变形海森堡-维拉索罗代数的拟导子

《Journal of Geometry and Physics》：Quasi-derivations of the deformed Heisenberg-Virasoro algebra

　　

摘要

我们研究了变形海森堡-维拉索罗代数的拟导子。证明每个拟导子都是导子、1/2-导子、中心线性映射和某些明确的拟导子的直和。利用所得结果，我们还刻画了变形海森堡-维拉索罗代数的所有δ-(双)导子，从而对转置δ-泊松结构进行了分类。

引言

导子是代数领域中的一个基本概念。由于它与低维上同调群之间的关系，导子在李代数研究中具有特别重要的意义[16]。一系列工作明确地确定了各种李代数的导子，参见[12]、[13]及其参考文献。反导子是类比于导子的概念，它与李代数上的交换2-上 cocycle有关[11]。事实上，反导子空间是导子李代数的一个模。导子与反导子之和构成一个李代数。在[14]中，Filippov将导子和反导子的概念推广为δ-导子，并证明李代数的每个非平凡δ-导子都诱导出一个Hom-Lie结构。δ-导子空间包含通常的导子、反导子、1/2-导子以及来自心的映射。在[24]中，Ferreira、Kaygorodov和Lopatkin建立了李代数的1/2-导子与转置泊松代数[4]之间的关系，并且在[24]中也确定了Witt代数及相关代数的1/2-导子。关于转置泊松代数的进一步研究，我们请读者参阅[2]、[22]、[25]、[29]、[31]及其参考文献。转置泊松代数的一个自然推广是转置δ-泊松代数的概念[1]，李代数的δ-导子与转置δ-泊松代数有着密切联系。对于其他代数结构，δ-导子已在[10]、[32]中进行了研究。事实上，δ-导子是广义导子的一个特例，广义导子由Leger和Luks在[19]中引入。广义导子的概念已被推广到各种代数结构中。更多细节，感兴趣的读者可参阅综述文章[17]。Witt代数及相关代数的拟导子已在[18]中明确确定。另一方面，广义导子是Bre?ar在[7]中定义的近导子的先例。Burde和Dekimpe通过李代数的广义导子构造了后李代数结构，并证明此类广义导子与其他代数结构存在内在联系[8]。

扭曲海森堡-维拉索罗代数是一个与曲线模空间密切相关的无穷维李代数[3]。在其结构和表示理论的研究中已建立了一系列重要结果，参见[6]、[9]、[23]、[26]、[27]、[28]及其引用文献。阶数至多为一的微分算子李代数的无穷小变形在[20]中进行了研究，产生了一族变形李代数。随后，在[15]中确定了某个特定变形代数的自同构群、导子代数和万有中心扩张。此后，在[21]中研究了某些变形李代数的表示理论。本文的主要目的是研究一个变形李代数的广义导子，我们将该代数称为变形海森堡-维拉索罗代数。

第2节回顾了基本定义和预备结果。在第3节中，我们首先确定变形海森堡-维拉索罗代数的导子和1/2-导子。然后确定所有拟导子，这是本研究中最技术性的部分。利用所得结果，我们对变形代数上的所有δ-(双)导子和转置δ-泊松结构进行分类。最后，我们描述拟心并确定变形海森堡-维拉索罗代数的广义导子。

全文中，我们用?、?*、?、?*、?_+和?分别表示复数集、非零复数集、整数集、非零整数集、非负整数集和正整数集。本文中的向量空间均假设在?上。对于两个集合A和B，我们用A?B表示集合{a | a∈A, a?B}。

第2节 预备知识

设g是一个李代数。首先，我们回顾[19]中与导子相关的一些概念。

定义2.1 设Δ(g)表示三元组(f, f′, f″)的集合，其中f, f′, f″∈End(g)满足
$$[f(x), y] + [x, f'(y)] = f''([x, y])$$
对所有x, y∈g成立。

(1) 属于$GDer(g) = \{f \in End(g) \mid \exists f', f'' \in End(g) \text{ 使得 } (f, f', f'') \in \Delta(g)\}$的映射称为g的广义导子。

(2) 属于$QDer(g) = \{f \in End(g) \mid \exists f' \in End(g) \text{ 使得 } (f, f, f') \in \Delta(g)\}$的映射称为g的拟导子。

(3) 对于δ∈?，属于Der_δ(g)的映射……

导子和1/2-导子

对γ, ξ, η∈?，定义如下导子：
$$D_{\gamma,\xi,\eta}^{(0)}: L \to L, \quad L_m \mapsto m\gamma L_m + [(m-1)\xi - (m-2)\eta]I_m, \quad I_m \mapsto m\gamma I_m, \quad c \mapsto 0.$$
设$D^{(0)}(L)$为由$\{D_{\gamma,\xi,\eta}^{(0)} \mid \gamma, \xi, \eta \in \mathbb{C}\}$张成的向量空间。则该空间是三维的，且满足
$$D^{(0)}(L) = \mathbb{C}D_{1,0,0}^{(0)} \oplus \mathbb{C}D_{0,1,0}^{(0)} \oplus \mathbb{C}D_{0,0,1}^{(0)} \subseteq Der(L).$$
对k∈?*及α, β∈?，定义替代导子如下：
$$D_{\alpha,\beta}^{(k)} := ad(\alpha k L_k + \beta^{-\alpha k} I_k),$$
其中ad: L→Der(L)表示L的伴随映射。则$\{D_{\alpha,\beta}^{(k)} \mid \alpha, \beta \in \mathbb{C}\}$张成的向量空间是二维的，且满足
$$D^{(k)}(L) = \mathbb{C}D_{1,0}^{(k)} \oplus \mathbb{C}D_{0,1}^{(k)}.$$

Liu Shun | Xu Dashu