圆周上abcd Boussinesq方程组的Birkhoff正规形

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：Birkhoff normal form for abcd Boussinesq system on the circle

　　

**摘要**

本文证明了圆周上abcd Boussinesq系统在 $b=d>0$、$a,c<0$ 情形下的Birkhoff正规形结果。该结果基于以下事实：非线性项具有所谓温和模性质，且频率满足非共振条件。作为Birkhoff正规形的推论，任何小振幅解在长时间尺度内都保持在某不变环面附近。

**引言**

我们考虑 $abcd$-Boussinesq系统

$$
\begin{cases}
(1-b\partial_x^2)\partial_t\eta+\partial_x(a\partial_x^2 u+u+u\eta)=0, & (t,x)\in\mathbb{R}\times\mathbb{T}\\
(1-d\partial_x^2)\partial_t u+\partial_x(c\partial_x^2\eta+\eta+\frac{1}{2}u^2)=0,
\end{cases}
$$

其中 $\eta, u$ 是满足零动量条件 $\int_{\mathbb{T}}\eta(t,x)dx=\int_{\mathbb{T}}u(t,x)dx=0$ 的实函数。该系统由Bona、Chen和Saut [12], [13] 在Boussinesq原始推导 [16] 的基础上给出，旨在研究浅水条件下的二维、不可压缩、无旋水波。$abcd$ Boussinesq方程及其推广已在文献中被广泛研究（参见[1], [14], [15], [20], [23], [24], [21]）。这里参数 $a,b,c,d$ 满足相容条件（参见[12], [13]）：$a+b+c+d=\frac{1}{3}$。除了物理意义外，理解 $abcd$ Boussinesq系统的长时间动力学也是一个重要的数学问题。虽然局部和整体适定性的研究已相当深入，但对小振幅解在长时间尺度上的持久性却知之甚少。Birkhoff正规形理论为解决这一问题提供了有力工具。通过正规范变换消除非本质的非线性相互作用，它揭示了动力学在多项式长的时间内保持在可积系统附近。因此，Fourier模态之间的能量转移受到强烈约束，小解在长时间区间内保持在不变环面附近。

在本文中，我们希望证明系统(1.1)的Birkhoff正规形结果。思路来源于[5]中的定理2.13（另见[3], [6], [19], [4], [17]），其中作者提供了一个适用于哈密顿PDE的抽象框架，只需验证两个基本要素：非线性向量场具有温和模性质；线性频率满足适当的非共振估计。因此，将该理论应用于某个方程时，需要针对所考虑的具体模型建立这两个性质。在[5]中，作者将该结果应用于许多偏微分方程：NLW方程、一维和高分数的NLS方程、一维耦合NLS方程。本文则为哈密顿 $abcd$ Boussinesq系统提供了这样的验证。

尽管正规形算法本身遵循[5]的抽象方案，但这些假设的验证与先前的应用完全不同。我们的主要贡献如下：

- 我们证明了哈密顿 $abcd$ Boussinesq系统的三次非线性项定义了一个温和向量场；
- 我们通过利用频率对物理参数 $(a,b,c,d)$ 的显式依赖关系建立了非共振性质，而无需如[5]中那样引入外部参数；
- 结合这两个要素，得到了哈密顿 $abcd$ Boussinesq系统的第一个Birkhoff正规形定理。

与一般情况一样，Birkhoff正规形结果的证明通过构造一系列正规范变换来实现，逐步消除非线性项中的非正规部分。该过程涉及在每一步求解同调方程。[5]中的思路是利用所谓的温和不等式 $\|uv\|_s\leq C(\|u\|_s\|v\|_1+\|v\|_s\|u\|_1)$，以及如果 $u\in H^s$ 仅依赖于高阶模态 $u=\sum_{|k|\geq N}u_k e^{ikx}$，则 $\|u\|_1\leq \frac{\|u\|_s}{N^{s-1}}$。当 $N$ 足够大时，该项很小。因此，在Birkhoff过程中，具有温和性质且展开中有许多高阶模态的非线性项是小的且可控的。而频率的研究在消除剩余的非可积共振项方面起着重要作用。然而，与[5]不同，在[5]中使用外部参数来验证非共振条件，而我们通过研究频率作为参数 $a,b,c,d$ 的函数来获得非共振条件。

