涉及规范变换和Muckenhoupt权重的临界d-Laplace系统的规律性估计

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：Regularity estimates for critical d-Laplace systems involving gauge transformations and Muckenhoupt weights

　　摘要：我们为一类具有临界增长率的非线性椭圆共形型系统中的解建立了局部梯度正则性，这些系统的形式为?div(|???|???2?????)=div??，其中Ω????。由于指数的临界性质（对应于Sobolev嵌入的极限情况），以及矩阵值系数??作为Rivière或Uhlenbeck-Coulomb型的规范变换出现，该方程展现出有趣的特征。这项研究的主要动机来源于Martino和Schikorra在[18]、[19]中的最新贡献，他们研究了一类具有反对称势的共形系统。对于这类具有反对称结构的d-Laplace系统的分析，关键在于应用了补偿紧凑性，从而能够在洛伦兹空间的最优尺度下得到梯度估计。在对Muckenhoupt ??∞权重和给定数据的结构条件做出适当假设的情况下，我们通过加权洛伦兹框架中的分数最大算子????来控制解的梯度。此外，作为我们主要结果的直接结果，我们还推导出了Morrey空间中的精确梯度界限以及通过Riesz势????得到的逐点梯度估计。

**部分摘录**

**引言和主要结果陈述**：在这项研究中，我们探讨了一类旋转d-Laplace系统解的梯度正则性，其散度形式为?div(|???|???2?????)=div??，其中Ω ????是一个有界开域，且?? ≥2。这里，??代表属于??1,???(??2??,??2??2(??))的局部Rivière规范变换，对于??> 0；右侧数据??在每个球体??2?? ?Ω上局部定义，并属于???????12(??2??,??? ????)，对于某个??> 1。在需要时将会具体说明额外的假设。

**椭圆系统（1.1）**

**初步知识和基本引理**：在本节中，我们将记录一些符号和定义，并收集函数空间所需的背景知识。我们还将介绍一些在本文其余部分有用的初步结果。

**符号说明**：在我们的研究中，我们将遵循通常的约定，用C表示一个一般正常数，这个常数可能在不同的情况下变化，即使在同一估计行内也是如此。括号用于明确对某些关键量的依赖关系，例如??2(??,??)。

**加权空间中的极限Calderón-Zygmund型估计及其应用**：借助上一节中发展的初步技术引理和估计，我们的策略现在已经清晰明了。本文的其余部分致力于证明第1节中陈述的主要结果。

**定理1.1的证明**：首先，根据引理2.11，存在常数??0= ??02(????????)∈(0,1)和??= ??2(????????)> 0，如果条件（1.5）成立，则对于每个??≥????（对于每个?? ∈(0,1)），以下不等式成立：Φ????2(??)≤????Φ????2(??0??)+Ψ????2(??????)。我们注意到参数????= ????2(????????,??)是定义好的。

**致谢**：作者感谢编辑和审稿人的仔细阅读和建设性评论，这些评论显著提高了本文的质量。本研究由越南国家科学技术发展基金会（NAFOSTED）资助，资助编号为101.02-2025.03。