有限群的霍尔斜同态与霍尔凯莱映射

《Journal of Algebra》：Hall skew-morphisms and Hall Cayley maps of finite groups

　　

摘要

本文刻画了具有与群阶|H|互素的斜态射的有限群H及其斜态射，并给出了顶点轮换的无核Hall Cayley映射的自同构群及其底层图的完整分类。

引言

对于群H，H的斜态射是H上的一个置换ρ，使得ρ(1)=1且ρ(gh)=ρ(g)ρ^π(g)(h)，其中g,h∈H，π是H上的整值函数。特别地，当对所有g∈H都有π(g)=1时，斜态射ρ实际上是H的一个自同构，称为平凡斜态射。斜态射的概念由Jajcay和?iráň在[16]中提出，用以研究正则Cayley映射。关于斜态射有等价的群论定义，参见[16, 定理1]。

定义1.1 对于群H，若存在群G使得G=HK，其中H∩K=1且K在G中是循环的且无核的，则K的每个生成元称为H的斜态射。此时，G=HK称为H和K的斜积。

这里我们给出一些非平凡斜态射的明显例子：对称群S_n具有阶为n+1的斜态射，因为S_{n+1}=S_n·Z_{n+1}；二面体群D_8具有阶为3的非平凡斜态射，因为S_4=D_8·Z_3；对于奇素数p，二面体群D_{2p}具有阶为p的非平凡斜态射，因为Z_p?S_2=D_{2p}·Z_p。

关于斜态射的核心问题是确定给定有限群族的斜态射。这个问题仍然具有挑战性，即使对于某些非常特殊的群族，尽管付出了大量努力，仍未得到解决。参见[2]、[5]、[6]、[10]、[19]、[20]获取关于循环群斜态射的部分结果；参见[15]、[17]、[18]、[29]、[30]获取关于二面体群斜态射的部分结果；参见[11]、[12]获取关于初等Abel p-群Z_p^n的斜态射。最近，有限单一核心群的斜态射在[1]中被刻画，有限非Abel特征简单群的斜态射在[4]中被刻画。

在本文中，我们刻画具有与|H|互素的阶的斜态射的有限群H及其斜态射ρ，即H是斜积H?ρ?的Hall子群。这些例子主要来自素数维的线性群T作用于1-维子空间的情况，这提供了一个分解T=HK，其中T=PSL(d,q)且gcd(d,q-1)=1，H=AGL(d-1,q)=q^{d-1}:GL(d-1,q)是1-维子空间的稳定子，K=?ρ?=Z_{(q^d-1)/(q-1)}是一个Singer循环。

为陈述主要结果，我们作如下假设。

假设1.2 设T为一个几乎单群，关联一个参数e(T)表示T的传递置换表示的度，以及一个分解T=AB，如下表所列：

G=HK的分解称为Hall分解，如果H和K都是G的Hall子群，等价地，gcd(|H|,|K|)=1。回忆群G中子群H的核是G的包含于H中的最大正规子群，记为core_G(H)。本文的第一个主要结果陈述在以下定理中。

定理1.3 设G=HK为一个Hall分解，使得K是循环的，设N是H在G中的核。则G、H和K如下：
G=N·((K_0×T_1×?×T_r).O)，
H=N·((H_1×?×H_r).O)，
K=K_0×K_1×?×K_r，
其中K_0是K的循环Hall子群，(T_i, H_i, K_i)（1≤i≤r）是表1中的三元组(T, A, B)之一，gcd(|T_i|,e(T_j))=1对i≠j成立，且O≤Aut(K_0)×Out(T_1)×?×Out(T_r)。特别地，T_1,…,T_r两两不同构。

我们指出定理1.3中出现的数值条件：gcd(|T_i|,e(T_j))=1对任意不同的i,j∈{1,2,…,r}成立，这一条件限制非常严格。例如，{T_1,…,T_r}最多包含一个交错群或对称群。然而，已证明直因子T_i的个数r没有上界。

推论1.4 对任意正整数r，存在r个线性群T_i=PSL(d_i,q_i)（1≤i≤r），使得G=T_1×?×T_r是一个斜积G=H?ρ?，且gcd(|H|,|ρ|)=1。

在推论1.4的证明中，对任意大的r构造了G=T_1×?×T_r的示例，其中|T_1|
问题1.5 是否对任意正整数r，存在序列T_1,T_2,…,T_r，其中T_i=PSL(d_i,q_i)且|T_1|
群H的斜态射ρ称为Hall斜态射，如果|H|与|ρ|互素，此时存在群G=H?ρ?是一个Hall分解。

