冷冻手术相变生物热传递的物理信息神经网络框架

《International Communications in Heat and Mass Transfer》：A physics-informed neural network framework for phase-change bioheat transfer in cryosurgery

　　

摘要

物理信息神经网络（PINNs）已成为求解偏微分方程的一种极具前景的方法。然而，将其应用于冷冻外科中的生物热传导问题仍面临诸多挑战。相变过程引入了强烈的非线性，导致PINN训练过程中出现刚性优化动力学。本研究开发了一个稳定框架来解决这一问题，使单个PINN能够预测温度场的时空演化。该框架将方程级无量纲化与一组训练策略相结合，以稳定训练过程并改善优化行为。通过与FEniCS参考解对基准算例进行验证，在三次预定义随机种子的独立运行中，平均相对$L^2$误差为$1.104\times 10^{?2}$。在$0°\mathrm{C}$、$?20°\mathrm{C}$和$?40°\mathrm{C}$等温线轮廓上，长轴和短轴的平均绝对误差均低于1.0 mm。本研究还进行了敏感性分析，考察了训练配置和网络架构的影响，为PINN性能的关键因素提供了见解。进一步验证表明，所提出的框架在探针尺寸、探针冷却曲线和相变区间等测试变体下均能保持稳定的性能，说明该框架的适用性不限于本文所考虑的特定基准配置。

引言

冷冻外科已成为治疗各种肿瘤的一种重要的微创方法。通过冷冻探针输送极端低温，经细胞脱水、代谢紊乱、冰晶形成和血管淤滞等机制引起组织坏死[1]，[2]。冷冻外科的成功取决于冰球生长的精确控制，使有效消融区域完全覆盖肿瘤体积，同时保护邻近的健康组织。先前的研究表明，细胞破坏发生在$?20°\mathrm{C}$至$?40°\mathrm{C}$的温度范围内，而完全的组织坏死则需要温度低于$?40°\mathrm{C}$[1]，[2]，[3]。因此，温度场的演化是组织损伤的关键指标，其准确预测对于确保冷冻外科手术的安全性和有效性至关重要。

传统的数值方法，如有限元方法和有限体积法，已被广泛用于模拟冷冻外科温度场[4]，[5]，[6]，[7]，[8]，[9]。这些方法通过对时空域进行离散化，将描述热传导过程的偏微分方程（PDEs）转化为耦合代数方程，然后在每个时间步上进行迭代求解。数值方法的精度取决于空间和时间离散化的分辨率，需要足够精细以捕捉冷冻外科中陡峭的温度梯度和相变行为。这些数值方法已被确立为生物热传导建模的标准方法。

近年来，物理信息神经网络（PINNs）已成为求解偏微分方程的另一种替代方法[10]，[11]，[12]，[13]。PINNs通过在损失函数中将控制物理定律作为软约束进行施加，将其嵌入神经网络的训练中。这种无网格范式避免了复杂离散化的需求，使PINNs能够学习连续解场。PINNs的有效性已在广泛的领域中得到验证，包括医学[14]，[15]，[16]，[17]、材料科学[18]，[19]，[20]，[21]、流体力学[12]，[22]，[23]，[24]，[25]，[26]，[27]和固体力学[28]，[29]，[30]，[31]。

尽管PINNs近年取得了成功，但其在冷冻外科温度场预测中的应用仍然尚未得到充分探索。现有研究主要集中在简化的热传导问题上。例如，大量研究已解决了一维和二维Stefan问题[32]，[33]，[34]，其重点在于理想化条件下的移动边界动力学，包括纯热传导、恒定物性和有限的温度变化。若干研究已将PINNs应用于热消融中的温度场预测[35]，[36]，[37]。然而，与冷冻外科相比，这些场景涉及的温度变化较为温和，且不包含相变过程，因此PINNs的建模和训练复杂度较低。

在冷冻外科中，相变过程引入了尖锐的热转变以及由潜热释放和温度相关热物性引起的强非线性。此外，冷冻探针附近的温度可能极低，潜在接近$?196°\mathrm{C}$。冷冻探针附近陡峭的温度梯度导致高度不均匀的PDE残差分布，在某些局部区域某些物理项占主导地位。残差幅值的这种不平衡使得训练期间不同损失分量的协调变得困难。因此，冷冻外科中的生物热传导问题对PINNs构成了重大挑战。

在本研究中，我们开发了一个稳定框架来应对PINNs应用于冷冻外科场景时所面临的挑战，使单个PINN能够准确捕捉温度场的时空演化。该框架将方程级无量纲化与一组训练配置相结合，以提高收敛稳定性和预测精度。利用数值模拟获得的参考解来评估所提框架的性能。通过定性分析和定量结果展示其准确捕捉温度场演化的能力。此外，本研究还考察了训练配置和网络架构设置对收敛行为和预测精度的影响，揭示了PINN训练对不同设计选择的敏感性。进一步在探针尺寸、探针冷却曲线和相变区间等选定变体下对所提框架进行评估，以考察其在所考虑数值设置中的鲁棒性。

本文其余部分结构如下：第2节描述冷冻外科生物热传导问题的数学表述。第3节介绍PINN架构和训练配置。第4节展示实验结果和敏感性分析。第5节讨论控制PINN训练稳定性和精度的因素，以及所提框架的作用。最后，第6节给出结论。

章节摘要

数学表述

本节介绍冷冻外科中生物热传导问题的数学表述。第2.1节介绍几何构型和计算域。第2.2节描述控制方程的表述，包括相变生物热模型、初始和边界条件以及无量纲化策略。

PINN架构与训练配置

本节描述用于求解冷冻外科生物热传导问题的PINN架构和训练配置。为便于引用，所提出的PINN框架称为CryoPINN。第3.1节介绍网络架构。第3.2节描述物理信息损失函数的表述，包括PDE残差损失以及初始和边界条件的施加。第3.3节概述本研究采用的训练配置。

结果

本节对所提出的框架进行全面评估。预测结果通过与FEniCS框架计算得到的数值参考解进行对比评估。第4.1节介绍数值参考解和本研究采用的评估设置。第4.2节提供所提框架的定性和定量性能评估。第4.3节展示无量纲化在稳定网络训练中的作用及敏感性

讨论

本研究的目标是开发一个稳定框架，使单个PINN能够捕捉冷冻外科过程中温度场的时空演化。为此，我们采用简化的二维、均匀计算域，以隔离PINNs的核心训练难点，即在强非线性和大局部梯度下的优化不稳定性。在这种简化设置中实现稳定训练和准确预测是必要的前提条件

结论

在本研究中，开发了一个用于冷冻外科温度场预测的PINN框架。本研究解决了将PINNs应用于相变生物热传导问题的挑战，其中强非线性和物理量级的巨大变化导致了不稳定的训练行为。该框架将方程级无量纲化与一组训练配置相结合，以提高收敛稳定性和预测精度。与参考解的验证结果表明

CRediT作者贡献声明

Yunjia Lei（雷云佳）：撰写—审阅与编辑，撰写—初稿，可视化，验证，软件，资源，项目管理，方法论，调查研究，形式分析，概念化。Weidong Wang（王伟东）：撰写—审阅与编辑，监督指导。Fuliang Luo（罗福良）：撰写—审阅与编辑，监督指导，资源。

利益冲突声明

作者声明他们不存在可能影响本文所述工作的已知竞争性财务利益或个人关系。

致谢

作者感谢匿名审稿人提出的建设性意见和建议，这些意见和建议帮助改进了本文。本研究得到北京市博士后科研基金资助（项目编号：2026-ZZ-151）。

Yunjia Lei|Weidong Wang|Fuliang Luo