osp(1|2n) 在多项式张量 C0|2n 上的作用

《Journal of Algebra》：Action of osp(1|2n) on polynomials tensor C0|2n

　　

- 无限维正辛表示分解为不可约加项
- 将交织算子表示为具有箭头块的无穷矩阵
- 表述 $\mathfrak{osp}(1|2n)$ 在新实现的无限维表示基底上的作用

## 引言

如果第 $n$ 个 Weyl 代数 $A_n$ 是李代数同态 $\phi:\mathfrak{g}\to A_n$（从李代数 $\mathfrak{g}$ 到 $A_n$）的陪域，则称 $\phi$ 是 $\mathfrak{g}$ 的典范实现 [1, 定义 1]。经典地 [2, 第 4.6 节]，辛李代数 $\mathfrak{sp}(2n)$ 通过反交换子具有典范实现，由此得到的振动子表示作为 $n$ 个可交换变量的多项式是常被研究的对象 [3], [4]。文献 [4] 及其参考文献（在类似的经典设定中）的方法包括将 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ 与 $\mathfrak{sp}(2n)$ 的标准模 $\mathbb{C}^{2n}$ 进行自然张量积，以理解辛李代数的表示论。超代数视角将通常的辛典范实现扩展到正辛设定：存在一个满射 [5]，其定义域为正辛李超代数 $\mathfrak{osp}(1|2n)$ 的万有包络代数 $U(\mathfrak{osp}(1|2n))$（其偶部同构于李代数 $\mathfrak{sp}(2n)$），陪域为 $A_n$ [6], [7], [8]。同样，多项式空间是 $\mathfrak{osp}(1|2n)$ 的已被充分研究的振动子表示 [9]。关于 $\mathfrak{osp}(1|2n)$ 的物理应用 [6], [10]、研究正辛李超代数的一般数学动机 [11] 以及它们在准统计力学中无限维表示的历史 [12]，还可以说更多。

在本文中，我们继续研究通过李（超）代数振动子表示与标准模的张量积形成的张量积表示。我们所解决的特定问题是 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|2n}$ 的分解，其中超向量空间 $\mathbb{C}^{1|2n}$ 是 $\mathfrak{osp}(1|2n)$ 的标准表示。主要发展是确定 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|2n}$ 完全分解中的不可约加项，并提供这些加项的基底以及 $\mathfrak{osp}(1|2n)$ 生成元在这些基底上的作用。

当前对 $\mathfrak{osp}(1|2n)$ 无限维表示的研究，即使是抛开寻求基底的任务，通常也难以确定。在将范围限定为准玻色 Fock 空间时，在确定无限维表示的基底方面取得了一些进展，如文献 [13] 所示。我们注意到前引文献考虑组合方法来提供多项式准玻色 Fock 空间 $L_n(p)$ 的基底，即 $\mathfrak{osp}(1|2n)$ 的最低权为 $(p/2,\ldots,p/2)$ 的无限维表示。相比之下，我们考虑确定非准玻色 Fock 空间的无限维 $\mathfrak{osp}(1|2n)$-表示的基底。

此外，我们引入可逆交织算子作为关键工具，为张量积 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|2n}$ 的完全分解中一对无限维加项提供基底，将其分解为不可约 $\mathfrak{osp}(1|2)$ 模，其中 $n>1$。这些加项分别同构于 $\mathfrak{osp}(1|2n)$ 在 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|0}$ 和 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{0|2n}$ 中的实现。虽然 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|0}$ 等价于通常的振动子表示 $\mathcal{H}_n(1)\cong L_n(1)$（按文献 [13] 的记号），但 $\mathfrak{osp}(1|2n)$-模 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{0|2n}$ 具有最高权 $(1/2,1/2,\ldots,1/2,-1/2)$，因此不同构于任何阶数为 $p$ 的准玻色 Fock 空间 $L_n(p)$。确实，我们在本文中给出的交织算子揭示了 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{0|2n}$ 作为 $\mathfrak{osp}(1|2n)$-超模的性质，尽管右侧张量因子本身并非超模。

在 $n=1$ 的情形下，$\mathbb{C}[x]\otimes\mathbb{C}^{1|2}$ 的分解中存在一个额外的加项，共计三个，这与 $\mathfrak{osp}(1|2)$-表示理论一致；参见 [14, 定理 8] 或 [15]。该分解已使用 $\mathfrak{osp}(1|2)$ 的对角化简代数进行描述 [16]，并且是文献 [17] 中定理 1.3 的特例。我们在附录中回顾第一性原理方法，解释为什么 $\mathbb{C}[x]\otimes\mathbb{C}^{1|2}$ 的分解涉及三个加项而非两个，并分享奇异向量空间的基底。

