有限图与点的配置

《Journal of Geometry and Physics》：Finite graphs and configurations of points

　　摘要
我们利用有限图、点的配置和和张量，将Atiyah关于配置的问题以及相关的Atiyah–Sutcliffe猜想1和2进行了推广。我们的猜想是一些有趣的几何不等式，这些不等式是根据点的配置的成对方向来定义的，与原始问题中的定义方式相同。Atiyah行列式的推广在我们的设置中不再是一个简单的行列式，我们将其称为G-振幅函数，其中G是一个有限简单图，这与量子物理中的概率振幅类似。如果??= ????是一个具有n个顶点的完全图，那么我们就恢复了Atiyah–Sutcliffe猜想1和2。

引言
Atiyah关于点配置的问题在本世纪初被提出，参见参考文献[1]、[2]和[4]。它的起源在于物理学，由Michael Berry爵士和Jonathan Robbins在论文[5]中提出。简而言之，在[5]中，作者提出了一种几何构造来解释自旋统计定理中出现的符号，将其视为一种Berry相位。他们的构造主要是针对??= 2个相同粒子的情况（也有关于??= 3情况的研究）。为了将他们的构造扩展到任意数量的相同粒子，他们遇到了一个技术障碍，这导致了Berry–Robbins问题的提出。Michael Atiyah和Roger Bielawski在[3]中利用Nahm方程的性质，提出了一种美丽的解决方案。Atiyah在[1]和[2]中提出了另一种更基本、更明确的构造方法，前提是满足某个线性独立性猜想。在[4]中提出了更强的猜想，使用的是Atiyah的标准化行列式函数。这就是关于点配置的Atiyah问题。在本节中，我们将简要回顾这个问题。

设?? ≥2是一个整数。用?????(?3)表示?3中n个不同点的（有序）配置空间。设??:=(???,???,?,???)∈?????(?3)，即对于??= 1,?,??，有??? ∈?3且???们是不同的。对于??,?? ∈[??] := {1,?,??}且不同，定义??????:=???????/||???????||∈??2。我们使用例如从“北极点”(0,0,1)??开始的立体投影，将??2与黎曼球面等同起来。设??????表示黎曼球面上对应于??????的点。然后我们定义，对于??= 1,?,??，有?????(??)=∏??≠??(?????????)。

Michael Atiyah爵士猜想，无论从?????(?3)中的哪个??开始，???? (1 ≤?? ≤??)在?上都是线性独立的。这被称为猜想1。

设A是一个n×n复矩阵，其第j列是????的系数。经过适当的归一化后，A的行列式被称为Atiyah行列式函数，记为D。函数D是在?????(?3)上的光滑复值函数，它在对称群???（该群会置换组成配置x的点）下是不变的，在适当的欧几里得变换下也是不变的，并且在不当的欧几里得变换下会进行复共轭。Atiyah和Sutcliffe在[4]中提出了一个更强的猜想，即对于任何?? ∈?????(?3)，都有|???(??)|≥1。后者被称为猜想2。很明显，猜想2蕴含了猜想1。Atiyah和Sutcliffe还提出了另一个猜想，称为猜想3，它比猜想2更强且非常有趣，但我们在这里不讨论它。我们注意到，如果?? ≤4，猜想1和2已经被证明（参见参考文献[7]、[8]、[12]以及D. Svrtan的在线演讲，其中讨论了??= 4和平面情况的??= 5）。

我们在这项工作中的主要动机是使用有限图来推广Atiyah关于配置的问题。我们希望这能进一步阐明这个问题，并相信我们在这项工作中提出的猜想几何不等式本身就很有趣。我们的构造使用了有限简单图、?3中的点配置和张量。我们将定义一个我们称为G-振幅的复值函数，该函数与一个有限简单图G相关联，并对这个函数提出了一些有趣的性质。如果图是完全图，我们的猜想A就简化为猜想1，而猜想B（猜想A和B在第3节中提出）与猜想2相关。

致谢
作者感谢Dennis Sullivan、Peter Olver和Nicky Kamran阅读并评论了他关于配置的Atiyah问题的几个想法，包括这个问题。作者还要感谢匿名审稿人的评论，这些评论使手稿更加清晰。他还感谢Stephen Drury向他介绍了Marcus的不等式以及Elliott Lieb的相关工作和他的著名猜想。作者还承认与Felix Huber、Jonathan Robbins和John Baez就这个问题从物理角度进行了富有启发性的讨论。

