基于径向多轴交错网格模板的弹性波传播时空域有限差分新方法

《Petroleum Science》：Exploiting a novel time-space domain finite-difference method based on a radial multi-axial staggered-grid stencil for elastic-wave propagation

　　

经典交错网格有限差分（C-SFD）方法用于弹性波场外推时可获得高阶空间模拟精度，但时间精度仅二阶，在大时间采样间隔下易出现显著数值频散与不稳定。通过在C-SFD模板中加入辅助网格点构造组合离散算子可明显提升时间精度，但现有时域高阶SFD算子常结构冗余且计算昂贵。为此，为同步提升时间与平面精度且不牺牲计算效率，研究人员发展了新型径向多轴SFD（RMA-SFD）模板，该模板由C-SFD与沿四个径向方向的少量附加节点组成，用于各偏导分量近似。结合平面波假设与线性优化算法，推导出该改进模板的时空域高阶SFD系数。为生成可靠的P波、S波及转换波响应，研究人员将波场分解与所提RMA-SFD结合进行弹性波模拟，对分离后的P、S波场分别采用各自基于频散关系的SFD系数外推。通过频散分析与多个合成算例，将RMA-SFD与C-SFD对比评估，数值结果表明该方法在时、空精度上均优于C-SFD，且因允许更大时间步长而具备满意的计算效率，可作为弹性波成像与反演的有效波场外推工具。

研究背景方面，有限差分（FD）方法因实现简便、计算成本低，被广泛用于地震波模拟、成像与反演中的波场外推。经典交错网格有限差分（C-SFD）可获得任意偶阶空间精度，但时间仅二阶，大时间步长下产生严重时间频散与不稳定。基于泰勒展开（TE）或优化算法的高阶空间系数虽能压制空间频散，仍受限于二阶时间精度。已有时间-空间域高阶方案（如diamond-cross模板）通过增加离轴节点提升时间精度，但节点过多导致浮点运算成本高，尤其在弹性波场景中负担显著。因此，需在保证精度的同时精简模板结构、提升时间精度并容许更大时间步长，这构成了本研究的核心动机。

研究人员提出了一种径向多轴交错网格有限差分（RMA-SFD）模板，由C-SFD轴向节点与四个径向方向上的少量离轴节点构成，用于弹性波方程偏导近似。基于平面波假设导出P、S波时空域频散关系，采用最小二乘（LS）线性优化求解空间系数，时间系数由TE给出。为处理P、S及转换波，研究人员将矢量分解波场分离策略嵌入模拟流程：分离后的P波场用P波频散关系系数外推，S波场用S波系数外推，再合成全波场。该文发表于《Petroleum Science》。

主要关键技术方法包括：设计RMA-SFD模板（轴向+四径向节点）；由平面波代入推导P/S波时空频散关系（式8、9）；以LS优化在kh∈[0,π]区间匹配频散关系求空间系数，时间系数取TE解析解；引入各向同性介质中矢量分解（vector decomposition）实现P/S波场解耦，分别用对应系数外推后重组。合成模型采用均匀弹性模型与弹性Marmousi模型（500×350网格，h=10 m，Vp/Vs=1.65，ρ常数），震源为Ricker子波，边界用完美匹配层（PML）。

研究结果部分，第2节理论与方法指出RMA-SFD通过少量径向节点将时间精度由二阶提至高阶（N控制），空间仍由M控制偶阶精度；P/S波系数分别由各自Courant数（α_P=V_Pτ/h，α_S=V_Sτ/h）下的频散关系优化获得，表1、表2给出L=1,2,4时实例系数。第3节频散误差分析显示，在相同τ下C-SFD的P/S波相速度误差面远离零面，RMA-SFD（L≥1）误差面贴近零，且L增大有效波数范围拓宽；用P波系数算S波或用S波系数算P波均出现另一分量强频散，证实须分波外推。第4节弹性波模拟流程表明，矢量分解后P波方程（式29）用P系数、S波应力方程（式30）用S系数同步外推，式28合成速度场，循环至最大记录时间。第5节数值算例：均匀模型（800×800，h=10 m，fp=24 Hz）中C-SFD在τ=1.8 ms即见频散，τ=2.0 ms失稳；RMA-SFD L=1（τ=1.8 ms）无可见频散，L=4（τ=2.0 ms）仍稳定，固定2.0 s记录下RMA-SFD L=1耗时74.86 s低于C-SFD τ=1.2 ms的105.92 s；Marmousi模型中参考解（M=24,τ=0.6 ms）对比显示C-SFD（M=8,τ=1 ms）严重频散，RMA-SFD（M=8,L=2,τ=1.25 ms）精度接近参考且C-SFD在τ=1.25 ms失稳而RMA-SFD稳定。

讨论部分指出：RMA-SFD相较diamond-cross模板大幅减少离轴节点，在保精度下降低运算量；矢量分解在平滑各向同性介质高效，但强速度对比或尖界面下解耦振幅相位可靠性下降，未来可引入波数域分离；当前用PML处理截断边界，表面波场景可换自由表面条件；2D框架可自然扩至3D（增径向/对角节点），各向异性介质需重推频散关系与系数。结论部分翻译如下：研究人员发展了结合经典SFD与四径向节点的时空高阶RMA-SFD弹性波模拟方法，基于改进模板导出P/S波频散关系并以LS优化求系数；通过P/S分解并分别用各自系数外推，频散分析与合成算例证实RMA-SFD在时域精度与传播稳定性上优于C-SFD，且因允大时间步与较短空间算子而提升计算效率，可作为弹性波成像与反演的有效波场延拓工具。