利用 N-Bakry–émery Ricci 曲率的 Lichnerowicz 方程 Hamilton 型梯度估计

《Journal of Geometry and Physics》：Hamilton-type gradient estimates for a Lichnerowicz equation via N-Bakry–émery Ricci curvature

　　

摘要

Lichnerowicz方程出现在数学物理的各个领域，并在广义相对论中起着特别重要的作用。我们通过N-Bakry–émery Ricci曲率，建立了与V-Laplacian相关的Lichnerowicz方程 $\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_V u + au + cu - k$ 的正解 $u=u(x,t)$ 在完备黎曼流形 $(M,g)$ 上的局部和整体Hamilton型梯度估计，其中 $a\in\mathbb{R}$ 和 $c\in\mathbb{R}$ 为常数，$k>0$ 为正常数。作为应用，我们通过N-Bakry–émery Ricci曲率，给出了完备非紧致黎曼流形上Lichnerowicz方程正解的抛物Harnack不等式。即使N-Bakry–émery Ricci曲率退化为Ricci曲率时，我们的结果仍然是新的，并且改进了L. Zhao (2014) [6] 获得的通过N-Bakry–émery Ricci曲率得到的Hamilton型梯度估计。

引言

在整个论文中，我们假设 $(M,g)$ 是一个$n$维的完备黎曼流形，$n\geq 2$，无边界。对于一点 $p\in M$ 和一个正常数 $R>0$，设 $B_p(R)$ 表示以 $p$ 为中心、半径为 $R$ 的测地球。P. Li 和 S.-T. Yau [5] 研究了 $(M,g)$ 上热方程 $\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_g u$ 的正解，并建立了以下通过Ricci曲率得到的局部和整体梯度估计：

定理1 P. Li 和 S.-T. Yau [5] 设 $(M,g)$ 是一个$n$维的完备黎曼流形，$n\geq 2$，无边界。假设Ricci曲率在 $B_p(2R)$ 中满足 $\text{Ric}_g \geq -K$，其中 $K\geq 0$ 为某个非负常数。如果 $u=u(x,t)$ 是 $B_p(2R)\times[0,T]$ 中方程(1.1)的正解，则在 $B_p(R)\times(0,T]$ 中，有
$$\frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{\alpha u_t}{u} \leq C(n)\frac{\alpha^2}{R^2}\left(\frac{\alpha}{\alpha-1}+1+KR\right)+n\frac{\alpha^2}{(\alpha-1)+n}\frac{K^2}{\alpha}\frac{1}{2t},$$
其中 $\alpha>1$ 为常数，$C(n)>0$ 为仅依赖于$n$的正常数。特别地，在(1.2)中取 $R\to +\infty$，我们得到整体梯度估计
$$\frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{\alpha u_t}{u} \leq n\frac{\alpha^2}{(\alpha-1)+n}\frac{K^2}{\alpha}\frac{1}{2t}.$$

R. Hamilton [3] 通过Ricci曲率建立了热方程(1.1)正解的以下整体梯度估计：

定理2 R. Hamilton [3] 设 $(M,g)$ 是一个$n$维紧致黎曼流形，$n\geq 2$，无边界。假设Ricci曲率在$M$上满足 $\text{Ric}_g \geq -K$，其中 $K>0$ 为某个正常数。如果 $u=u(x,t)$ 是 $M\times[0,T]$ 中方程(1.1)的正解，则在 $M\times(0,T]$ 中，有
$$e^{-2Kt}\frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{u_t}{u} \leq \frac{n}{2t}e^{2Kt}.$$

