Chaplain-Lolas 模型柯西问题的长时间动力学分析

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：Long time dynamics analysis of the Cauchy problem for the Chaplain-Lolas model

　　

摘要

本文重点研究在N维空间（N=1,2,3）中Chaplain-Lolas模型相关Cauchy问题的长时间动力学行为。该模型由以下方程描述：

?u_t = Δu - χ??(u?v) - ξ??(u?w),
?v_t = Δv - v + u,
?w_t = -vw + η(1-u-w)w.

我们的研究表明，该系统整体强解(u, v, w)在L^p-范数意义下趋向于(0, 0, 1)，对所有1 < p ≤ ∞成立。值得注意的是，在二维和三维空间中，解(u, v)在L^p-范数意义下收敛于热核，对所有1 ≤ p ≤ ∞成立，且具有与热方程一致的衰减率，进一步证实了其最优性。在一维空间中，我们也提供了解的衰减率估计，尽管它们不是最优的。此外，作为补充，我们在?^N（1 ≤ N ≤ 3）中初始值满足小性假设的条件下，建立了强解的整体存在性和有界性。值得注意的是，虽然上述关于强解长时间动态行为的结果不要求初始数据的小性假设，但在非一维情况下，强解的整体存在性结论仍然需要对初始数据进行小性限制。当然，本文的整体存在性结果与有界域上已建立的研究结论相一致。

引言

癌症侵袭是一个极其复杂且精细调控的生物学过程，其中包含众多复杂机制。其中，癌细胞的迁移和增殖活动是核心组成部分。这些细胞分泌基质降解酶（MDEs），如蛋白酶，以降解细胞外基质（ECM），如胶原蛋白凝胶，从而为其侵袭开辟道路。值得注意的是，ECM有能力通过逻辑方式恢复到正常健康水平，并与癌细胞在空间上竞争。在癌症侵袭过程中，趋化性和接触引导趋化性是两种重要机制，共同引导癌细胞的迁移方向[2]。趋化性表现为癌细胞沿可扩散MDE的浓度梯度进行定向移动。同时，接触引导趋化性涉及细胞感知并附着于基质分子（如玻连蛋白），然后沿非扩散ECM的浓度梯度迁移。这种迁移模式更依赖于细胞与基质之间的物理接触。为了更彻底、更精确地描绘癌细胞浸润邻近健康组织的动态过程，Chaplain和Lolas在文献[10]、[11]中提出了趋化-接触引导趋化模型，如下图所示：

?u_t = Δu - χ??(u?v) - ξ??(u?w) + f(u, w),
?v_t = Δv - v + u,
?w_t = -vw + η(1-u-w)w.

这里，未知变量u(x,t)、v(x,t)、w(x,t)分别表示癌细胞密度、MDE浓度和ECM密度。函数Δu描述的癌细胞迁移被假设为由随机运动控制。项χ??(u?v)和ξ??(u?w)分别表示趋化敏感性和接触引导趋化敏感性，其中χ和ξ为对应的正系数。此外，f(u,w)描述了癌细胞的增殖或死亡，包括与ECM的空间竞争，通常假设为逻辑类型，即f(u,w) = μu(1-u-w)。项-v描述了MDE的衰变，而-vw描述了ECM在MDE接触下的降解过程。另外，η(1-u-w)w描述了ECM的重塑过程，其中η为正系数。

该模型的一个显著特点在于其整体性方法：它不仅纳入了癌细胞的随机运动，还仔细整合了趋化性和接触引导趋化性作为细胞定向的引导机制。此外，该模型还涵盖了癌细胞的增殖动力学以及ECM的重塑过程。

• 关于有界域上模型(1.1)的适定性：

(i) 对于不含重塑机制的模型(1.1)，即η=0，文献[9]、[12]、[19]、[24]、[25]、[39]、[40]、[41]、[43]、[44]、[45]的作者研究了线性和多孔介质扩散模型在二维(2D)和三维(3D)有界域上解的整体存在性、有界性、唯一性和长时间渐近行为，考虑了退化和非退化的两种情况。对于η=0时系统(1.1)的整体存在性，在二维空间中需要μ>0，或在三维空间中μ相对于χ足够大，以确保经典解整体存在。更具体地说，对于线性趋化-接触引导趋化模型，在文献[39]中二维空间μ>0，或三维空间μ相对于χ或χ2适当大的情况下（文献[9]、[40]、[45]或[43]），经典解整体存在且一致有界。关于多孔介质扩散模型(1.1)整体可解性的更多结果，请参见文献[19]、[24]、[41]、[44]、[46]。

