时间尺度上哈密顿系统中对称性的扰动

《Journal of Geometry and Physics》：Perturbations of symmetries in Hamiltonian systems on time scales

　　

•在Hamilton框架下，建立了时间尺度上一般完整系统和非完整系统的动力学方程。•采用Anerot的方法，推导了两种系统中由Noether对称和Lie对称产生的守恒量。•研究了这些对称的摄动，并得到了相应的绝热不变量。•通过解析和数值方法研究了两个特殊情形，并通过仿真验证了结论的有效性。

引言

近年来，时间尺度理论一直是备受关注的一个研究领域。在众多学者努力协调连续与离散之间的复杂关系时，Hilger[1]提出的时间尺度理论提供了一套系统的解决方案。该理论不仅为连续分析和离散分析提供了统一的框架，还为复杂模型的建立奠定了完整的理论基础，对动力系统的研究发展做出了重要贡献。如今，时间尺度上的动力学理论已被广泛应用于经济学、动力学与控制、物理学等多个领域[2],[3],[4],[5],[6],[7]。

对称性是物理学中的一条基本定律[8]。守恒量作为系统在运动过程中保持不变的物理量，往往反映了深刻的物理本质和运动规律，在动力分析和系统简化中发挥着不可替代的作用。对称性与守恒量之间的内在联系长期以来一直是力学研究中的核心问题之一。自从解析力学诞生以来，对称性与守恒量就受到了学者们的高度关注。Noether对称[9]是动力系统中最常用的对称之一，它是Hamilton作用在无穷小变换下的不变性。Noether在一个世纪前发现了其与守恒量之间的对偶关系[10]。其工作仅适用于Lagrange系统，且变换仅包含时间和广义坐标。随后，Djuki?和Vujanovi?将变换扩展到涉及速度的情况[11]，这有利于找到更多守恒量，并得到了广泛认可[12],[13],[14],[15],[16],[17]。时间尺度上的变分问题研究始于2004年[18],[19]，Noether对称的研究始于2008年[20]。此后，变分问题和Noether对称的研究被扩展到非保守和非完整系统[21],[22]、Hamilton系统[23],[24],[25],[26]、Birkhoff系统[27],[28]等。在这一时期，学者们主要基于Bartosiewicz和Torres的方法研究Noether对称，假设第二Euler-Lagrange方程的有效性。然而，在2020年，Anerot[29]在研究Noether对称和守恒量时发现，由满足时间尺度第二Euler-Lagrange方程的解所推导出的守恒量与数值模拟的结果不一致。因此，他提出了一种在推导过程中不依赖第二Euler-Lagrange方程且保留一个积分项的守恒量形式，并相应地给出了Lagrange系统在前移和非前移两种情况下的Noether定理。此后，学者们大多采用Anerot的方法来研究时间尺度上的Noether定理，并在分数阶情形[30],[31],[32]、前移情形[33]和非前移情形[34],[35],[36]方面取得了一系列研究成果。

动力系统中另一种常用的对称是Lie对称，这是Lutzky[37]在20世纪末提出的一个重要概念，它指的是微分方程在无穷小变换下的不变性。当无穷小变换同时涉及时间和坐标时，由Lie对称推导出的守恒量仍然是Noether守恒量，其对应的结构方程本质上是Noether恒等式的另一种形式。如果无穷小变换仅涉及坐标而时间保持不变，则所得到的守恒量为Hojman守恒量。Bluman等人[38]认为Lie对称方法是对称性方法在微分方程适用性方面的扩展，是一种高级算法。他们也承认其在构造微分方程显式解方面的技术优势。多年来，学者们已经对经典情形[8],[12],[13],[14],[39],[40],[41],[42],[43],[44]和分数阶框架[45],[46],[47]进行了广泛的研究。至于时间尺度上的Lie对称研究，目前仍处于起步阶段。目前，利用Anerot的方法已经得到了Lagrange系统和Birkhoff系统的Noether守恒量[48],[49],[50],[51]，以及非前移情形下它们的Hojman守恒量[52],[53]。