热方程(1.1)可以通过对Ricci曲率进行某些修改来推广，如下所示。设 $N\in[n,+\infty)$，$V\in\mathfrak{X}(M)$ 为光滑向量场。我们定义N-Bakry–émery Ricci曲率[4]：
$$\text{Ric}_{V_n} := \text{Ric}_g$$
$$\text{Ric}_{V_N} := \text{Ric}_g + \frac{1}{2}\mathcal{L}_V g - \frac{1}{N-n}V^*\otimes V^*, \quad N\in(n,+\infty),$$
其中 $\mathcal{L}_V g$ 表示$g$沿$V$的Lie导数，$V^*$ 表示$V$关于$g$的对偶度规。当 $N\in(n,+\infty)$ 且 $V\in\mathfrak{X}(M)$ 是某个光滑函数 $f:M\to\mathbb{R}$ 的梯度向量场 $V=\nabla f$ 时，我们令
$$\text{Ric}_{f_N} := \text{Ric}_g + \text{Hess}\,f - \frac{1}{N-n}df\otimes df.$$
我们还定义V-Laplacian[4]：
$$\Delta_V := \Delta_g - V\cdot\nabla,$$
其中"$\cdot$"表示关于$g$的内积。当 $V\in\mathfrak{X}(M)$ 是某个光滑函数 $f:M\to\mathbb{R}$ 的梯度向量场 $V=\nabla f$ 时，V-Laplacian变为Witten Laplacian：
$$\Delta_f := \Delta_g - \nabla f\cdot\nabla.$$
当 $V\in\mathfrak{X}(M)$ 为零向量场时，N-Bakry–émery Ricci曲率和V-Laplacian分别退化为Ricci曲率和度规Laplacian，它们扩展了许多用Ricci曲率和度规Laplacian语言描述的重要拓扑和几何结果（参见[4]）。

最近，许多作者考虑了热方程(1.1)的各种推广。Lichnerowicz方程是热方程(1.1)最重要的推广之一，并在广义相对论中起着重要作用（参见[1]及其参考文献）。L. Zhao [6] 研究了与Witten Laplacian相关的Lichnerowicz方程 $\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_f u + cu - k$ 的正解，通过N-Bakry–émery Ricci曲率，其中 $c\in\mathbb{R}$ 为常数，$k>0$ 为正常数。我们注意到，当 $c=0$ 且 $f:M\to\mathbb{R}$ 为常数函数时，Lichnerowicz方程(1.4)退化为热方程(1.1)。L. Zhao [6] 建立了通过N-Bakry–émery Ricci曲率得到的(1.4)正解的以下局部和整体Hamilton型梯度估计：

定理3 L. Zhao [6] 设 $(M,g)$ 是一个$n$维的完备黎曼流形，$n\geq 2$，无边界，$c\in\mathbb{R}$，$k>0$，$N\in[n,+\infty)$。假设N-Bakry–émery Ricci曲率在 $B_p(2R)$ 中满足 $\text{Ric}_{f_N} \geq -K$，其中 $K>0$ 为某个正常数。如果 $u=u(x,t)$ 是 $B_p(2R)\times[0,T]$ 中(1.4)的正解，则在 $B_p(R)\times(0,T]$ 中，我们有：
(1) 当 $c\geq 0$ 时，有
$$e^{-2Kt}\left(\frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{u_t}{u} + cu - (k+1)\right) \leq C(N)\frac{(1-\delta)}{R^2}(1+KR)e^{2Kt} + C(N)\frac{\delta}{(1-\delta)R^2}e^{6Kt} + \frac{e^{2Kt}-1}{e^{2Kt}}\frac{N}{2}\frac{1}{(1-\delta)}\frac{1}{t};$$
(2) 当 $c\leq 0$ 且 $u-(k+1)\leq L$ 在 $B_p(2R)\times[0,T]$ 中成立，其中 $L>0$ 为某个正常数时，有
$$e^{-2Kt}\left(\frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{u_t}{u} + cu - (k+1)\right) \leq C(N)\frac{(1-\delta)}{R^2}(1+KR)e^{2Kt} - \frac{Nc(k+1)}{2L^4}\frac{(1-\delta)}{}e^{4Kt} + \frac{e^{2Kt}-1}{e^{2Kt}} - \frac{Nc(k+1)}{L^4}\frac{(1-\delta)}{}e^{2Kt} + C(N)\frac{\delta}{(1-\delta)R^2}e^{6Kt} + \frac{e^{2Kt}-1}{e^{2Kt}} + \frac{N}{2}\frac{1}{(1-\delta)}\frac{e^{2Kt}}{t},$$
其中 $C=C(N)>0$ 为仅依赖于$N$的正常数，$\delta\in\mathbb{R}$ 为满足 $0<\delta<1$ 的任意常数。特别地，在(1.5)和(1.6)中分别取 $R\to +\infty$ 和 $\delta\to 0$，我们分别得到整体梯度估计
$$e^{-2Kt}\left(\frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{u_t}{u} + cu - (k+1)\right) \leq \frac{N}{2t}e^{2Kt}$$
和
$$e^{-2Kt}\left(\frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{u_t}{u} + cu - (k+1)\right) \leq -\frac{Nc(k+1)}{2L^4}e^{4Kt} - \frac{Nc(k+1)}{L^4}e^{2Kt} + \frac{N}{2t}e^{2Kt}.$$