在允许的参数范围内，哈密顿一般情形 $b=d>0, a,c<0$ 特别适合Birkhoff正规形理论的应用。在该情形下，系统具有哈密顿结构以及正二次能量，允许引入正规范坐标。此外，Fourier乘子 $D_k=\frac{2\pi k}{1+4\pi^2 bk^2}$ 关于 $k$ 一致有界。这一有界性是建立非线性向量场温和模性质的关键要素。

相比之下，在KdV-KdV情形（$b=d=0$）中，$D_k=2\pi k$，这是无界的。因此，非线性向量场损失一个导数，[5]的抽象理论所需的温和估计不再成立。出于这个原因，KdV-KdV情形需要实质不同的技术，并将另行研究。

自从Bambusi和Grébert [5]的开创性工作以来，Birkhoff正规形技术已在多个方向上得到显著发展。这些包括有理正规形和非线性Schr?dinger方程的长时间稳定性 [10]，哈密顿PDE的低正则性Birkhoff正规形 [9]，应用于广义KdV和Benjamin-Ono方程 [8]，以及近期扩展到拟线性色散方程，包括重力-毛细水波 [11]。更广泛地说，近期研究从不同角度继续凸显哈密顿及相关系统中非线性动力学现象的丰富性 [22]。本文通过建立哈密顿一般 $abcd$ Boussinesq系统的Birkhoff正规形，为该研究方向做出了贡献，其中主要困难在于验证温和模性质和所需的非共振条件。

**致谢**：感谢Beno?t Grébert教授在提出发表本文的动机、众多建议和讨论方面给予的支持。本研究由越南国家大学河内分校科研项目QG.24.17资助。

**主定理的陈述**

为了便于应用Birkhoff正规形理论，我们将原始PDE改写为无穷维哈密顿系统。该过程由三个步骤组成。首先，我们引入Fourier变量。其次，我们利用适当的正规范坐标对角化方程的线性部分。最后，非线性项用这些新变量表示，得到本文中使用的哈密顿形式。我们将解展开为Fourier变量

$$u(x)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^*}u_k e^{ikx}$$

**正规形与温和模**

本节回顾[5]中使用的一些记号和引理。

**Boussinesq方程的性质**

应用[5]中抽象Birkhoff正规形定理的主要困难之一是验证哈密顿 $abcd$ Boussinesq系统频率的非共振条件。在[5]的抽象框架中，非共振条件通过引入适当的外部参数来建立，这些参数提供了频率映射所需的非退化性。相比之下，本问题中无法使用辅助参数。因此，非共振条件……

**定理2.1的证明**

证明遵循第3节中描述的迭代正规形方案。在每一步中，我们求解同调方程以消除哈密顿量的非共振部分，然后估计新的余项。主要任务是证明这些估计在整个迭代过程中保持一致。

由于 $P$ 具有温和模，存在正数 $\mu\#$ 使得

$$\langle|P|\rangle_{s,\mu}\leq A\mu^2, \quad \forall 0<\mu\leq\mu\#$$

其中 $A=\frac{32\pi}{|b|}$。固定 $r^*>1, N>1$，对任何 $r\leq r^*$，我们定义 $\mu_r$ 和 $\mu^*$ 为

$$\mu^*:=\frac{\kappa}{48e r^* N^{\alpha} A}, \quad \mu_r:=\mu(1-\frac{r}{2r^*}), \quad \forall \mu_r\leq\mu\#, \quad u_r\mu^*\leq\frac{1}{2}$$

**结论**

本文在一般情形 $b=d>0, a,c<0$ 下建立了哈密顿 $abcd$ Boussinesq系统的Birkhoff正规形。证明依赖于两个关键要素：非线性向量场的温和模性质以及频率适当非共振条件的验证。本文的主要新颖之处在于为哈密顿一般 $abcd$ Boussinesq系统验证了这两个假设，从而使Bambusi和Grébert的抽象正规形定理得以应用。

**Trung Nguyen**