当系统不是绝对封闭时，利用对称的摄动来描述摄动对系统对称性的影响。绝热不变量的概念源于Burgers的工作[54]。当系统的某个参数缓慢变化时，绝热不变量是相对于该参数的量级而言变化更慢的物理量，而未受摄动系统的不变量称为精确不变量，通常称为守恒量。对称的摄动和绝热不变量的研究是研究未受摄动系统对称性质的重要方法。对称的摄动和绝热不变量的研究与动力系统的可积性密切相关，因此其在时间尺度上的研究目前是一个新兴的研究话题。现有的对称摄动研究主要集中在Lagrange系统和Birkhoff系统上，且大多集中在Noether对称的摄动[33],[49],[50],[55],[56]上，对Lie对称摄动的关注相对较少[49],[50],[51]。Hamilton框架以其简洁的形式和广泛的适用性，为普遍性研究提供了理想的设置。因此，本文在Hamilton框架下采用Anerot的方法，同时研究Noether对称、Lie对称及其摄动，并给出相应的Noether守恒量和绝热不变量。

论文结构。第2节介绍了本文中将使用的时间尺度微积分的定义和特点。在第3节中，我们讨论了时间尺度上一般完整系统的对称性及其摄动。在第3.1节中，我们扩展了Hamilton原理并给出了一般完整系统的方程，然后推导出由Noether对称和Lie对称引起的守恒量。在第3.2节中，我们研究了对称的摄动和相应的绝热不变量。在第3.3节中，我们给出了一个适当的例子，并通过数值仿真验证了结论。在第4节中，按照第3节的结构讨论了非完整系统中上述两种对称及其摄动。第5节总结了全文并概述了未来的研究方向。

初步知识

此处对时间尺度微积分进行基本的回顾。详细信息参见参考文献[5],[6]。

定义2.1 给定时间尺度??，前跳算子σ:??→??为σ(s)=inf{r∈??:r>s}，颗粒度函数μ:??→[0,∞)为μ(s)=σ(s)?s。

定义2.2 对于??κ，有：若sup??<∞，则??κ=??\(ρ(sup??),sup??]；否则??κ=??。

定义2.3 函数f:??→?，在??的右稠密点处连续延拓且在左稠密点处具有左极限，称为rd连续函数，记为Crd(??)。C1rd(??)=Crd(??,??)且右稠密点处可导的函数称为rd可导函数，记为C1rd(??,?)。

定义2.4 设f∈Crd(??,?)，f在时间尺度??上的Δ导数f^Δ(t)定义为：当t右离散时，f^Δ(t)=(f(σ(t))?f(t))/μ(t)；当t右稠密时，f^Δ(t)=lim_{h→0}(f(t+h)?f(t))/h。对于右离散点，称t为孤立点。当μ(t)≠0时，时间尺度??上的广义H?lder不等式成立。

定义2.5 设f∈Crd(??,?)，则f^Δ∈Crd(??κ,?)当且仅当f在t处连续且f在σ(t)处连续。设f∈Crd(??,?)，其Δ原函数定义为F^Δ(t)=f(t)。对于任意a,b∈??，有Δ积分∫_a^b f(t)Δt=F(b)?F(a)。

定义2.6 时间尺度上的链式法则：设f∈Crd(??,?)，g∈Crd(??,?)且g^Δ≠0，则(f°g)(t)^Δ=f^Δ(g(t))·g^Δ(t)，其中f^Δ由g(t)确定。

