《International Communications in Heat and Mass Transfer》：Electro-osmotic transport and heat transfer of cross fluid model in an inclined contracting-expanding elastic microchannel: numerical and improved physics-informed modelling
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摘要译文：本研究开发了一个计算框架，用于模拟Cross流体在具有收缩-扩张壁面的倾斜可变形微通道中的非线性电渗输运。尽管物理信息神经网络（PINNs）已成为求解非线性微分方程的有效方法，但其在电渗、Cross流体流变特性、可变形壁面、混合对流、壁面滑移及通道倾
摘要译文：本研究开发了一个计算框架，用于模拟Cross流体在具有收缩-扩张壁面的倾斜可变形微通道中的非线性电渗输运。尽管物理信息神经网络（PINNs）已成为求解非线性微分方程的有效方法，但其在电渗、Cross流体流变特性、可变形壁面、混合对流、壁面滑移及通道倾斜等耦合问题中的应用尚未得到全面研究。通过采用长波长和低雷诺数近似，控制方程被简化为非线性常微分方程组。随后，利用基于配点法的BVP4C方法、标准PINN以及基于高斯过程超参数调优的贝叶斯优化PINN（BO-PINN）对所得边值问题进行数值求解。根据现有文献，这是首次将贝叶斯超参数优化与PINN相结合，用于倾斜可变形微通道中Cross流体电渗输运的研究。该框架自动确定最优网络架构和训练超参数，与基线PINN相比，收敛性和预测精度均得到改善。系统研究了电渗力、壁面滑移、混合对流、通道倾斜及Cross流体剪切变稀行为对输运特性的影响。优化后的BO-PINN将相对L2误差降至10-3以下，与数值解高度吻合。所提出的计算框架为分析可变形微流控系统中的耦合输运现象提供了一种高效且精确的方法，并有望支持实际芯片实验室器件、人工微泵、微流控生物反应器及其他采用可变形微通道的微流控系统的设计与优化。
论文解读文章
**研究背景与问题**
蠕动输运在生理和工业领域具有广泛应用，例如输尿管运输、吞咽、消化道食糜运动、血液微循环以及生殖系统中精子运动等。自Latham的开创性工作以来，蠕动流动的研究不断深入，涉及核工业危险流体输送、滚柱泵、指状泵及心肺转流（CPB）设备等工程应用。可变形壁面的蠕动运动由周围肌肉张力调控，其数学建模通常基于壁面位移方程。已有研究分别考察了粘性流体、Maxwell流体等在可变形壁面通道中的蠕动流动特性。非牛顿流体因具有剪切变稀、粘弹性等复杂流变行为，需要采用不同本构模型进行描述，其中Cross流体模型能够表征动态粘度在高剪切率和低剪切率下的双渐近极限特性，适用于描述剪切变稀行为。电渗现象发生在固体表面与液体界面上，表面电荷在固-液界面形成双电层（EDL），在外部电场作用下，EDL中可移动离子迁移并拖拽周围液体，形成电渗流（EOF）。电渗流在微尺度通道中具有无移动部件、易于控制和制造、减少样品扩散等优势，因此被广泛应用于微流控芯片、人工微泵、微流控生物反应器等器件。此外，倾斜通道更贴近生理管道和工程系统的实际构型，重力效应会影响流动与传热特性。近年来，深度学习尤其是物理信息神经网络（PINNs）在求解线性和非线性偏微分方程方面展现出巨大潜力，其能够将物理定律直接嵌入损失函数，无需网格划分，适用于复杂非线性方程。然而，现有研究尚未将贝叶斯优化的PINN应用于倾斜可变形微通道中Cross流体电渗输运问题，系统性的超参数优化对该类非线性输运问题收敛行为与预测精度的影响也缺乏探索。为此，研究人员开展了本研究。
**研究内容与结论**
本研究建立了二维倾斜通道中不可压缩非牛顿Cross流体的非定常蠕动流动与传热模型。控制方程包括连续性方程、含电渗力与混合对流的x方向动量方程、y方向动量方程，以及含内热源的能量方程。壁面采用收缩-扩张弹性壁模型，并考虑了壁面滑移条件。电渗效应通过Poisson-Boltzmann方程描述，采用Debye-Hückel线性化得到EDL电势方程。通过引入无量纲参数并进行长波长和低雷诺数近似，将控制方程简化为非线性常微分方程组。温度场与电势场获得了解析解，速度场则通过数值方法求解。研究中采用三种方法求解边值问题：基于配点法的BVP4C、标准PINN以及基于高斯过程贝叶斯超参数优化的BO-PINN。贝叶斯优化自动确定网络架构和训练超参数，包括学习率、每层节点数、隐藏层数和激活函数。通过内层Adam优化器最小化训练损失、外层贝叶斯优化选择超参数的嵌套优化策略，实现了高效的超参数搜索。该研究发表于《International Communications in Heat and Mass Transfer》。
