对一种光学非对称PTFT方案进行密码分析，并利用分数Hermite变换开发出一种具有增强密钥参数的、抗攻击的替代方案

《Optics Communications》：Cryptanalysis of an optical asymmetric PTFT scheme and development of an attack-resistant alternative using fractional Hermite transform with enhanced key parameters

　　摘要
基于秦和彭的算法以及相位截断傅里叶变换的光学非对称密码系统由于变换域中的固有缺陷，被发现容易受到特定攻击。本文提出了一种使用分数赫米特变换（FrHMT）的非对称加密算法，该算法能够抵抗这些特定攻击。所提出的方法将振幅和相位截断技术与FrHMT相结合，其中分数阶数、赫米特多项式阶数和高斯窗口参数作为额外的安全参数。FrHMT使得该方案具有极高的敏感性，因为密文中单个像素的微小偏差都会导致解密完全失败。通过对不同加密参数下方案的敏感性进行了详细分析，证实了其适应多种安全需求的能力。实验结果表明，所提出的算法有效抵抗了已知明文攻击和特定攻击，并保持了较高的计算性能。

引言
安全是可靠通信的关键要求，尤其是在公共网络上，敏感信息容易受到未经授权的访问。近年来，光学密码学因其独特的优势（包括并行处理能力、高维信息处理和适用于高速加密应用）而受到广泛关注[1]、[2]、[3]。这些优势使其在光学通信、图像处理、高级成像和神经网络等多个领域得到应用。第一种光学图像加密技术——双随机相位编码（DRPE）由Refregier和Javidi在1995年提出[4]。随后，探索了多种变换域（包括菲涅尔[5]、旋转变换[6]、[7]、[8]、[9]和分数变换域），以提高光学密码系统的灵活性和安全性。基于分数变换的加密方案（如分数傅里叶变换[10]、[11]、分数哈特利变换[12]、[13]和分数梅林变换[14]、[15]）引入了分数阶数等额外参数，增强了密钥空间并提高了对抗未经授权访问的敏感性。然而，这些方法大多基于对称加密结构，存在密钥分发和密钥管理等问题。此外，基于DRPE的系统由于其对称性，容易受到各种密码攻击（包括已知明文攻击[16]、选择明文攻击[17]、选择密文攻击[18]和仅密文攻击[19]）。为了克服对称密码系统的局限性，秦和彭在2010年引入了相位截断傅里叶变换（PTFT）技术作为非对称光学密码系统[20]。PTFT的非对称特性在密钥管理方面提供了优势，并增强了对抗常规攻击的能力。然而，这类系统的真正非对称性存在争议，因为解密密钥依赖于加密密钥和明文信息[21]。Liu等人[22]后来讨论了这个问题，他们指出光学非对称密码系统的结构要求可能与传统的数字密码系统不同。由于PTFT具有非对称结构和有希望的安全特性，它已被广泛研究并应用于各种光学加密应用[23]、[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]。然而，尽管有这些进展，后续的密码分析研究表明，基于PTFT的方案仍然容易受到高级相位检索攻击。Wang等人[35]证明，一种改进的振幅-相位检索算法可以直接从密文中恢复明文信息和解密密钥。此外，Rajput和Nishchal[36]指出，PTFT方案容易受到已知明文攻击，可以通过修改的Gerchberg–Saxton（G–S）相位检索算法再生解密密钥。这些发现表明，尽管PTFT提供了非对称加密能力，但其安全性可能因底层变换域的脆弱性而受到威胁。因此，需要开发一种替代的非对称光学密码系统，既能保留PTFT的优势，又能提高对抗相位检索攻击的能力。分数变换域特别适合这一目的，因为它们的额外的参数增加了密钥空间和敏感性。在这些变换中，分数赫米特变换（FrHMT）在光学图像加密中的应用相对较少。FrHMT通过分数阶数、赫米特多项式参数和高斯窗口参数提供了额外的自由度，可以作为额外的秘密参数来增强密码安全性。受PTFT非对称结构及其对相位检索攻击的脆弱性的启发，本研究探索了分数赫米特变换域作为增强安全性的替代框架，同时保留非对称光学加密的优势。所提出的方法将相位截断与FrHMT相结合，以克服传统PTFT方案中观察到的脆弱性。额外的FrHMT参数与私钥一起作为秘密参数，扩大了密钥空间，并提高了对未经授权参数变化的高敏感性。据我们所知，之前没有光学密码系统使用分数赫米特变换来解决基于PTFT的非对称加密方案的特定脆弱性问题。本文的结构如下：第2节介绍PTFT方案的密码分析；第3节介绍赫米特多项式和分数赫米特变换的基本概念；第4节描述基于FrHMT的非对称加密方案及其光电实现；第5节展示实验结果、性能评估和对各种攻击的安全性分析；最后，第6节总结本文。

部分内容
**相位截断傅里叶变换技术**
相位截断傅里叶变换（PTFT）技术由秦和彭在2010年提出[20]。输入图像???(??,??)的加密过程如图1(a)所示，数学表达式为???(??,??)=|????{|????{???(??,??)×RPM1?(??,??)}|×RPM2?(??,??)}|，其中RPM1?(??,??)是应用于空间域的第一个随机相位掩模，RPM2?(??,??)是应用于频率域的第二个随机相位掩模，×表示逐像素乘法，???表示傅里叶变换算子。

**赫米特多项式的傅里叶变换**
赫米特多项式?????(??) [37]是一系列由Rodrigues公式定义的正交多项式：?????(??)=(?1)???????2??????3?????(?????2)。另一种定义使用生成函数：??2???????2=∑??=0?????(??)?????！这些多项式满足以下递归关系：????+1?(??)=2???????(??)?2???????1?(??)，初始条件为????(??)=1,????(??)=2??。赫米特多项式具有奇偶对称性，表现为?????(???)=(?1)???????(??)。这一性质表明?????(??)对于偶数??是偶函数，对于奇数??是奇函数。图6展示了所提出方案的流程图和验证结果。

**相关性和讨论**
相关系数（CC）量化了两个数据集之间的线性关系。对于图像加密分析，它衡量原始图像????和解密图像????（大小为??×??）的像素值之间的统计依赖性，定义为CC=∑????=1∑????=1(?????(??,??)?????)?(?????(??,??)?????)√∑????=1∑????=1(?????(??,??)?????)2∑????=1∑????=1(?????(??,??)?????)2，其中?????(??,??)和?????(??,??)表示位置(??,??)的输入图像和解密图像的像素值，????和????表示它们的平均像素值。

**结论**
本文介绍了一种利用分数赫米特变换来增强光学非对称密码PTFT方案安全性的新方法。通过对各种加密参数进行全面的敏感性分析，评估了该方案的性能。额外的FrHMT参数增强了方案的安全性，扩大了密钥空间并提高了对参数变化的高敏感性。