关于长时间渐近行为，在μ > χ2/8的条件下，Tao和Winkler在文献[43]中揭示了模型(1.1)的多维版本中，全局有界经典解(u, v, w)在L^∞-范数意义下指数收敛于稳定点(1, 1, 0)。Wang在文献[45]中考虑了3D-8D凸区域上的模型(1.1)，并指出当μ/χ适当大时，全局经典解指数衰减至(1/μ, 1/μ, 0)。关于η=0时模型(1.1)具有其他形式趋化项的长时间行为的更多结果，请参见文献[12]、[36]。

值得注意的是，重塑机制的引入使得适定性问题的处理更具挑战性。事实上，当η>0时，主要技术难点在于趋化-接触引导趋化模型中强耦合对解的u、v和w空间正则性的影响。对于w，由于它仅满足一个常微分方程(ODE)，且缺乏任何正则化效应，其正则性强烈依赖于解的u和v的正则性。因此，处理接触引导趋化项??(u?w)成为一项困难的任务。因此，关于含重塑机制的趋化-接触引导趋化模型的结果相对较少，目前主要在具有逻辑源f(u,w)=μu(1-u-w)的线性系统方程(1.1)方面取得了进展。

(ii) 对于含重塑机制的模型(1.1)，即η>0，在文献[20]、[35]的二维有界域中需要μ>0；在三维有界域中，通过将μu(1-u-w)替换为μu(r-u-w)，需要对初始值和r进行小性条件，以建立经典解的整体存在性和有界性[35]。对于η>0时系统(1.1)的整体存在性，当μ≥ξ η且χ=0时，Tao在文献[38]中证明了系统(1.1)对应的初始边界值(I.B.V.)问题在三维有界域内存在整体定义、一致有界且具有唯一性的经典解。对于任意μ>0，Tao和Winkler在文献[42]中证明了模型(1.1)抛物-椭圆-ODE版本的I.B.V.问题在二维有界域内存在经典解的整体存在性。

然而，这些解的有界性仍然未知。在改善解有界性的这一方向上，Pang和Wang在文献[34]中考虑了二维系统(1.1)，并在μ取大值时获得了全局一致有界的经典解。Jin在文献[20]中随后去除了二维空间中μ的限制，还考虑了具有广义逻辑源f(u,w)=μu^q(1-u-w)的三维空间。Pang和Wang在文献[35]中进一步提供了三维空间中初始值适当小时经典解存在性的结果。对于具有特定趋化和接触引导趋化项的系统(1.1)，Stinner等在文献[37]中建立了三维有界域上全局有界弱解的存在性。关于长时间渐近行为，对于适当小的η>0和χ=0，Jin在文献[21]中建立了全局经典解(u, v, w)收敛于常数平衡点(ū?, ū?, 0)的稳定性结果。对于任意η>0，Jin在文献[22]中证明了当μ/χ2在三维空间中适当大时，存在靠近(1, 1, 0)的全局强解。此外，该全局强解指数收敛于常数平衡点(1, 1, 0)。

• 关于Keller-Segel (KS)模型相关Cauchy问题的长时间动力学：

以前的研究表明，有界域上系统(1.1)的I.B.V.问题的解会收敛于常数平衡点。与有界域不同，全空间上解的大时间行为可能表现出新的现象。对于抛物-椭圆Patlak-Keller-Segel模型：

?u_t = Δu - χ??(u?v),
?Δv + u = 0,

其标度不变性影响了动态行为。文献[3]、[4]、[6]、[27]、[28]的作者探索了在二维设置中初始质量低于临界阈值8π时，形式为t^(-1)G_α(|x|/√t)的自相似解的存在性和特征。Bedrossian和Masmoudi在文献[3]中表明自相似解起到全局吸引子的作用，即：

lim_{t→∞} ‖u(·,t) - t^(-1)G_α(·/√t)‖_{L^p} = 0, 对于1 ≤ p ≤ ∞，

当‖u?‖_{L1} = α且α < 8π时，其中G_α是稳态问题的解。此外，收敛到该自相似剖面的最优速率在文献[14]中提出。另一方面，当α = 8π时，Davila等在文献[13]中推导了二维KS模型(1.2)的u(x,t)整体定义并在无限时间内爆破。此外，他们提供了u(x,t)在t→∞时的近似剖面，即：

u(x,t) ≈ (1/λ2(t)) U((x - ξ(t))/λ(t)), U(y) = 8/(1+y2)2,

其中λ(t) ≈ c√(log t), ξ(t) → q，对某个c > 0和q ∈ ?2。

对于以下抛物-抛物KS模型：

?u_t = Δu - χ??(u?v),
?v_t = Δv + u.

