内聚力界面的显式几何优化：力学、敏感性及互锁现象的涌现

《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》：Explicit Geometry Optimization of Cohesive Interfaces: Mechanics, Sensitivities, and the Emergence of Interlocking

　　

# 摘要

界面通常控制着多相结构的刚度、强度和失效行为，但它们通常被视为被动或薄弱环节，而非可主动设计的机械实体。受生物界面几何复杂性和鲁棒性的启发，我们开发了一个显式的、基于力学的内聚力界面几何优化框架，在该框架中，界面本身被视为主设计变量。界面几何通过参数化曲线的切割和缝合操作进行显式表示，独立于分析网格；非线性界面分离行为通过内聚力法则描述。耦合体-界面问题在固定网格上使用扩展有限元方法结合稳健的增量迭代方案求解。为增强界面性能，我们制定了一个抑制沿界面最大有效张开位移的目标函数，并在变分和伴随框架内推导出完全解析的形状灵敏度，一致地考虑了几何演化和非线性界面行为。数值结果表明，优化后的界面稳定演化，自发形成互锁形态，包括串联、并联和多级特征，在各种加载条件下显著减少界面张开并延迟损伤起始。增材制造试样的实验表明，与初始界面和经典仿生界面相比，优化界面表现出显著增强的承载能力和能量耗散。互锁几何的出现为理解复杂生物界面如何形成提供了基于力学的视角。

# 引言

界面在控制多相结构的刚度、强度和失效中起着核心作用。即使组成材料表现出优异的体性能，结构性能往往受到界面脱粘、损伤局部化或沿相界不稳定裂纹扩展的限制（图1(a)）。这种界面主导的失效机制广泛存在于工程科学场景中，包括增材制造多材料系统（Lopes等，2018；Lumpe等，2019）、可拉伸和柔性电子（van der Sluis等，2010；Yang等，2022）、转印和层叠组装工艺（Bian等，2020；Kim等，2010），以及复合材料和生物集成材料。这些例子表明，界面不应仅被视为材料连接的被动副产物，而应作为机械活性组件，其几何形状和本构行为对全局结构响应具有关键影响。

从力学角度看，界面失效主要在内聚力区模型框架内描述，该模型正则化裂纹尖端奇异性并捕捉与损伤起始和演化相关的非线性牵引-分离行为（图1(a)）。经典内聚力公式由Barenblatt（1962）和Dugdale（1960）独立引入，并后来扩展到有限变形、混合模式载荷和动态断裂场景（Camacho和Ortiz，1996；Xu和Needleman，1994）。这些模型已成为分析广泛材料和尺度下界面脱粘和断裂的标准且具有物理基础的框架。

自然界提供了令人信服的力学证据，表明界面几何可以被利用以实现增强结构性能。生物界面（通常称为缝）表现出复杂的几何形态（图1(b-d)），通过互锁和控制变形获得改善的刚度、韧性和损伤容忍度（Chen等，2015；Li等，2011；Rivera等，2020；Saunders等，1999）。三角形、梯形、椭圆形和分层几何已被证明能够重新分布应力、延迟裂纹起始并在载荷下促进稳定能量耗散（Khoshhesab和Li，2018；Li等，2012；Lin等，2014a；Lin等，2014b；Wang等，2021）。这些观察结果激发了广泛的解析、数值和实验研究，旨在理解仿生界面的力学并将选定的几何特征转化为工程系统（Li等，2011；Xing等，2025）。然而，大多数仿生方法依赖于预定义的界面几何和有限数量的可调参数，从而限制了更广阔几何设计空间的探索，并掩盖了几何复杂性的潜在力学驱动因素。

为克服这些局限性，界面感知的结构优化作为系统界面设计的策略应运而生。早期工作专注于多相结构的拓扑优化（Bends?e和Sigmund，1999；Huang和Xie，2009；Wang和Wang，2004）和界面形状优化（Liu等，2016b），假设完美粘合。后续研究引入内聚力区模型来表示非线性界面分离和损伤，使界面行为的描述更加符合经典断裂力学（Hilchenbach和Ramm，2014）。基于水平集的拓扑优化框架结合扩展有限元方法（XFEM）已被开发用于处理具有内聚力或接触行为的演化界面（Behrou等，2017；Lawry和Maute，2015, 2017；Liu和Kang，2018；Liu等，2016a）。最近，基于像素和启发式方法被探索用于在摩擦接触假设下设计互锁界面（Brown等，2023）。虽然这些研究证明了界面中心优化的可行性，但它们仍面临持续的挑战。