**主要技术与方法**
研究人员采用以下关键技术方法：（1）基于长波长（δ?1）和低雷诺数（Re?1）近似的无量纲化控制方程简化方法；（2）解析求解温度场与电势场，利用Mathematica获得封闭解；（3）采用MATLAB中的BVP4C配点法数值求解速度场边值问题；（4）构建标准PINN模型，将控制方程残差和边界条件损失纳入总损失函数；（5）提出基于高斯过程的贝叶斯超参数优化（BO-PINN）框架，以期望改进（EI）为采集函数自动搜索最优网络结构与训练参数。样本来源为文献参数范围，未涉及具体实验队列。
**结果与讨论**
**（1）PINN与BO-PINN的对比分析**
通过速度分布对比，标准PINN与调优后PINN均与BVP4C参考解吻合，但标准PINN在高梯度区域存在明显偏差，而BO-PINN通过贝叶斯优化获得合适超参数架构，更有效地学习物理规律，相对L2误差显著降低。训练历史显示，调优PINN的损失在1000轮内稳定下降，边界条件损失降至10
-6；而基线PINN在2000轮后出现振荡，边界条件损失仅降至10
-4。贝叶斯优化在第11次试验获得最小目标函数值，验证了该方法无需手动试错即可改进网络结构。绝对误差直方图显示调优PINN的误差集中于零附近，而基线PINN分布更宽且右偏。激活函数比较中，sigmoid与SiLU分别获得0.025和0.026的最小均方根误差（RMSE），系统框架自动选择sigmoid。计算时间方面，基线PINN耗时272.52秒，贝叶斯调优PINN降至161.99秒，尽管存在一次性离线调优成本，但优化后的超参数可复用。相对L2误差分析表明，调优PINN训练后期误差降至0.001并保持稳定，预测精度比基线PINN高五倍。
**（2）温度场与速度场参数影响**
热源参数B增大时，流体温度升高，由于边界温度固定，内部产热增多导致温度分布上升。滑移参数Γ增大会减小壁面摩擦，使速度增加。电渗速度参数U
HS增大时，EDL中的离子在电场作用下获得更强电渗驱动力，轴向速度增高，且在通道中心区域增幅最大。Grashof数Gr增大强化热浮升力，增强混合对流，使速度上升。Weissenberg数We增大时，Cross模型中的非线性项增强，剪切变稀效应导致粘度降低，流动阻力减小，速度提高。壁面特性参数中，刚性参数E1增大使壁面更刚性，抑制近壁流动，但电渗力和浮力增强核心区流动，使中心线速度增加；刚度参数E2增大呈现类似趋势；粘性阻尼参数E3增大则耗散更多机械能，使整个通道内速度降低。时间依赖性分析显示，速度随时间增加，尤其在通道中心区域，这与蠕动波引起的弹性壁形状和压力梯度随时间变化有关。
**（3）壁面摩擦与Nusselt数**
Grashof数从0.20增至0.80时，下壁面轴平均剪应力从0.573增至0.660，增幅15.2%；上壁面从0.568增至0.608，增幅7.0%。热源参数B从0.20增至0.30时，下壁面Nusselt数从0.346降至0.266，降幅23.1%；上壁面Nusselt数从0.746增至0.846，增幅13.4%。
**（4）流线拓扑与捕获**
流线图显示捕获涡旋（boluses）存在于通道扩张区域，边界由黑色箭头线限定，内部流体被封闭循环运动。增大U
HS使轴向流动增强，捕获涡旋更受限制，表明电渗输运增强。增大Gr使捕获涡旋更显著且核心流动强化，表明浮力驱动输运增强。增大Γ使捕获涡旋更小且更受限，轴向流动因壁面阻力降低而增强。
**结论总结**
本研究针对倾斜可变形微通道中Cross流体电渗输运与传热问题，采用BVP4C、标准PINN和基于高斯过程贝叶斯优化的BO-PINN三种方法求解控制方程。关键发现包括：热源参数增加增强传热并提高温度分布；速度随Γ、U
HS、Gr、E1和We值增加而增强；捕获涡旋数量随Γ增加而减少；优化后的PINN比固定超参数的常规PINN具有更高精度和更快收敛速度。所提出的数值与数据驱动相结合的计算框架为实际微流控系统中耦合流动与传热的快速预测与优化提供了高效工具，可降低计算成本，并支持芯片实验室器件、人工微泵、微流控生物反应器等微流控技术的设计。未来研究方向包括采用Tree-Structured Parzen Estimator（TPE）和随机森林代理模型等替代贝叶斯优化策略，并与自适应PINN、残差PINN、区域分解PINN等先进架构集成，以解决更复杂的实际问题。