在二维空间中，通过考虑方程在标度和平移下的不变性质，Naito在文献[31]中证明了如果初始值足够小，则模型(1.3)的解在t→∞时表现为自相似解，即：

lim_{t→∞} ‖u(·,t) - t^(-1)U_α(·/√t)‖_{L^p} = 0, 对于1 ≤ p ≤ ∞。

这里t^(-1)U_α(·/√t)是模型(1.3)的自相似解，满足∫_{?2} U_α(x)dx = α，其中α = ∫_{?2} u? dx。

对于以下抛物-抛物KS模型：

?u_t = Δu - χ??(u?v),
?v_t = Δv - v + u,

Nagai在2001年研究了?2中有界解的渐近剖面，并证明在文献[29]中，有界解在L^∞-范数意义下收敛于热核G(x,t) = (1/(4πt)^{N/2}) e^{-|x|2/(4t)}。后来，Nagai、Syukuinn等在2003年将这一结果推广到?^N（N≥2），在文献[30]中证明了在1 < p ≤ ∞的L^p-范数意义下的收敛性。关于趋化模型Cauchy问题解的存在性和渐近动态剖面的更多结果，请参见文献[1]、[3]、[5]、[7]、[26]、[32]、[33]。

在本文中，我们考虑具有重塑机制的趋化-接触引导趋化模型的Cauchy问题：

?u_t = Δu - χ??(u?v) - ξ??(u?w), 在Q上,
?v_t = Δv - v + u, 在Q上,
?w_t = -vw + η(1-u-w)w, 在Q上,
?u(x,0) = u?(x), v(x,0) = v?(x), w(x,0) = w?(x), x ∈ ?^N,

其中Q = ?^N × ??, N ∈ {1, 2, 3}且χ, ξ, η > 0。

受到Keller-Segel模型长时间动态性质先前研究的启发，在本文中，我们重点关注N维空间中模型(1.4)的长时间渐近行为。具体来说，我们将研究模型(1.4)的解与热核G(x,t)之间的关系。通过直接计算，我们观察到解的u和v分量的L1-范数具有严格的正下界，即：

‖u(t)‖_{L1} = ‖u?‖_{L1}, ‖v(t)‖_{L1} = e^{-t}‖v?‖_{L1} + (1 - e^{-t})‖u?‖_{L1}.

此外，如果(u, v, w-1) ∈ L^∞(??; H2) × L^∞(??; H2) × L^∞(??; H3)，则有：

‖w(t) - 1‖_{L1} ≤ e^{-ηt}‖w? - 1‖_{L1} + ∫?^t e^{-η(t-s)}(η‖u‖_{L1} + ‖v‖_{L1} + η‖u‖_{L2}‖w-1‖_{L2} + ‖u‖_{L2}‖w-1‖_{L2} + η‖w-1‖2_{L2}) < C.

我们的研究表明，在N=1,2,3的?^N空间中，系统(2.3)的强解(?, ?, w?)在L^p-范数意义下收敛于(0, 0, 0)，对任意1 < p ≤ ∞成立。同时，我们观察到热核的L^p-范数在t→∞时衰减至0，对任意p > 1成立，即：

‖G(·,t)‖_{L^p} = (4πt)^{-N/2} (∫_{?^N} exp(-p|x|2/(4t)) dx)^{1/p} = π^{-N/2} (4t)^{-N/2(1-1/p)} (∫_{?^N} exp(-py2) dy)^{1/p} → 0.

因此，这也意味着对任意p > 1的值，解(?, ?)在L^p-范数意义下收敛于热核。

然而，解(?, ?)是否在L1-范数意义下收敛于热核的问题仍未解决。为了回答这个问题，我们进行了进一步研究，并确认解(?, ?)确实在L1-范数意义下收敛于热核。具体来说，我们利用?^N空间中热半群的估计，并将其与迭代方法相结合，以精确表征强解的长时间行为。即，在二维和三维中，解(?, ?)以代数方式收敛于热核函数，在1 ≤ p ≤ ∞的L^p-范数意义下成立。这些衰减率与热方程的衰减结果一致，表明其最优性。