在本文中，我们研究与V-Laplacian相关的Lichnerowicz方程(1.4)的一个推广的正解：
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_V u + au + cu - k,$$
通过N-Bakry–émery Ricci曲率，其中 $a\in\mathbb{R}$ 和 $c\in\mathbb{R}$ 为常数，$k>0$ 为正常数。我们注意到，当 $a=0$，$c=0$ 且 $V\in\mathfrak{X}(M)$ 为零向量场时，(1.9)退化为热方程(1.1)。此外，当 $a=0$ 且 $V\in\mathfrak{X}(M)$ 是某个光滑函数 $f:M\to\mathbb{R}$ 的梯度向量场 $V=\nabla f$ 时，(1.9)恢复为Lichnerowicz方程(1.4)。然后我们通过N-Bakry–émery Ricci曲率建立了(1.9)正解的以下局部和整体Hamilton型梯度估计：

定理4 设 $(M,g)$ 是一个$n$维的完备黎曼流形，$n\geq 2$，无边界，$a\in\mathbb{R}$，$c\in\mathbb{R}$，$k>0$，$N\in[n,+\infty)$。假设N-Bakry–émery Ricci曲率在 $B_p(2R)$ 中满足 $\text{Ric}_{V_N} \geq -K$，其中 $K>0$ 为某个正常数。如果 $u=u(x,t)$ 是 $B_p(2R)\times[0,T]$ 中(1.9)的正解，则在 $B_p(R)\times(0,T]$ 中，我们有：
(1) 当 $c\geq 0$ 时，有
$$e^{-2Kt}\left(\frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{u_t}{u} + a + cu - (k+1)\right) \leq C(N)\frac{(1-\delta)}{R^2}\{1+KR\coth(KN-1R)\}e^{2Kt} + C(N)\frac{\delta}{(1-\delta)R^2}e^{6Kt} + \frac{e^{2Kt}-1}{e^{2Kt}} + \frac{NK}{1-\delta}\frac{e^{2Kt}}{e^{2Kt}-1};$$
(2) 当 $c\leq 0$ 且 $u-(k+1)\leq L$ 在 $B_p(2R)\times[0,T]$ 中成立，其中 $L>0$ 为某个正常数时，有
$$e^{-2Kt}\left(\frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{u_t}{u} + a + cu - (k+1)\right) \leq C(N)\frac{(1-\delta)}{R^2}\{1+KR\coth(KN-1R)\}e^{2Kt} - \frac{Nck(k+1)}{L^8}\frac{(1-\delta)}{}e^{4Kt} + \frac{e^{2Kt}-1}{e^{2Kt}} - \frac{Nc(k+1)}{L^8}\frac{(1-\delta)}{}e^{2Kt} + \frac{e^{2Kt}-1}{e^{2Kt}} - \frac{Nc(k+1)}{L^2}\frac{(1-\delta)}{}e^{2Kt} + C(N)\frac{\delta}{(1-\delta)R^2}e^{6Kt} + \frac{e^{2Kt}-1}{e^{2Kt}} + \frac{NK}{1-\delta}\frac{e^{2Kt}}{e^{2Kt}-1},$$
其中 $C=C(N)>0$ 为仅依赖于$N$的正常数，$\delta\in\mathbb{R}$ 为满足 $0<\delta<1$ 的任意常数。特别地，在(1.10)和(1.11)中分别取 $R\to +\infty$ 和 $\delta\to 0$，我们分别得到整体梯度估计
$$e^{-2Kt}\left(\frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{u_t}{u} + a + cu - (k+1)\right) \leq \frac{NK}{e^{2Kt}-1}e^{2Kt}$$
和
$$e^{-2Kt}\left(\frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{u_t}{u} + a + cu - (k+1)\right) \leq -\frac{Nck(k+1)}{L^8}e^{4Kt} - \frac{Nc(k+1)}{L^8}e^{2Kt} - \frac{Nc(k+1)}{L^2}e^{2Kt} + \frac{NK}{e^{2Kt}-1}e^{2Kt}.$$

