当个人对自身技能负有责任时的社会选择规则

《Journal of Mathematical Economics》：Social choice rules when individuals are responsible for their skills

　　

## 摘要

本文研究的是纳什（1950）讨价还价问题框架下关于可行效用向量集合的社会选择规则。首先，我们识别了选择规则能够被0-1标准化效用向量上的福利排序或函数理性化的充要条件。这些一般性结果对于为具有标准化特征的新型选择规则提供公理基础非常有用。此外，我们证明了在公理层面上，该类选择规则与Kalai和Smorodinsky（1975）提出的经典讨价还价解密切相关。

## 引言

如果个体对其技能或生产力负有责任，那么在评价社会状态或结果时就应该考虑这些因素。当然，这一立场是否合理存在争议，答案取决于所考虑的具体情况。然而，如果我们关注人才差异可以忽略不计且机会均等已经实现的情况，那么能力可以被视为个体付出努力的反映。在这些情况下，在评价社会状态时考虑这些因素是自然的，甚至可能是必要的。

假设有固定数量的资本，两个人Ann和Bob对其进行分配和使用以生产各自的消费物品。假设Ann的生产率显著高于Bob。如果这种技能差异源于天赋差异或其父母收入等因素，那么资本分配应补偿这种劣势，即Bob应获得更多资本（Fleurbaey, 1995）。另一方面，如果他们之间天赋差异非常小且已获得同等提升技能的机会——例如教育——那么我们可以推断Bob付出的努力少于Ann，并得出结论Bob应为其过去的选择负责（Arneson, 1989）。在这个例子中，事后平等对待是不恰当的，因此不希望向Bob分配额外资本以补偿其较低的技能。相反，所选分配方案应反映他们能力上的差异；即Ann应获得比不考虑其能力责任时更多的资本。这个例子激励我们从公理角度探索反映个体能力的良好社会选择准则。

为探索个体对其可实现效用水平负有责任时的良好准则，本文从公理角度研究了依赖可行效用（或收益）向量集合的选择规则，类似于纳什（1950）的讨价还价问题。为简单起见，我们将他们可实现的最高效用水平解释为他们的能力，并刻画了几种考虑个体能力的选择规则。（在上面的例子中，可行收益向量集合由每个人从给定资本分配中可以生产的消费物品推导得出，每个人的能力对应于其拥有对资本独裁权时所能实现的消费水平。）在讨价还价理论文献中，个体可实现的最高效用水平向量被称为"理想点"。因此，从数学上讲，我们研究了一类依赖于理想点的社会选择对应的一般类。

首先，我们通过若干基本性质公理化了可表达为0-1标准化福利排序或函数最大化者的选择规则的一般类。这些刻画结果由两个与规划者如何考虑能力分配的公理以及标准公理（如效率、匿名性和连续性）共同得出。其中一个要求是：只要理想点保持不变，选择在可行集变化时保持不变。该公理可视为阿罗选择公理（Arrow, 1959）或纳什无关替代独立性（IIA）的受限版本。另一个是协变性性质，它要求如果某些个体可实现的效用水平发生变化，那么他们在所选结果中的效用水平应成比例地变化。

通过在一般结果的基础上考虑自然且可接受的公理，我们公理化了一类新的选择规则，可视为三个关键原则的组合：按个体可实现效用水平分配、功利主义和平等主义。一般来说，善意的社会规划者更重视处于劣势的个体，这种程度的强调可以用分配给每个个体的权重来表示。我们的新选择规则可解释为具有对称权重集合$\mathcal{W}$的不平等厌恶型规划者的选择规则。规划者按以下方式评价每个效用向量：首先，她将个体的效用水平用理想点进行标准化；然后，对于每个可能的权重$w \in \mathcal{W}$，她以功利主义方式计算标准化效用水平的加权和；最后，她取最小加权和作为效用向量的评价。由于最后一步给予处于劣势的个体更高权重，它捕捉了社会规划者的平等主义态度。我们称这些为**相对公平选择规则**。

