一种用于格子玻尔兹曼求解器的选择性频率阻尼方法

《International Journal of Heat and Fluid Flow》：A selective frequency damping method for Lattice-Boltzmann solvers

　　

• 采用格子玻尔兹曼方法的选频阻尼技术改善了稳态RANS的收敛性。
• 该方法在3个流动算例中进行了测试，包括存在分离边界层和附着边界层的情况。
• 对主要参数进行了敏感性研究，整体结果令人振奋。

**引言**

格子玻尔兹曼方法（LBM，Krüger等人，2017）是一种用于计算流体力学的动力学方法。在LBM中，流动变量（如密度、速度）直接由微观粒子性质获得。LBM的优势在于其并行性、结构简单、编码简便，以及能够直接引入微观相互作用。在过去30年中，LBM已被应用于多种湍流配置的计算（Jahanshaloo等人，2013），使用雷诺平均Navier-Stokes（RANS）、大涡模拟（LES）或混合RANS/LES模型。

Chen（2012）将Spalart-Allmaras（SA，Spalart和Allmaras，1992）模型与LBM结合，应用于Re=10?时NACA0012翼型周围的流动，获得了非常良好的精度，因为偏差仅出现在脱开区域。在Li等人（2012）和Pellerin等人（2015）的研究中，使用SA-LBM对Re=5×10?下的同一翼型配置进行了模拟，精度水平与Chen（2012）相当。最近，Degrigny等人（2021）将SA-LBM应用于Re=6×10?时NACA0012翼型周围的流动，并特别关注了壁面边界条件。Wilhelm等人（2018）、Cai等人（2021）将SA-LBM结合特定壁面处理方法，应用于Re=1.88×10?的非对称NACA23012翼型周围的流动，Wilhelm等人（2018）还在Re=16×10?下进行了研究。此外，Husson等人（2023）考虑了Re=3×10?的二维凸起流动，Ponsin和Lozano（2025）研究了湍流通道流动。

双方程模型如k?ε（Launder和Spalding，1983）和k?ω（Wilcox，1988）也在LBM模拟中得到了应用。Teixeira（1998）使用k?ε LBM模拟了ReH=44000的后向阶梯流动，与参考结果的吻合度非常好。Shu等人（2006）也在同一配置中比较了SA-LBM和k?ω LBM，结果显示双方程模型在回流区域的精度更好。Bartlett等人（2013）在Re=1.25×10?的圆柱周围流动中也采用了双方程湍流模型的LBM（使用k?ε LBM模型）。Filippova等人（2001）在Re=10?和RE=3×10?条件下使用k?ε LBM研究了NACA4412翼型。Mozaffari等人（2024）在Re=1.88×10?条件下对NACA23012翼型进行了SA和SST k?ω（Menter，1994）模型的比较研究。尽管在上述不同研究中均获得了与参考结果的良好一致性，但所求解的方程均为非定常RANS方程，导致所有情况下均为非定常模拟。当向混合RANS/LES模型扩展时这不是问题（Husson等人，2024；Mozaffari等人，2024），但当只需要平均结果时，与稳态RANS模型相比，这可能会增加模拟的计算成本。

已有多种方法被提出，以解决格子玻尔兹曼方法在处理稳态流动时的非定常性质问题，并提高其收敛性。Guo等人（2004）提出了一种基于单松弛时间碰撞模型的前置条件格子玻尔兹曼方法，以提高低雷诺数稳态模拟的收敛速度。该方法通过在格子玻尔兹曼方程中引入前置条件因子γ∈]0,1]，当γ<1时降低有效声速，从而加速模拟的收敛率。该方法在Re=100的Couette流动和Re=400、Re=1000的顶盖驱动腔流动中得到了验证。Premnath等人（2009）使用前置条件MRT LBM格式加速了Poiseuille流动的稳态收敛。De Rosis（2017）将Guo等人（2004）提出的方法扩展到非级联中心矩LBM方法，并在同一顶盖驱动腔配置上验证了其有效性。Hajabdollahi和Premnath（2018）也将前置条件方法扩展到级联中心矩LBM，使得Re=3200和Re=5000的顶盖驱动腔流动的收敛率得到提高。Yahia和Premnath（2022）采用相同的策略，使用前置条件中心矩LBM格式加速顶盖驱动腔流动的收敛，雷诺数可达Re=3200。Mavriplis（2006）提出了一种多重网格格子玻尔兹曼求解器，以在不牺牲精度的前提下提高模拟的收敛率。Gsell等人（2020）将该方法与时步策略耦合，在处理低雷诺数流动时展现了其效率。