注1 当 $a=0$，$c=0$ 且 $N=n$ 时，在(1.12)中我们得到热方程(1.1)正解 $u=u(x,t)$ 通过Ricci曲率得到的整体梯度估计
$$e^{-2Kt}\left(\frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{u_t}{u}\right) \leq \frac{nK}{e^{2Kt}-1}e^{2Kt}.$$
我们注意到(1.3)的右端在 $t\to +\infty$ 时趋于无穷大，而(1.14)的右端在 $t\to +\infty$ 时是有上界的。因此，对于任何充分大的 $t>0$，(1.14)改进了整体梯度估计(1.3)。此外，当 $a=0$ 且 $V\in\mathfrak{X}(M)$ 是某个光滑函数 $f:M\to\mathbb{R}$ 的梯度向量场 $V=\nabla f$ 时，在定理4中，(1.12)和(1.13)分别改进了整体梯度估计(1.7)和(1.8)对于任何充分大的 $t>0$。

作为定理4的推论，我们通过N-Bakry–émery Ricci曲率得到(1.9)正解的以下抛物Harnack不等式：

推论1 设 $(M,g)$ 是一个$n$维的连通完备非紧致黎曼流形，$n\geq 2$，无边界，$a\in\mathbb{R}$，$c\in\mathbb{R}$，$k>0$，$N\in[n,+\infty)$。假设N-Bakry–émery Ricci曲率在$M$上满足 $\text{Ric}_{V_N} \geq -K$，其中 $K>0$ 为某个正常数。如果 $u=u(x,t)$ 是 $M\times[0,T]$ 中(1.9)的正解，则对任意 $x_1,x_2\in M$ 和 $0< />< />0$ 为某个正常数时，有
$$u(x_1,t_1) \leq u(x_2,t_2)\left(\frac{e^{2Kt_2}-1}{e^{2Kt_1}-1}\right)^{-Nck(k+1)L/16K - Nc(k+1)L/16K + N/2}\exp\left\{\frac{d^2(x_1,x_2)}{4(t_2-t_1)^2}\frac{e^{2Kt_2}-e^{2Kt_1}}{2K} - a(t_2-t_1) - \frac{Nck(k+1)L}{8}\frac{e^{2Kt_2}-e^{2Kt_1}}{2K} - \frac{Nc(k+1)L^2}{2}\frac{e^{2Kt_2}-e^{2Kt_1}}{2K} - cL(t_2-t_1)\right\},$$
其中 $d(x_1,x_2)$ 表示 $x_1$ 和 $x_2$ 之间的距离。

本文的组织如下：在第2节中，我们给出几个在证明定理4中起重要作用的引理。在第3节中，我们证明定理4和推论1。

引言小节

预备知识

在这一节中，我们给出几个在证明定理4中起重要作用的引理。我们回顾以下可能通过Bochner–Weitzenb?ck公式结合N-Bakry–émery Ricci曲率和V-Laplacian由Y. Li [4] 证明的引理：

引理1 Y. Li [4] 设 $N\in[n,+\infty)$。对任意光滑函数 $f:M\to\mathbb{R}$，有
$$\frac{1}{2}\Delta_V|\nabla f|^2 \geq \frac{1}{N}(\Delta_V f)^2 + \langle\nabla f, \nabla\Delta_V f\rangle + \text{Ric}_{V_N}(\nabla f, \nabla f).$$

设 $u=u(x,t)$ 为(1.9)的正解。我们令 $w := \log u$。则$w$满足方程
$$w_t = \Delta_V w + |\nabla w|^2 + a + ce^{-(k+1)w}.$$
我们引入线性微分算子

定理4和推论1的证明

现在，我们可以证明定理4和推论1了。首先，我们证明定理4。定理4的证明是对L. Zhao [6, 定理1.3] 的Hamilton型梯度估计证明的修改。

定理4的证明 我们取截断函数 $\varphi=\varphi(x)$，形式为
$$\varphi(x) := \xi\left(\frac{r(x)}{R}\right),$$
其中 $\xi=\xi(t)$ 为满足以下条件的光滑单调函数：
$$\xi(t)\equiv 1, \quad \text{对所有 } t\leq 1,$$
$$\xi(t)\equiv 0, \quad \text{对所有 } t\geq 2,$$
$$(\xi')^2/\xi \leq C_0,$$
$$\xi'' \geq -C_0,$$
其中 $C_0>0$ 为某个正常数。这里，$r=r(x)$ 是 $p$ 和 $x$ 之间的距离。这样的函数可以容易地构造出来

Homare Tadano