作者给出定理 1.2，该定理产生两个交织算子，其限制导致 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|2n}$ 的简单子模。定理 1.2 产生推论 1.3，即 $n>1$ 时 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|2n}$ 作为 $\mathfrak{osp}(1|2n)$-模的分解陈述。此外，定理 1.2 导出推论 1.4 和 1.5，分别给出 $\mathfrak{osp}(1|2n)$ 在多项式张量空间 $\mathbb{C}^{1|0}$ 上的作用的公式以及 $\mathfrak{osp}(1|2n)$ 在多项式张量空间 $\mathbb{C}^{0|2n}$ 上的作用的公式。

此外，在附录 B 中给出命题 1.1 的证明，作为对文献 [7, 定理 7.1.1] 中关于 $\mathfrak{osp}(1|2)$-模 $\mathbb{C}[x]\otimes\mathbb{C}^{1|2}$ 中奇异向量空间维数之陈述与证明的更正（以及其在 [8] 中的后续使用）。

**命题 1.1** 设 $(\rho,\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n])$ 为完全带尖的 $\mathfrak{osp}(1|2n)$-表示，设 $(\tau,\mathbb{C}^{1|2n})$ 为 $\mathfrak{osp}(1|2n)$ 的自然矩阵实现。则张量积表示 $(\rho\otimes\tau,\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|2n})$ 中奇异向量空间是二维的，除非 $n=1$，此时维数为三。

**定理 1.2** 记 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|2n}$ 的 $\lambda$-权空间（视为 $\mathfrak{osp}(1|2n)$-权模）为 $(\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|2n})_\lambda$。写 $\{X_{\pm j}\mid 1\le j\le n\}$ 为 $\mathfrak{osp}(1|2n)$ 的奇根向量生成集，$\{v_i\mid 0\le i\le 2n\}$ 为 $\mathbb{C}^{1|2n}$ 的标准基底，其中 $v_i$ 在第 $(i+1)$ 个条目处为 1。则存在 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|2n}$ 的自同构 $T_1$ 和 $T_2$，使得以下成立：

1. $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|0}$ 在 $T_1$ 下的像具有 $\mathfrak{osp}(1|2n)$-模的结构。
2. $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{0|2n}$ 在 $T_2$ 下的像具有 $\mathfrak{osp}(1|2n)$-模的结构。
3. 记 $T_1^\lambda$ 为 $T_1$ 到 $(\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|2n})_\lambda$ 的限制，则 $T_1^\lambda$ 是 $(\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|2n})_\lambda$ 的自同构。此外，$T_1^\lambda$ 可以表示为可逆箭头矩阵的无穷对角块矩阵中的一个块。
4. 记 $T_2^\lambda$ 为 $T_2$ 到 $(\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|2n})_\lambda$ 的限制，则 $T_2^\lambda$ 是 $(\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|2n})_\lambda$ 的自同构。此外，$T_2^\lambda$ 可以表示为可逆箭头矩阵的无穷对角块矩阵中的一个块。

**推论 1.3** 多项式张量标准模的分解

固定整数 $n>1$。超向量空间 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|2n}$ 作为 $\mathfrak{osp}(1|2n)$-模分解为直和。

**推论 1.4** 设 $1\le j\le n$。$\mathfrak{osp}(1|2n)$ 在 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|0}$ 上的作用由下式刻画：

$$X_j(x_{k_1}^1 x_{k_2}^2 \cdots x_{k_n}^n \otimes v_0) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\, x_{k_1}^1 \cdots x_{k_j+1}^j \cdots x_{k_n}^n \otimes v_0$$

$$X_j^-(x_{k_1}^1 x_{k_2}^2 \cdots x_{k_n}^n \otimes v_0) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\, k_j\, x_{k_1}^1 \cdots x_{k_j-1}^j \cdots x_{k_n}^n \otimes v_0$$