其他方法也被提出以提高低雷诺数模拟的收敛率，包括修改LBM格式中的松弛频率（Boraey，2019）或使用隐式有限体积格子玻尔兹曼格式（Li等人，2019）。Walsh和Boyle（2020）将前置条件方法与非笛卡尔网格上的格子玻尔兹曼通量求解器结合，使顶盖驱动腔流动的收敛率在Re=10000以下得到提高。为处理更高雷诺数的流动，Shu和Yang（2018）提出使用MRT LBM格式配合隐式求解的k?ε模型。Hejranfar和Saadat（2018）提出了所有这些方法的混合方案，使用前置条件有限差分格子玻尔兹曼格式，结合五阶WENO格式以及SA和SST k?ω湍流模型，以减少Re=6×10?的NACA0012翼型周围流动的计算成本。

值得强调的是，统计稳态湍流RANS模拟的目的是预测平均流动，其物理意义是湍流的系综平均。由于LBM求解器本质上是非定常的，需要进一步操作以确保向稳态的收敛。前面介绍的策略大多并非以此为精确目标，除了最后两个例外。本文研究的是一种更为简单的方法。我们提出将?kervik等人（2006）提出的选频阻尼（SFD）方法——该方法已用于Navier-Stokes求解器以提高湍流RANS模拟的收敛率（Xu等人，2023）——扩展到格子玻尔兹曼方法中。本文的组织结构如下。第2节简要介绍了本文中使用的SFD、湍流和格子玻尔兹曼模型。第3节呈现了Re=140000的圆柱周围流动、Re=1.7×10?的30P30N翼型周围流动以及Re=1.88×10?的NACA23012翼型周围流动的数值结果。结论在第4节给出。

**Navier-Stokes方程**

在本文工作中，我们考虑包含质量守恒（公式(1)）和动量守恒（公式(2)）的过滤Navier-Stokes方程，并纳入?kervik等人（2006）引入的选频阻尼过程。

?ρ/?t + ?(ρu?)/?x? = 0

?(ρu?)/?t + ?(ρu?u?)/?x? = ??P/?x? + ?(ντ??^ν)/?x? + ?(τ??^R)/?x? + F?^SFD

其中ρ为流体密度，u为流体速度，P为压力。公式(2)中的粘性应力张量τ??^ν由下式给出：

τ??^ν = 2μS?? ? (1/3)(?u?/?x?)δ??

其中 S?? = (1/2)(?u?/?x? + ?u?/?x?)

而Reynolds应力张量τ??^R通过模型描述。

**结果与讨论**

上述LB-SFD方法现在在三个流动配置中进行测试：(i) 基于圆柱直径的ReD=1.4×10?的圆柱周围流动（Cantwell和Coles，1983），(ii) 基于翼型弦长的Rec=1.7×10?的30P30N翼型周围流动（Pascioni等人，2014），(iii) 基于翼型弦长的Rec=1.88×10?的NACA23012翼型周围流动（Lee和Bragg，1999）。在所有这些情况下，LB-SFD方法的有效性通过强制流场之间的偏差来评估。

**结论**

本文提出了一种改善格子玻尔兹曼RANS计算收敛性的方法。该LB-SFD方法基于选频阻尼技术，其核心是在LBM方程中添加一个体积力，该力驱动速度趋向其平均值。该力类似于主动控制装置，其关键参数是比例增益，这里称为χ。该方法的初步测试已在圆柱周围流动以及30P30N翼型周围流动的情况下进行了验证。

**CRediT作者贡献声明**

Jér?me Jacob：原稿撰写、验证、指导、软件、资源、方法学、调查研究、形式分析、概念化。Samuel Carré：原稿撰写、可视化、验证、调查研究、数据整理。Christophe Friess：原稿撰写、验证、指导、项目管理、方法学、调查研究、形式分析、概念化。

**利益冲突声明**

作者声明他们不存在任何已知的可能影响本文所述工作的竞争性财务利益或个人关系。

**致谢**

感谢普罗旺斯-阿尔卑斯-蓝色海岸计算中心提供高性能计算资源。

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