我们还证明了解 $(\tilde{u}, \tilde{v}, \tilde{w})$ 在 $\mathbb{R}^N$（$N=2,3$）中以代数速度收敛于 $(0,0,0)$，这是最优衰减率。在一维空间中，我们也提供了解的衰减率估计，尽管它们不是最优的。此外，我们还在 $N \le 3$ 的 $\mathbb{R}^N$ 空间中，补充了初始值小性假设下强解的整体存在性和有界性结果。在此过程中，我们运用 Leray-Schauder 不动点定理证明了强解的存在性，并通过能量方法建立了唯一性。

**定理 1.1** 假设 $N=2,3$，$0 \le u_0, v_0 \not\equiv 0$，$w_0 \ge c_0 > 0$，且 $\rho, \xi, \eta > 0$。设 $(u,v,w)$ 满足 $u, v \in L^\infty(\mathbb{R}^+; H^2(\mathbb{R}^N) \cap L^1(\mathbb{R}^N))$ 且 $w-1 \in L^\infty(\mathbb{R}^+; H^3(\mathbb{R}^N) \cap L^1(\mathbb{R}^N))$ 为模型 (1.4) 的整体强解。则存在正常数 $C = C(\rho, \xi, \eta, u_0, v_0, w_0, N)$，使得对任意 $t > 0$，
$$\|u(t)\|_{L^p} \le C \|u_0\|_{L^1} (1+t)^{-\frac{N}{2}(1-\frac{1}{p})},$$
$$\|v(t)\|_{L^p} \le C \|u_0\|_{L^1} (1+t)^{-\frac{N}{2}(1-\frac{1}{p})},$$
$$\|w(t)-1\|_{L^p} \le C \|u_0\|_{L^1} (1+t)^{-\frac{N}{2}(1-\frac{1}{p})},$$
其中 $p \in (1, \infty]$。

此外，对任意 $p \in [1, \infty]$，
$$\lim_{t \to \infty} t^{\frac{N}{2}(1-\frac{1}{p})} \|u(\cdot, t) - M_0 G(\cdot, t)\|_{L^p} = 0,$$
$$\lim_{t \to \infty} t^{\frac{N}{2}(1-\frac{1}{p})} \|v(\cdot, t) - M_0 G(\cdot, t)\|_{L^p} = 0,$$
其中 $M_0 = \int_{\mathbb{R}^N} u_0(y) dy$，$G(x,t)$ 是热核，即
$$G(x,t) = (4\pi t)^{-\frac{N}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}}.$$

**定理 1.2** 假设 $N=1$，$0 \le u_0, v_0 \not\equiv 0$，$w_0 \ge c_0 > 0$，且 $\rho, \xi, \eta > 0$。设 $(u,v,w)$ 满足 $u, v \in L^\infty(\mathbb{R}^+; H^2(\mathbb{R}^N) \cap L^1(\mathbb{R}^N))$ 且 $w-1 \in L^\infty(\mathbb{R}^+; H^3(\mathbb{R}^N) \cap L^1(\mathbb{R}^N))$ 为模型 (1.4) 的整体强解。则存在正常数 $C = C(\rho, \xi, \eta, u_0, v_0, w_0)$，使得对任意 $t > 0$，
$$\|u(t)\|_{L^p} \le C \|u_0\|_{L^1} (1+t)^{-\frac{5}{12}(1-\frac{1}{p})},$$
$$\|v(t)\|_{L^p} \le C \|u_0\|_{L^1} (1+t)^{-\frac{5}{12}(1-\frac{1}{p})},$$
$$\|w(t)-1\|_{L^p} \le C \|u_0\|_{L^1} (1+t)^{-\frac{5}{12}(1-\frac{1}{p})},$$
其中 $p \in (1, \infty]$。

此外，对任意 $0 < m < \frac{25}{72}$，
$$\lim_{t \to \infty} t^{m(1-\frac{1}{p})} \|u(\cdot, t) - M_0 G(\cdot, t)\|_{L^p} = 0,$$
$$\lim_{t \to \infty} t^{m(1-\frac{1}{p})} \|v(\cdot, t) - M_0 G(\cdot, t)\|_{L^p} = 0,$$
其中 $M_0 = \int_{\mathbb{R}^N} u_0(y) dy$，$G(x,t)$ 是热核，且 $p \in (1, \infty]$。

**注 1.1** 我们强调，定理 1.1 和定理 1.2 中建立的非长时间渐近行为仅依赖于给定函数空间中解的正则性，而不要求初始数据的小性。换言之，只要整体解在相应的解类中存在，衰减和收敛估计便自动成立。然而，对于后续整体存在性的证明（定理 1.3），我们只能在初始数据小性的条件下建立结论，对于 $N \ge 2$ 的情况（一维情况除外）。