一般完整系统的对称摄动

本节将首先讨论时间尺度上一般完整系统的Noether对称和Lie对称，然后讨论这两种对称的摄动。此外，还将讨论相应的经典情形。

一般完整系统的Noether对称和Lie对称

设q=(q1,q2,…,q^n)为广义坐标，p=(p1,p2,…,p^n)为广义动量，t为时间，??为时间尺度。一般完整系统的Hamilton函数为H(q,p,t)，Lagrange函数为L(q,q^Δ,t)。设f(q,p,t)为定义在相空间上的函数，在时间尺度??上满足Hamilton正则方程：

q^Δ=?H/?p，p^Δ=??H/?q

(1)

其中?H/?p和?H/?q分别表示Hamilton函数对广义动量和广义坐标的偏导数。

Hamilton原理指出，系统从时间t?到t?的运动使以下泛函取驻值：

J=∫_{t?}^{t?}[p^Δq?H(q,p,t)]Δt

(2)

通过对边界条件施加约束，利用变分原理可以推导出Hamilton正则方程(1)。

定义3.1 考虑无穷小变换：

t*=t+εξ(t,q,p)

q*=q+εη(t,q,p)

p*=p+εζ(t,q,p)

其中ε为无穷小参数，ξ,η,ζ为变换函数。如果在上述变换下，Hamilton作用(2)满足

δJ=0

则称该系统具有Noether对称，变换函数(ξ,η,ζ)为Noether变换函数。

定理3.1 (Noether定理) 如果无穷小变换(ξ,η,ζ)是系统Hamilton作用(2)的Noether对称，则存在如下形式的守恒量：

I = pη ? Hε + f

(3)

其中f满足结构方程：

ε[?H/?p·η^Δ + ?H/?q·η + ξ·(?H/?t + ?H/?q·q^Δ ? ?H/?p·p^Δ)] = d/d_Δ(f + Hε)

证明：对Hamilton作用(2)进行变分，得到

δJ = ε∫_{t?}^{t?}[ξ·(?H/?t + ?H/?q·q^Δ ? ?H/?p·p^Δ) + η^Δ·p ? η·?H/?q]Δt

利用分部积分和Hamilton正则方程，可以化简为上式中的结构方程。由结构方程可以推导出守恒量(3)。

定义3.2 考虑无穷小变换：

q*=q+εη(t,q,p)

p*=p+εζ(t,q,p)

其中ε为无穷小参数，η,ζ为变换函数，时间t保持不变。如果在该变换下，Hamilton正则方程(1)的形式保持不变，则称该系统具有Lie对称。

定理3.2 (Lie对称定理) 如果无穷小变换(η,ζ)是系统(1)的Lie对称，则存在如下形式的守恒量：

I = ζp + η?H/?p

(4)

当变换同时涉及时间和坐标时，即ξ≠0，Lie对称得到的守恒量仍然是Noether守恒量。

定理3.3 当Lie对称的变换函数涉及时间(t,q,p)时，即ξ≠0，由Lie对称得到的守恒量与Noether对称的守恒量具有相同的形式。

证明：当变换涉及时间和坐标时，Lie对称的结构方程可以化为Noether恒等式的另一种形式，从而推导出的守恒量与Noether守恒量相同。

非完整系统的Noether对称和Lie对称

对于非完整系统，考虑包含非完整约束的系统。设非完整约束方程为：

a_k(q,t)q^Δ + a_k^0(q,t) = 0，k=1,…,m

(5)

其中m为约束数目，a_k和a_k^0为约束系数。非完整系统的Hamilton函数为：

H(q,p,λ,t) = ∑_k λ_k(a_k(q,t)q^Δ + a_k^0(q,t)) + H?(q,p,t)

(6)

其中λ_k为Lagrange乘子，H?为系统的无约束Hamilton函数。

非完整系统的Hamilton正则方程为：

q^Δ = ?H/?p = ?H?/?p + ∑_k λ_k ?a_k/?p

p^Δ = ??H/?q = ??H?/?q ? ∑_k λ_k ?a_k/?q

λ_k = (约束条件给出的方程)

(7)

