献使本研究区别于传统的正向或逆向双曲型生物热分析。其新颖性不在于引入新的双曲型传热方程，而在于学习连接内部温度历史与瞬态表面热流函数的非线性反演算子，并在多层非傅里叶生物热传输环境下评估其准确性、鲁棒性和计算效率。

需要强调的是，本研究的创新性并不在于构建另一种正向或逆向双曲型生物热传输模型，因为此类公式及其传统数值解在文献中已有成熟定论。此处考虑的剩余计算挑战在于当有新的内部温度历史数据可用时如何重复求解反问题。传统的基于梯度的重构方法需要对每个新观测值迭代评估热场及相关敏感性或伴随信息，这可能限制了重复或快速反演评估的实施。本研究从算子学习的角度解决了这一问题。DeepONet 并非用于近似单一的热流解，而是被训练以学习从内部温度历史函数到相应瞬态表面热流函数的非线性映射。一旦该反演算子在离线阶段完成学习，便无需重复完整的传统优化过程即可对先前未见的观测值进行评估。因此，本研究的贡献在于将已建立的多层双曲型生物热物理模型与反演算子学习相结合，并系统地评估该框架在不同加载特性、测量噪声水平、传感器位置及热弛豫条件下的性能。

**章节摘录**

**直接问题**
考虑了承受未知瞬态表面热载荷的多层人体皮肤中的热传递问题。该生物介质由具有不同热物理和生理特性的表皮、真皮和皮下组织层组成。外部加热通过施加于暴露皮肤表面的时变表面热流边界条件 q(t) 来表示。因此，本公式代表表面热激励，而非显式的光能量

**所提议框架概述**
第 2 节中描述的传统反演公式为从内部温度观测值估算未知的瞬态表面热流提供了成熟的基于物理的基础。在本研究中，该公式并非作为新的逆向双曲型生物热模型引入；相反，它作为构建算子学习问题的高保真物理框架。传统的基于共轭梯度法（CGM）的重构需要迭代评估

**DeepONet 训练性能**
利用多层人体皮肤中双曲型生物热方程数值解生成的温度 - 热流数据集来训练所提出的 DeepONet 模型。训练过程的目标是学习连接内部温度历史与相关未知表面热流分布的非线性反演算子。为了确保稳健算子学习所需的充分多样性，创建的数据集包含多种加热情形，包括

**正向模型验证与数值一致性**
反演热流重构及后续 DeepONet 预测的可靠性从根本上取决于用于生成瞬态温度响应的正向生物热模型的准确性和物理一致性。因此，在解释反演结果之前，从极限情况一致性、基于守恒的数值处理以及主控方程变化下重构响应的稳定性等角度对正向公式进行了评估

**结论**
本研究提出了一个 DeepONet 辅助的反演框架，用于重构受激光照射的多层人体皮肤中未知的瞬态表面热流。采用双曲型生物热公式对生物组织的热响应进行建模，该公式纳入了有限热波传播和热弛豫效应，比经典的基于扩散的模型提供了更真实的瞬态热传输表征。高保真反演解

**作者贡献**
Seema：概念化、数学建模、反问题公式化、机器学习实施、软件开发、数值模拟、数据分析、可视化、验证及原稿撰写。Zuhur Alqahtani：调查研究、方法完善、结果解释、稿件审阅及编辑。Areej Almuneef：数据验证、结果分析、审阅及编辑、稿件准备。Naglaa Mohammed：项目管理。

**CRediT 作者贡献声明**
Zuhur Alqahtani：资源、正式分析、概念化。Seema：写作 - 审阅与编辑、写作 - 原稿、可视化、监督、软件、方法论、调查研究。Areej Almuneef：资源、调查研究、资金获取、正式分析、数据管理。Naglaa Mohammed：项目管理、调查研究、正式分析、数据管理。

**资金声明**
普琳塞斯·努拉·宾特·阿卜杜勒 - 拉赫曼大学研究人员支持项目编号（PNURSP2026R518），普琳塞斯·努拉·宾特·阿卜杜勒 - 拉赫曼大学，沙特阿拉伯利雅得。

**竞争利益声明**
作者声明不存在已知的竞争性财务利益或个人关系，这些关系可能会影响本文报告的工作。

**致谢**
普琳塞斯·努拉·宾特·阿卜杜勒 - 拉赫曼大学研究人员支持项目编号（PNURSP2026R518），普琳塞斯·努拉·宾特·阿卜杜勒 - 拉赫曼大学，沙特阿拉伯利雅得。

Zuhur Alqahtani|Seema|Areej Almuneef|Naglaa Mohammed