首先，现有方法通常缺乏对界面几何的显式和高分辨率控制。基于节点法线的演化方案提供有限的几何自由度，基于像素的描述产生不光滑界面，而水平集表示隐式地依赖于背景网格，使得对局部几何特征的精确控制变得困难。其次，稳定且高效的界面演化仍然具有挑战性。离散设计变量通常需要启发式优化策略，而连续水平集方法依赖于重新初始化和正则化程序，这可能引起非物理界面漂移。第三，也是最关键的，针对非线性内聚力界面的自洽且完全解析的灵敏度分析很少可获得。演化界面几何、位移不连续性和内聚力非线性之间的耦合使得准确灵敏度的推导复杂化，常常破坏优化的鲁棒性和效率。此外，大多数先前的研究专注于优化全局结构指标，如柔度，而非直接针对界面特定的力学性能。

在本工作中，我们通过开发一个显式的、基于力学的内聚力界面几何优化框架来应对这些局限性，在该框架中，界面本身被视为主设计变量（图1）。界面几何通过参数化B样条曲线的切割和缝合操作进行显式表示，独立于分析网格，从而实现光滑演化和精确几何控制。非线性界面行为使用内聚力法则建模，耦合体-界面问题在固定网格上使用XFEM结合稳健的增量迭代方案求解。为增强界面性能，我们制定了一个优化目标，抑制沿界面的最大有效张开位移（图1(e)）。关键的是，在变分和伴随框架内推导出完全解析的形状灵敏度，一致地考虑了几何演化和非线性内聚力响应。

本工作的核心发现是力学驱动的互锁现象出现。具体而言，当目标函数制定为抑制最大有效张开位移时，界面自发演化趋向串联、并联和多级互锁几何，而无需预先规定此类特征。这些结果揭示了互锁界面的力学优势，即通过将变形重定向至界面剪切和体变形来减少内聚力张开。数值算例表明，提出的框架实现了稳定和高效的界面演化，具有不同互锁特征的优化界面在各种加载条件下表现出显著的界面张开减少和损伤起始延迟。使用增材制造试样的实验验证确认，与初始设计和经典仿生界面相比，承载能力和能量耗散有显著改善。虽然受到生物界面的启发，但本框架并未预先规定生物几何；相反，它提供了几何解释，说明复杂界面形态如何仅仅从界面分离抑制中涌现。

本工作的主要贡献有三点。第一，引入了一种独立于分析网格的显式B样条界面几何表示，实现了光滑几何演化和精确局部形状控制。第二，建立了针对非线性内聚力界面的完全解析伴随灵敏度公式，一致地考虑了几何变化和内涵聚力非线性。第三，我们表明，一个制定为抑制最大有效张开位移的界面特定力学目标，会导致串联、并联和多级互锁几何自发涌现，具有增强的界面力学性能。

# 章节摘要

## 界面几何的参数化描述

为实现显式几何描述下的界面优化，本工作采用若干闭合参数曲线，通过在这些曲线上的切割和缝合操作构建多相结构中结构界面的几何。以两相结构为例，界面几何的构建如图2所示。

具体而言，参数曲线采用B样条曲线的形式。经典B样条曲线可表示为：

C(u)=∑(i=0至n) N(i,k)(u) P(i)

## 考虑非线性界面行为的多相结构建模

为更真实地表征多相结构中界面的力学行为，本节引入内凝聚力法则。在此基础上，建立了考虑非线性界面行为的多相问题的变分公式，并采用本工作中使用的耦合指数内凝聚力法则。

## 数值求解方法

为数值求解考虑界面非线性行为的变分方程，需要推导增量形式。考虑界面上的位移不连续性以及后续界面几何演化引起的数值困难，引入扩展有限元方法以在固定网格上有效捕捉界面不连续位移，并建立相应的有限元离散化。

## 优化公式和形状灵敏度分析

本节建立界面几何优化的数学框架，并制定相应的优化问题。优化目标是通过最小化界面的最大有效张开位移来增强给定加载条件下的界面性能。在此基础上，在变分和伴随框架内完全推导了界面性能指标的解析形状灵敏度，为...提供了理论支持。

## 结果与讨论

本节中，为探索提出的界面几何优化框架的有效性，首先对经典界面问题进行数值分析。这些分析旨在检验所开发的考虑界面行为的多相结构建模和求解方法的适用性和准确性。随后，对层压结构进行界面几何优化，该结构作为经典复合结构的代表...

# 结论

在本工作中，我们开发了一个显式的、基于力学的内凝聚力界面几何优化框架，将界面本身视为主动机械实体而非预设边界。通过将界面几何显式表示为独立于分析网格，并将非线性内凝聚力行为与完全解析的灵敏度公式耦合，所提出的方法实现了对内凝聚力法则支配界面的稳定和高效优化。

关键...

# 未引用参考文献

(Barenblatt，1962；Lin等，2014a；Lin等，2014b；Lumpe等，2019)

# CRediT作者贡献声明

**张为声**：写作-审阅与编辑、写作-初稿、方法论、正式分析、概念化。

**赖琦**：写作-初稿、可视化、验证、调查。

**李东**：写作-审阅与编辑、调查、资金获取。

**郭旭**：写作-审阅与编辑、写作-初稿、监督、概念化。

**高华建**：写作-审阅与编辑、写作-初稿、监督、概念化。

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