权重集合代表社会规划者对不平等的厌恶程度。当权重集合等于所有可能权重的集合时，对应的相对公平选择规则在将效用水平用理想点标准化后，按最大最小规则（Rawls, 1971）评价结果。我们称这为**相对最大最小选择规则**。该选择规则与Kalai-Smorodinsky（KS）选择规则（Kalai and Smorodinsky, 1975）非常相似，后者在公理讨价还价理论中已被广泛研究：两者都可以被视为最大化同一个目标函数，并且在凸问题中选择相同的结果。唯一的区别在于是否在最优结果之间打破平局：与相对最大最小选择规则不同，KS选择规则只选择与最大可实现效用水平成比例的结果。

另一方面，当权重集合为单点集时，该选择规则变为具有标准化特征的功利主义规则（Bentham, 1780）。它选择用理想点标准化后效用水平总和的最大化者。该选择规则根植于社会选择理论中的相对功利主义概念（例如Dhillon and Mertens, 1999, Karni, 1998, Segal, 2000, Sprumont, 2019），我们称其为**相对功利主义选择规则**。

我们还为这两个极端情况提供了新的公理基础。这些刻画可以通过将我们的一般刻画与社会选择理论中的现有结果相结合简单得出。这突出了第一部分中呈现的一般结果的重要性。此外，我们还讨论了相对公平选择规则类中其他值得注意的选择规则。

最后，我们证明了相对公平选择规则在公理层面上与KS选择规则密切相关。这些选择规则之间的主要差异在于效率和对称性公理。KS选择规则满足我们对相对公平选择规则刻画中的所有公理，除了一个效率公理之外，如果我们弱化该公理并加强对称性公理，则可以获得KS选择规则。此外，我们证明在两人情况下，可以通过放松我们对相对公平选择规则刻画中的效率公理来共同刻画这两种选择规则。

本文结构如下：第2节介绍设定，第3节确定选择规则能够表达为具有若干基本性质的0-1标准化福利排序或函数最大化者的充要条件。第4节提供相对公平选择规则的刻画并讨论若干特殊情况。第5节考察相对公平选择规则与KS选择规则之间的公理关系。第6节讨论我们的框架并回顾相关文献。所有证明均在附录中。

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## 2. 社会选择问题

设$N = \{1, 2, \ldots, n\}$为个体集合，$n \geq 2$。设$X \subset \mathbb{R}^n_+$为可行效用向量集合。我们假设效用增量和水平是人际可比的（我们在第6.1节讨论这一假设）。现状的效用向量为$(0, 0, \ldots, 0)$，记为$\mathbf{0}$。

## 3. 具有标准化的可理性化

选择规则的自然或合理性质（称为公理）已在文献中得到研究。本节介绍基本公理并考察其含义。

我们从效率公理开始。以下两个条件已被广泛研究。

**强帕累托。** 对所有$X \in \mathcal{P}$和$x \in F(X)$，不存在$y \in X$使得$y > x$。

**弱帕累托。** 对所有$X \in \mathcal{P}$和$x \in F(X)$，不存在$y \in X$使得$y \gg x$。

已知几个著名准则（如罗尔斯最大最小选择规则）满足……

## 4. 相对公平选择规则

通过考虑两个额外公理，我们刻画了一类新的选择规则，可视为三个关键原则的组合：按个体可实现效用水平分配、功利主义和平等主义。

第一个是关于共同效用增加的不变性公理。如果所有个体外生地获得相同数量的效用，那么自然地要求所选效用向量也相应增加相同数量。

## 5. 与Kalai-Smorodinsky选择规则的比较

如第4.1.1节所述，相对公平选择规则的一个特殊案例与KS选择规则密切相关，后者是公理讨价还价理论中的主要解概念之一。本节在公理层面上考察KS选择规则与相对公平选择规则之间的关系。

这两种选择规则之间存在两个差异。第一个差异涉及效率：KS选择规则满足弱帕累托但不满足中间帕累托。这意味着……

## 6. 人际可比性

在第2至4节中，我们假设了效用水平和增量的人际可比性。另一方面，许多论文（包括Nash, 1950）隐式假设个体遵循期望效用模型且效用不可人际比较。这一差异在解释公理时非常重要。例如，回顾EIP收缩独立性关注的是$\mathcal{P}_e$中的问题，即具有相同理想点的问题集合。然而，在不可比性下……

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**利益冲突声明：** 作者声明他们没有已知的竞争经济利益或个人关系，这些可能影响本文报告的工作。

Kensei Nakamura