与有限简单图相关的振幅函数
设??= (??,??)表示一个无向的有限简单图，它有一组顶点V和一组边E。因此，我们不允许环（即一个边连接同一个顶点），也不允许两个不同顶点之间有多条边。请注意，即使图有多条边，我们后期将介绍的振幅函数的构造以及相关的猜想也是合理的，但我们没有对具有多条边的图进行大量的数值研究。

猜想
在本节中，我们假设G是一个无向的有限简单图。

猜想A
函数????在?????(?3)上处处非零。

定义3.1
给定一个无向的有限简单图G，我们定义
????=inf?{|?????(??)|;??∈?????(?3)}

我们猜想
猜想B
???? ≥1。

我们指出，猜想B蕴含了猜想A。虽然基于数值模拟，对于某个给定的图G，????> 1的情况是完全可能的，但猜想B中的下界似乎是最佳的（基于数值模拟）。

矩阵分析中的猜想
在本节中，我们提出了一个矩阵分析中的猜想，该猜想蕴含了猜想C。给定[??]上的一个等价关系，记为～，我们让??～表示所有保持[??]在～下等价类的[??]的排列。设～??, 对于??= 1,2，是[??]= {1,?,??}上的两个等价关系，它们分别有相关的排列群???, ???（我们写????而不是??～??是为了简化符号）。

设H是一个Hermitian正半定n×n矩阵。我们定义
??～1,～2?(??)=∑???∈???∑???∈???

定理4.4的证明
在这个证明中，我们设???= ????, ???= ????, ???= ???? 和 ???= ????，并假设对于??= 1,?,??，???已经根据?2上的标准Hermitian内积〈?,?〉进行了归一化。

设??????= 〈????,????〉，对于1 ≤??,?? ≤??，并且设??= (??????)是????的Gram矩阵。我们将简单的表示例如????, ????和????的Kronecker乘积为??????????????。

情况n= 2。当n= 2时，情况是显而易见的，因为?????2-振幅恒等于1。

情况n= 3。我们有
???????3?(??)=1+〈???,???〉?〈???,???〉=1+|〈???,???〉|2

数值模拟
对于n= 2，猜想B显然是成立的。对于3 ≤?? ≤6，进行了以下数值模拟：
(1) 生成所有具有n个顶点的无向有限连通简单图的集合????（直到同构）。
(2) 对于????中的每个??，随机生成?3中n个不同点的(伪-)10000个配置，计算相应的G-振幅并将结果存储在一个向量中。
(3) 检查存储的振幅的最小实部是否大于或等于1减去一个非常小的数，以允许

张量网络收缩
张量网络是一个图??= (??,??)，以及附加到G的以下数据：
(1) 附加到每条边?? ∈??上的向量空间???，
(2) 附加到每个顶点?? ∈??上的向量空间???，使得???=???∈???(??)???，其中???(??)是与v相邻的G中的边集，
(3) 对于每个顶点?? ∈??，一个元素???? ∈???。它是以下构造的图形表示。首先，形成???=???∈??????，然后，对于每条边?? ∈??（例如连接v和??′ (??,??′ ∈??)），将????对应于e的索引收缩。

结论
我们利用图论和张量，将Atiyah关于点配置的问题进行了推广。我们希望我们的工作能有助于找到原始问题的解决方案。无论如何，作者认为我们提出的猜想都是有趣的几何不等式。虽然我们在这项工作中主要关注的是最小化|????|，但寻找对于给定图G最大化|????|的配置也值得进一步探索。

声明
在当前的研究中，除了数值模拟中生成的随机配置外，没有生成或分析任何数据集。作者没有需要声明的与本文内容相关的竞利关系。

在准备手稿的过程中，作者使用了ChatGPT（版本5.3）来证明具有??= 5个顶点的线性图的猜想B的一部分。他还使用了一个较早版本的ChatGPT来帮助他编写一个程序来生成给定顶点数n的所有有限图。在使用这个工具/服务之后，作者根据需要审查和编辑了内容，并对发布文章的内容负全责。

Joseph Malkoun