定义3.4 对于非完整系统，如果无穷小变换(ξ,η,ζ)满足：

a_k(q*,q^*^Δ,t*)(q^*^Δ)* + a_k^0(q*,t*) = a_k(q,q^Δ,t)q^Δ + a_k^0(q,t)

则称该变换是非完整系统的Noether对称。

定理3.4 对于时间尺度上的非完整系统，如果无穷小变换是非完整系统的Noether对称，则存在如下形式的守恒量：

I = ∑_k p_k η_k ? Hε + ∑_k λ_k a_k η + f

(8)

其中f满足相应的结构方程。

类似地，对于非完整系统，可以定义Lie对称并推导相应的守恒量。

一般完整系统对称的摄动

当系统受到微小摄动时，系统的对称性可能被破坏。此时，我们需要研究对称的摄动以及由此产生的绝热不变量。

设无摄动系统的Hamilton函数为H?(q,p,t)，摄动后的系统为：

H = H?(q,p,t) + εH?(q,p,t)

(9)

其中ε为小参数，H?为摄动项。

定义3.5 如果无摄动系统具有Noether对称(ξ?,η?,ζ?)，但在摄动系统下不再严格保持，即：

δJ? ≠ 0

则称该Noether对称为广义Noether对称，(ξ,η,ζ)为广义Noether变换函数，G(t,q,p)为Gauss函数。

定理3.5 (广义Noether定理) 如果无穷小变换(ξ,η,ζ)是摄动系统(9)的广义Noether对称，即满足结构方程：

εG(t,q,p) = d/d_Δ[∑_k p_k η_k ? Hε + f]

则存在绝热不变量：

I = ε[∑_k p_k η_k ? Hε + f]

(10)

证明：对摄动系统的Hamilton作用进行变分，得到：

δJ = ε∫_{t?}^{t?}[ξ·(G?+εG?) + η^Δ·p ? η·?H/?q]Δt

其中G?是无摄动系统的Gauss函数，G?为摄动项。由结构方程可得绝热不变量(10)。

类似地，对于摄动系统的Lie对称，可以定义广义Lie对称并推导相应的绝热不变量。

定理3.6 如果无穷小变换(η,ζ)是摄动系统的广义Lie对称，则存在绝热不变量：

I = ε[ζp + η?H/?p]

(11)

数值验证

为了验证上述结论的有效性，我们考虑一个具体的例子。

例3.1 考虑时间尺度上的单摆系统。设时间尺度??=?，单摆的Lagrange函数为：

L = (1/2)mL2θ?2 ? mgl(1?cosθ)

对应的Hamilton函数为：

H = p2/(2mL2) + mgl(1?cosθ)

无摄动系统具有Noether对称，变换函数为ξ=0, η=1, ζ=0，对应的守恒量为：

I = p = mL2θ?

引入摄动后，系统受到微小阻尼力：

H = p2/(2mL2) + mgl(1?cosθ) + εcθ?pL2

通过Anerot的方法可以验证该摄动系统的广义Noether对称和绝热不变量。

通过数值仿真，可以验证绝热不变量在长时间内保持近似不变，从而验证了理论结论的有效性。

图1 展示了摄动系统在不同初始条件下绝热不变量的数值变化曲线，可以看出绝热不变量的变化非常缓慢，验证了理论预测。

非完整系统的对称摄动

本节将继续探讨时间尺度上非完整系统的两种对称和守恒量，包括它们的摄动和绝热不变量。本节针对非完整系统。

非完整系统的Noether对称和Lie对称

对于时间尺度上的非完整系统，设非完整约束方程为：

a_k(q,t)q^Δ + a_k^0(q,t) = 0，k=1,…,m

(12)

非完整系统的Hamilton函数为：

H(q,p,λ,t) = H?(q,p,t) + ∑_k λ_k(a_k(q,t)q^Δ + a_k^0(q,t))

(13)

