物理状态的李代数的顶点算子表达式

《Journal of Algebra》：Vertex operator expressions for Lie algebras of physical states

　　摘要
我们研究了与中电荷为24的某些顶点算子代数相关联的物理状态的李代数。通过应用弦理论中的“No-ghost定理”，我们用顶点代数运算来表达相应的李括号。在Moonshine模块的特殊情况下，这个结果回答了Borcherds在他的论文中提出的关于Monstrous moonshine猜想的问题。

引言
Conway和Norton提出的Monstrous moonshine猜想要求存在一个Monster群??的分级模块，使其分级迹为SL2(?)中亏格为0的子群的主模块（Hauptmoduln）。Frenkel、Lepowsky和Meurman在[10]中构造了一个对于Monster群的许多共轭类都具有这一性质的??模块，即Moonshine模块???。在[4]中，Borcherds证明了Monster群中所有元素在这个模块上的分级迹都是主模块。在他的证明中，他用到了???的顶点代数结构，或者更准确地说，是相关的物理状态的李代数——Monster李代数??。
更一般地，对于任何中心电荷为24且具有非退化、不变双线性形式的顶点算子代数V和CFT类型，我们可以关联一个物理状态的李代数??2(??)。这个李代数可以通过某种量化程序构造出来，并且具有Aut(??)的作用，同时具有自然的I3I1,1-分级??2(??) = ∨??∈I3I1,1??2(??)??，其中I3I1,1表示唯一的具有(1,1)签名的偶数、幺模晶格。“No-ghost定理”指出：对于每个0 ≠?? ∈ I3I1,1，存在一个线性同构???? : ???????/2 → ??2(??)??，它保持Aut(??)的作用。这个版本的“No-ghost定理”归功于Borcherds，它被用来确定??作为广义Kac-Moody代数的完整结构。Monster李代数的分母恒等式的同调版本随后证明了Moonshine模块的分级迹函数的完全可复制性，从而证明了Monstrous moonshine猜想。
除了Monstrous moonshine及其推广之外，物理状态的李代数还被用来将顶点算子代数与自守形式联系起来，并证明相应顶点算子代数的结构结果。参见[3]、[13]、[14]、[6]、[19]、[8]以及[20]。

“No-ghost同构”????给出了双线性映射{?,?}?,? : ???????/?×??????/? → ????(?+?)?/?, (??,??) ? ±???1???([?????(??), ?????(??)]，其中符号±由与晶格I3I1,1相关联的适当2-上链给出。在[4]的第15节中，Borcherds提出了一个问题（问题4），要求至少在Moonshine模块的特殊情况下，用V的顶点代数运算来明确描述这些映射。
在本文中，我们提供了这个问题的答案。我们的主要定理（定理4.10）指出：
设V是一个中心电荷为24且具有非退化、不变双线性形式的实顶点算子代数CFT类型。选择一个原始的各向同性元素?? ∈ I3I1,1，并假设??,?,?+? ? ??⊥。那么对于?? ∈ ???????/?和?? ∈ ??????/?，我们有
{??,??}?,? = ∞∑???,???=0 ∑??∈?(?1)??1???,?? ???+???+???(??,?)2(??,????2(??)??3??,????2(??))，其中???,??和??,???是明确给出的算子，对于? ∈?和?? ∈?≥0。

这个结果的证明依赖于用算子E来描述“No-ghost同构”，这一算子最初是由物理学家引入的，并由I. Frenkel首次应用于数学。

本文的组织结构如下：我们回顾了一些关于晶格顶点代数的众所周知的事实，并概述了协变量化。然后我们回顾了“No-ghost定理”和Borcherds的证明。这个论述受到了I. Frenkel工作的影响。最后，我们考虑了适当顶点算子代数的物理状态李代数，并用顶点代数运算来表达相应的李括号。

致谢
本文基于作者在Nils R. Scheithauer指导下完成的博士论文中的研究成果。作者想要感谢Richard E. Borcherds、Sven M?ller、Manuel Müller、Nils R. Scheithauer和Janik Wilhelm提供的宝贵意见和富有成果的讨论。此外，作者还要感谢那位未具名的审稿人提出的许多详细建议，这些建议极大地改善了本文的手稿。作者还感谢LOEWE研究单位“Uniformized Structures in Arithmetic and Geometry”以及DFG通过CRC Geometry and Arithmetic of Uniformized Structures项目（项目编号444845124）提供的支持。

符号说明
在本文中，我们使用了以下符号。

**顶点代数和协变量化**
我们简要概述了顶点算子代数的一些基本性质，并讨论了晶格顶点代数。基于此，我们引入了协变量化，并用它来构造物理状态的李代数。参见[1]、[16]、[9]、[12]、[4]和[15]。
一个实顶点代数是一个实向量空间V，其中包含非零的真空态|0?∈??、一个线性平移算子?? : ?? → ??以及一个顶点算子，它是一个线性映射
??2(?,??) : ?? → End(??)3[[??±1]]，?? ? ??2(??,??) = ∑??∈?????3???1。
对于??,?? ∈ ??，顶点算子满足

**No-ghost定理**
在本节中，我们回顾了由物理学家Goddard和Thorn提出的“No-ghost定理”。它最初由I. Frenkel在表示论中应用，后来在Borcherds证明Monstrous moonshine猜想时得到了著名的应用。我们的论述基于[4]、[15]和[11]。
设V是一个中心电荷为24且具有非退化、不变双线性形式(?, ?)的实顶点算子代数CFT类型。对于具有(1,1)签名的偶数、幺模晶格I3I1,1，我们定义?? = I3I1,1??，并考虑

**李括号和顶点算子**
在本节中，我们考虑了中心电荷为24且具有非退化、不变双线性形式的顶点算子代数V的物理状态李代数??2(??)，并应用“No-ghost定理”来用顶点代数运算来表达其李括号。
设V是一个中心电荷为24且具有非退化、不变双线性形式的实顶点算子代数CFT类型。我们用??2(??)表示其物理状态李代数。“No-ghost定理”允许我们识别

Thomas Driscoll-Spittler