莱布尼兹代数何时是尼耶讷斯的？

《Journal of Geometry and Physics》：When Leibniz algebras are Nijenhuis?

　　

摘要

在本文中，我们发现莱布尼兹代数与李伊内豪斯算子密切相关，并证明三角辛莱布尼兹双代数连同其上的对偶三角结构必然具有李伊内豪斯算子，这使得从莱布尼兹代数的角度研究李伊内豪斯算子的应用成为可能。同时，我们利用Bai在(Bai, 2010 [4])中的方法，通过经典r-矩阵的张量形式重新获得了经典莱布尼兹杨-巴克斯特方程。最后，基于Ayupov、Omirov和Rakhimov在(Ayupov et al., 2020 [3])中的结果，我们给出了低维三角莱布尼兹双代数的分类。

引言与预备知识

一个（左）莱布尼兹代数是一个二元组(??, [,])，由一个向量空间??和一个双线性映射[,]: ?? ? ?? ? ??组成（记[,]?(?? ? ??) = [??, ??]），使得对所有??, ??, ?? ∈ ??，满足[??, [??, ??]] = [[??, ??], ??] + [??, [??, ??]]。这一概念由Blokh在[6]中以D-代数的名称引入，后被Loday以莱布尼兹代数的名称重新发现（参见[22]、[23]、[24]），它可以看作李代数的"非交换"类似物。对于给定的代数，可以通过对偶方法获得余代数结构。这是有趣且有意义的。

三角莱布尼兹双代数的再审视

在本节中，我们利用Bai在[4]中的方法，通过经典r-矩阵的张量形式获得经典莱布尼兹杨-巴克斯特方程。对偶于莱布尼兹代数的概念，我们有

定义2.1 一个莱布尼兹余代数是一个二元组(??, ??)，由一个向量空间??和一个线性映射??: ?? ? ?? ? ??组成（我们使用Sweedler记号[33]，记???(??) = ??(1) ? ??(2)），使得对所有?? ∈ ??，满足??(1) ? ??(2)?(1) ? ??(2)?(2) = ??(1)?(1) ? ??(1)?(2) ? ??(2) + ??(2)?(1) ? ??(1) ? ??(2)?(2)。

命题2.2 (1) 如果(??, ??)是一个莱布尼兹余代数，则(???, ???)是一个莱布尼兹代数，其中???: ??? ? ...

莱布尼兹代数何时为Nijenhuis？

在本节中，我们将证明莱布尼兹代数与李伊内豪斯算子密切相关，并研究什么样的莱布尼兹代数是Nijenhuis的。为了从莱布尼兹代数中获得Nijenhuis代数结构，我们需要引入以下概念。

定义3.1 设(??, ??)是一个莱布尼兹余代数，?? ∈ (?? ? ??)? 是一个双线性型。对所有??, ??, ?? ∈ ??，方程???(??, ??(1))????(??(2), ??) + ???(??, ??(1))????(??, ??(2)) = ???(??, ??(1))????(??(2), ??) + ???(??(1), ??)????(??, ??(2))称为余经典莱布尼兹杨-巴克斯特方程。

低维三角莱布尼兹双代数的分类

在本节中，我们基于[3]中给出的实数域上维数为2和3的莱布尼兹代数，给出了所有的三角莱布尼兹双代数。本节中??, ??, ??, ??为参数。

进一步研究

在[5]中，Bai、Guo和本文第二作者利用对偶表示建立了Rota-Baxter代数的双代数理论。在本文中，我们证明某些莱布尼兹双代数可以产生Nijenhuis莱布尼兹代数和Nijenhuis莱布尼兹余代数。是否存在一种合适的Nijenhuis莱布尼兹双代数结构，使其恰好由定理3.10和定理3.16导出？因此，我们将在未来尝试研究Nijenhuis莱布尼兹代数的双代数结构[28]。

致谢

作者非常感谢审稿人提出的非常有用的建议以及对手稿所做的改进。马由国家自然科学基金资助（编号：12471033）。李由国家自然科学基金资助（编号：12471130）。王由国家自然科学基金资助（编号：12271089）。本工作的初始研究预印本版本可参见[18]。

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