其中λ_k为Lagrange乘子。

定义4.1 对于非完整系统，如果无穷小变换(ξ,η,ζ)满足：

a_k(q*,q^*^Δ,t*)q^*^Δ + a_k^0(q*,t*) = a_k(q,q^Δ,t)q^Δ + a_k^0(q,t)

则称该变换是非完整系统的Noether对称。

定理4.1 对于时间尺度上的非完整系统，如果无穷小变换是非完整系统的Noether对称，则存在如下形式的守恒量：

I = ∑_k p_k η_k ? Hε + ∑_k λ_k a_k η + f

(14)

其中f满足相应的结构方程。

定理4.2 对于时间尺度上的非完整系统，如果无穷小变换是非完整系统的Lie对称，则存在如下形式的守恒量：

I = ∑_k ζ_k p_k + ∑_k η_k ?H/?p_k + ∑_k λ_k (?a_k/?q·η + a_k η^Δ + ?a_k^0/?q·η + a_k^0 ε)

(15)

非完整系统对称的摄动

设无摄动系统的Hamilton函数为H?(q,p,λ,t)，摄动后的系统为：

H = H?(q,p,λ,t) + εH?(q,p,λ,t)

(16)

定义4.2 如果无摄动系统具有Noether对称(ξ?,η?,ζ?)，但在摄动系统下不再严格保持，则称该Noether对称为广义Noether对称。

定理4.3 对于时间尺度上的非完整系统，如果无穷小变换是摄动系统的广义Noether对称，则存在绝热不变量：

I = ε[∑_k p_k η_k ? Hε + ∑_k λ_k a_k η + f]

(17)

类似地，对于摄动系统的Lie对称，可以定义广义Lie对称并推导相应的绝热不变量。

定理4.4 对于时间尺度上的非完整系统，如果无穷小变换是摄动系统的广义Lie对称，则存在绝热不变量：

I = ε[∑_k ζ_k p_k + ∑_k η_k ?H/?p_k + ∑_k λ_k (...)]

(18)

数值验证

为了验证非完整系统结论的有效性，我们考虑一个具体的例子。

例4.1 考虑时间尺度??=?上的球体在固定圆锥面上的运动。设球体的质量为m，圆锥的半顶角为α。非完整约束方程为：

q?_2 ? q?_1 sinα = 0

对应的Hamilton函数为：

H = (1/2)(p?2 + p?2) + mgh

引入摄动后，系统受到微小摩擦力，通过Anerot的方法可以验证该摄动系统的广义Noether对称和绝热不变量。

数值仿真结果表明，绝热不变量在长时间内保持近似不变，验证了理论结论的有效性。

结论

本文在Hamilton框架下讨论了时间尺度上一般完整系统和非完整系统的Noether对称和Lie对称及其摄动。主要发现包括：首先，利用Anerot的方法，首次得到了两种系统中由Noether对称和Lie对称引起的守恒量。其次，首次得到了两种系统中由两种对称的摄动引起的绝热不变量。第三，通过两个??=?和??={m(m∈?)}的特殊情形进行了数值验证，证实了结论的有效性。

未来的研究方向包括：1）将本方法推广到更一般的非线性非完整系统；2）研究时间尺度上其他类型的对称及其摄动；3）探索绝热不变量在复杂系统和混沌系统中的应用；4）将结果推广到分数阶时间尺度系统。

作者贡献声明

Hou Shuang：方法论、撰写—初稿、撰写—审阅与编辑。Zhai Xianghua：资金获取、撰写—审阅与编辑。Song Chuanjing：资金获取、监督、验证、撰写—审阅与编辑。

资金支持

本研究得到了国家自然科学基金[批准号12572003、12172241、12272248和12472002]；以及江苏省高校青蓝项目的支持。

致谢

作者感谢Professor Shi-Xing Liu对本工作提出的宝贵指导和深入反馈。

Shuang Hou | Xianghua Zhai | Chuanjing Song