**推论 1.5** 设 $1\le j\le n$。$\mathfrak{osp}(1|2n)$ 在 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{0|2n}$ 上的作用由下式刻画：

$$X_j(x_{k_1}^1 x_{k_2}^2 \cdots x_{k_n}^n \otimes v_i) = \frac{1}{\sqrt{2}}\, x_{k_1}^1 \cdots x_{k_j+1}^j \cdots x_{k_n}^n \otimes v_i - \frac{1}{\sqrt{2}}\, x_{k_1}^1 \cdots x_{k_i+1}^i \cdots x_{k_n}^n \otimes v_j$$

$$X_j(x_{k_1}^1 x_{k_2}^2 \cdots x_{k_n}^n \otimes v_{n+i}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\, x_{k_1}^1 \cdots x_{k_j+1}^j \cdots x_{k_n}^n \otimes v_{n+i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\, k_i\, x_{k_1}^1 \cdots x_{k_i-1}^i \cdots x_{k_n}^n \otimes v_j$$

$$X_j^-(x_{k_1}^1 x_{k_2}^2 \cdots x_{k_n}^n \otimes v_i) = \frac{1}{\sqrt{2}}\, k_j\, x_{k_1}^1 \cdots x_{k_j-1}^j \cdots x_{k_n}^n \otimes v_i + \frac{1}{\sqrt{2}}\, x_{k_1}^1 \cdots x_{k_i+1}^i \cdots x_{k_n}^n \otimes v_{n+j}$$

$$X_j^-(x_{k_1}^1 x_{k_2}^2 \cdots x_{k_n}^n \otimes v_{n+i}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\, k_j\, x_{k_1}^1 \cdots x_{k_j-1}^j \cdots x_{k_n}^n \otimes v_{n+i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\, k_i\, x_{k_1}^1 \cdots x_{k_i-1}^i \cdots x_{k_n}^n \otimes v_{n+j}$$

**注记 1.6** 箭头矩阵在 [18] 中定义（参见其中的参考）。此处我们依赖特定类型的箭头矩阵以简化对非奇异性的识别。我们注意到 Coulembier [14] 已建立了 B、C 和 D 型正辛李超代数张量积表示的一般结果 [19]。本文通过将 $B(0,n)=\mathfrak{osp}(1|2n)$ 的实现落实于通常在非预期角色中出现的对象，从而将其具体化。特别是，Coulembier 承认在文献 [20] 的已发表版本中最初遗漏了 $\mathfrak{osp}(1|2n)$ 的情形。大规模参数化表示类并通过实例发现使其更为具体的联合工作，有助于理解正在起作用的代数对称性并为应用做准备。

作为论文的大纲，我们在第 2 节回顾 $B(0|n)=\mathfrak{osp}(1|2n)$ 型正辛李超代数的基本事实及其表示论。第 3 节包含定理 1.2 及推论 1.3 至 1.5 的讨论与证明，从回顾张量积表示 $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]\otimes\mathbb{C}^{1|2n}$（其中 $n>1$）中奇异向量的一组基底开始。附录包含命题 1.1 的证明以及对超数学中代数概念的回顾。

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## 致谢

作者感谢 Margine "BigMa" Griffin 的鼓励与关爱。第 3 节中的记号受到她在 Bid Whist（一种桥牌游戏）中的才华以及对生活的热爱所启发：即使没有大小鬼牌，她也能让你笑。本文的工作得到美国国家科学基金会资助，资助编号 #2503008。

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**Dwight Anderson Williams**

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## 背景

假设的范畴论与代数概念见 [21]。始终固定底域为 $\mathbb{C}$。记二元群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 为 $\mathbb{Z}_2$，记 $\{1,2,\ldots,n\}$ 上的对称群为 $S_n$。我们建立额外约定：使用多重指标记号表示 $\mathbb{C}[\mathbf{x}]=\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]$，其中 $\mathbf{k}=(k_1,k_2,\ldots,k_n)\in\mathbb{Z}_n^{\ge 0}$，$0$ 为 $\mathbb{Z}_n^{\ge 0}$ 中的零元素，单项式 $\mathbf{x}^{\mathbf{k}}=x_{k_1}^1 x_{k_2}^2 \cdots x_{k_n}^n\in\mathbb{C}[\mathbf{x}]$ 满足 $\deg(\mathbf{x}^{\mathbf{k}})=|\mathbf{k}|=\sum_{i=1}^n k_i$。

设 $E_{ij}$ 表示 $n\times n$ 初等矩阵，除 $(i,j)$ 条目为 1 外其余全为零。$\pm$ 或 $\mp$ 的含义为……

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## 分解 $\mathbb{C}[\mathbf{x}]\otimes\mathbb{C}^{1|2n}$

除非另有说明，$\mathfrak{g}$ 均指李超代数 $\mathfrak{osp}(1|2n)$。自本处起，在不必要时省略"超"一词。