下一个定理关于具有Hall斜态射的群H。这些例子建立在两种特殊群之上。第一种类型列在表2中，其中每个H具有阶为|ρ|的Hall斜态射。第二种类型是每个仿射群AGL(d-1,q)（其中d为素数且gcd(d,q-1)=1）具有阶为(q^d-1)/(q-1)的Hall斜态射。

以下定理是本文的第二个主要结果。

定理1.6 有限群H具有Hall斜态射ρ当且仅当
H=N·((H_1×?×H_r).O)，且?ρ?=?ρ_0?×?ρ_1?×?×?ρ_r?，
使得gcd(|H|,|ρ|)=1，?ρ_0?≤Aut(N)，且
(1) (H_i,|ρ_i|)=(AGL(d_i-1,q_i),(q^{d_i}-1)/(q_i-1))对i≥1成立，或者对i≥2成立且(H_1,|ρ_1|)如表2所示，其中d_i是素数，gcd(d_i,q_i-1)=1且gcd(|H_i|·|ρ_i|,|ρ_j|)=1对i≠j成立；
(2) O≤Out(?ρ_0?)×Out(H_1)×?×Out(H_r)，且若H_i=AGL(d_i-1,q_i)，则O投影到H_i的一个域自同构。

我们观察到，表1中列出的三元组(T,H,K)中H可解的如下：(SL(3,2),S_4,7)、(PSL(3,3),AGL(2,3),13)、(SL(2,2^f),AGL(1,2^f),2^f+1)。这导致了定理1.3的如下推论，确定了有限可解群的Hall斜态射。

推论1.7 设G=HK为一个分解，使得H是G的可解Hall子群且K是循环的。设N是H在G中的核。则
(1) G=N·(K:O)，且H=N·O，其中O≤Aut(K)是Abel的；或
(2) G=N·(E×K_0).O，其中K_0s成立，且对每个i有|ρ_i|=e(T_i)。

在后续文章[8]中，将给出顶点轮换无核Hall Cayley映射的刻画和枚举。

章节片段

Hall分解与斜态射

在本节中，我们证明定理1.3和1.6及其推论。

我们首先建立一些有用的引理。以下引理说明Hall分解可以被其次正规子群继承。（回忆子群M
引理2.1 设g=hk为一个hall分解，m为g的次正规子群。则m=(m∩h)(m∩k)是一个hall分解。

证明 由于m是g的次正规子群，我们可以假设m=m_n?m_{n-1}???m_1?g

对于hall cayley映射

在本节中，我们通过一系列引理证明定理1.8。贯穿本节，我们使用定理1.3中引入的记号。

设m=(v,e,f)为h的cayley映射且是g-顶点轮换的，其中g≤aut m。则存在g的一个轮换对(ρ,z)，使得g=?ρ,z?。m的顶点可以标识为h的元素。设α为对应于h的恒等元素的顶点。则g_α=?ρ?在边集e(α)上是正则作用的，且
g=h·g_α，且h∩g_α=1。
假设m是h的hall cayley映射。则h是

wendi di|zheng guo|cai heng li 引理2.1 设g=HK为一个Hall分解，M为G的次正规子群。则M=(M∩H)(M∩K)是一个Hall分解。 证明 由于m是g的次正规子群，我们可以假设m=M_n?M_{n-1}???M_1?G 对于hall cayley映射 在本节中，我们通过一系列引理证明定理1.8。贯穿本节，我们使用定理1.3中引入的记号。 设m=(V,E,F)为H的Cayley映射且是G-顶点轮换的，其中G≤Aut m。则存在g的一个轮换对(ρ,z)，使得g=?ρ,z?。M的顶点可以标识为H的元素。设α为对应于H的恒等元素的顶点。则G_α=?ρ?在边集E(α)上是正则作用的，且 g=H·G_α，且H∩G_α=1。 假设m是h的hall cayley映射。则h是 wendi di|zheng guo|cai heng>
引理2.1 设g=hk为一个hall分解，m为g的次正规子群。则m=(m∩h)(m∩k)是一个hall分解。

证明 由于m是g的次正规子群，我们可以假设m=m_n?m_{n-1}???m_1?g

对于hall cayley映射

在本节中，我们通过一系列引理证明定理1.8。贯穿本节，我们使用定理1.3中引入的记号。

设m=(v,e,f)为h的cayley映射且是g-顶点轮换的，其中g≤aut m。则存在g的一个轮换对(ρ,z)，使得g=?ρ,z?。m的顶点可以标识为h的元素。设α为对应于h的恒等元素的顶点。则g_α=?ρ?在边集e(α)上是正则作用的，且
g=h·g_α，且h∩g_α=1。
假设m是h的hall cayley映射。则h是

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