箭簇丛上的光滑相对联络

《Journal of Geometry and Physics》：Smooth relative connections on quiver bundles

　　

摘要
我们建立了一套关于实路径代数 RQ 上光滑扭曲弦图丛的光滑相对联络理论。我们给出了扭曲弦图丛上光滑相对联络存在的障碍。对于树型弦图丛，我们建立了光滑相对联络存在的充要条件。此外，我们提供了一个平坦弦图丛表示论的框架，将平坦相对联络的存在性与底层的弦图表示联系起来。

引言
向量丛上的联络是微分几何中的基本工具，用于形式化向量丛截面的微分概念。它们在各种背景下被研究，并在许多几何构造中处于核心地位。联络在理论物理中也起着基础作用，特别是在规范理论中，其中它们模拟规范场和平行传输。在本文中，我们引入了实路径代数 RQ 上光滑扭曲弦图丛的光滑相对联络的概念，这些丛由通过弦图箭头关联的向量丛集合组成，并经过与弦图箭头相关的向量丛扭曲。该框架在弦图规范理论的语言中推广了经典联络。我们的定义受弦图表示论的启发，旨在与底层的弦图结构兼容。

给定光滑流形 X 上的任何光滑向量丛 E，光滑联络总是存在的。然而，对于扭曲弦图丛，由于额外结构的存在，即弦图箭头施加的相容性条件，情况未必如此。事实上，即使在简单情况下也会出现困难。例如，对于 An 型弦图，寻找尊重弦图结构的光滑相对联络可能并非易事（参见例 3.5）。扭曲弦图丛上光滑相对联络存在的这种障碍类似于全纯情况。虽然光滑向量丛上总是存在光滑联络，但全纯向量丛上并不总是存在全纯联络。

在本文中，我们研究这些相对联络的基本性质及其等价刻画。我们还研究扭曲弦图丛上光滑相对联络存在的障碍。在扭曲平凡的假设下，我们提供了树型扭曲弦图丛上光滑相对联络存在的充要准则。在相同的假设下，我们还描述了该情况下刻画平坦联络的框架。

我们简要描述论文各节的内容。
第 2 节回顾了弦图、其表示、扭曲弦图丛的概念以及扭曲路径代数层的基本定义。
第 3 节提供了光滑扭曲弦图丛上光滑相对联络的几种等价刻画。我们还建立了此类联络存在的上同调准则，灵感来自 [5, 定理 4.1] 的框架。为了突出弦图结构的作用，我们包含了一个反例，展示箭头沿线的相容性条件如何阻碍光滑相对联络的存在。此外，我们用适当的阿蒂亚类消失来表示扭曲弦图丛上光滑相对联络的存在。这种方法受阿蒂亚 [2] 关于全纯向量丛上全纯联络存在的工作启发。
第 4 节陈述了我们的主要结果：在平凡扭曲假设下，树型光滑扭曲弦图丛容纳光滑相对联络的充要条件。关键技术涉及将扭曲弦图丛中的每个向量丛分解为与弦图结构兼容的子丛。
在第 5 节中，我们推广了微分几何和拓扑学中局部系统、平坦向量丛和基本群表示之间的经典对应关系。这种众所周知的等价关系连接了空间的拓扑和微分结构。在我们的设置中，我们将其推广到具有平凡扭曲的扭曲弦图丛。具体来说，我们建立了基本群在弦图表示范畴中的表示与配备平坦联络的具有平凡扭曲的光滑扭曲弦图丛之间的等价关系。

章节片段
预备知识
在本节中，我们回顾弦图表示的基本概念。关于弦图表示的基础知识，参见 [3, 第 1 章]。
弦图是一个有向图，由四元组 (Q0,Q1,s,t) 给出，其中 Q0 是顶点集，Q1 是箭头集，且 s,t:Q1→Q0 是映射。对于箭头 a∈Q1，s(a) 和 t(a) 分别称为 a 的源和目标。如果集 Q0 和 Q1 是有限集，则称弦图 Q 是有限的。在本文中，我们假设弦图 Q 是有限的。
定义 2.1 弦图中的路径 p 在 a...

光滑扭曲弦图丛上的联络
设 Q 为一个弦图，(X, CX∞) 为配备光滑函数层的连通光滑流形。记 TX 和 TX? 分别为 X 的切丛和余切丛。对于 X 上的光滑向量丛 E，记 Ap(E) 为 X 上取值于 E 的光滑 p-形式层，即 Ap(E)=?pTX??CX∞E。
定义 3.1 关于路径代数 RQ 的 M-扭曲 Q-丛 R=(E,?) 上的光滑相对联络由一组光滑联络组成
?0:={?i:Ei→A1(Ei)}i∈Q0
和
?1:={?a:Ma→A1(Ma)}a∈Q...

树型弦图丛上的光滑相对联络
在本节中，我们提供了连通光滑流形 X 上树型光滑扭曲弦图丛在平凡扭曲下容纳光滑相对联络的充要条件。在本节中，我们假设 Ma 是平凡线丛，且对于 a∈Q1，联络 ?a 是外微分。在此假设下，通过恒等 Es(a)?Ma?Es(a)，相容条件变为 ?t(a)°?a=(idTX???a)°?s(a)。因此，我们省略“扭曲”一词，仅写作...

表示和平坦联络
设 X 为光滑连通流形，令 x∈X 固定。记 VB(X)F 为 X 上平坦向量丛的范畴。回想一下，具有联络 ? 的向量丛 E 若其曲率 ?°? 消失，则称为平坦的。记 Rep(π1(X,x),VSpace) 为基本群 π1(X,x) 在有限维 R-向量空间范畴 VSpace 中的表示范畴。我们回顾范畴 VB(X)F 和 Rep(π1(X,x),VSpace) 之间的等价关系。
设 E 为 X 上秩为 n 的光滑向量丛，具有平坦...

致谢
作者感谢匿名审稿人的建设性评论和有价值的建议，这些意见改进了本手稿。Pavan Adroja 和 Sanjay Amrutiya 的研究工作由印度科学与科技部科学与工程研究委员会 (SERB-DST) 资助，项目编号为 CRG/2023/000477。Riddhi Patil 的研究工作由 CSIR 奖学金资助，方案编号为 09/1031(17071)/2023-EMR-I。
Pavan Adroja|Sanjay Amrutiya|Riddhi Patil