**定理 1.3** 假设 $N=1,2,3$ 且 $\rho, \xi, \eta > 0$。记
$$\Psi(t) = \|u(\cdot, t)\|_{H^2}^2 + \|v(\cdot, t)\|_{H^2}^2 + \|w(\cdot, t)-1\|_{H^3}^2.$$
则存在 $R = R(\rho, \xi, \eta, N) > 0$ 和 $K = K(\rho, \xi, \eta, N, R) > 0$，使得当 $\Psi(0) < R$，$\|u_0\|_{L^1(\mathbb{R}^N)} < K$ 且 $(1+|x|^2)^{\frac{r}{2}}(u_0, v_0, w_0-1) \in L^2(\mathbb{R}^N)$ 时，模型 (1.4) 存在唯一的整体强解 $(u,v,w)$，满足 $u, v \in \mathcal{X}$，$w-1 \in \mathcal{Y}$，使得
$$\Psi(t) < R, \quad \text{对任意 } t > 0,$$
且
$$\int_0^t (\|u,v,w-1\|_{H^3}^2 + \|u_t, v_t, w_t\|_{L^2}^2) ds \le C\, t + R,$$
其中 $C$ 依赖于 $\rho, \xi, \eta, N, K$。这里
$$\mathcal{X} = \{u \in L^\infty(\mathbb{R}^+; H^2(\mathbb{R}^N) \cap L^1(\mathbb{R}^N)) \cap L^2_{loc}(\mathbb{R}^+; H^3(\mathbb{R}^N));\ u_t \in L^2_{loc}(\mathbb{R}^+; L^2(\mathbb{R}^N));\ (1+|x|^2)^{\frac{r}{2}} u \in L^2_{loc}(\mathbb{R}^+; L^2(\mathbb{R}^N)),\ \text{对某常数 } r \le 1\};$$
$$\mathcal{Y} = \{u \in L^\infty(\mathbb{R}^+; H^3(\mathbb{R}^N)) \cap L^2_{loc}(\mathbb{R}^+; H^3(\mathbb{R}^N));\ u_t \in L^2_{loc}(\mathbb{R}^+; L^2(\mathbb{R}^N));\ (1+|x|^2)^{\frac{r}{2}} u \in L^2_{loc}(\mathbb{R}^+; L^2(\mathbb{R}^N)),\ \text{对某常数 } r \le 1\}.$$

该定理指出，当癌细胞初始质量足够小且基质金属蛋白酶（MDEs）在适当范数意义下足够小时，癌细胞和 MDEs 最终将被完全消耗，仅留下均匀分布在空间中的细胞外基质。

**注 1.2** 事实上，在二维和三维情况下，模型 (1.4) 的解对某些初始值会爆破。例如，当 $w_0 = 0$ 时，抛物-抛物 Keller-Segel 模型在文献 [16]、[17]、[18] 中，对某些初始值在有限时间内发生爆破。因此，本文考虑的小初始值条件是合理的。

**注 1.3** 事实上，在一维情况下，问题不要求初始数据的小性假设。具体而言，通过热半群估计和 $u$ 的质量守恒性质，可以建立 $v$ 及其梯度 $\nabla v$ 的 $L^p$ 估计（$1 \le p < \infty$）。对原模型 (1.4) 施加指数变换 $\rho = u e^{-\xi w}$，并结合不动点理论，可以证明变换后模型的经典解关于时间一致存在。

**长时间动态行为与衰减率估计**

本节提供强解的衰减率估计，最优衰减界通过迭代方法获得。为便于分析，我们首先引入一些基本且关键的引理。第一个是文献 [8] 中已建立的 Gagliardo-Nirenberg 插值不等式。

**引理 2.1** 对函数 $u: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$，有
$$\|D^j u\|_{L^p} \le C \|D^m u\|_{L^r}^\alpha \|u\|_{L^q}^{1-\alpha},$$
其中 $1 \le q, r \le \infty$，$\frac{j}{m} \le \alpha \le 1$，$\frac{1}{p} = \frac{j}{N} + (1-\alpha)\frac{1}{q} + \alpha\left(\frac{1}{r} - \frac{m}{N}\right)$。

文献 [15] 中的第二个引理如下。

**引理 2.2** 设 $b > 0$，$\beta > 0$，$a(t)$ 为非负函数……

**致谢**

金春华部分受到国家自然科学基金（批准号 12271186、12171166）的资助；陆毅部分受到国家自然科学基金（批准号 12371230）的资助。

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