一维 Blume–Capel 模型中非广延性的信息几何特征

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Information-geometric signatures from nonextensivity in the 1-D Blume–Capel model

　　

摘要 我们在Tsallis非广延框架下研究一维Blume-Capel模型的热力学几何，以理解广义统计如何修改关联结构和伪临界行为。利用转移矩阵方法，我们基于Tsallis熵构建热力学度量，将其作为参数空间(??,??)上负定的海森矩阵，其中晶场各向异性??作为控制参数，并计算相应的标量曲率???(??)作为关联的度量。尽管在一维情况下不存在真正的相变，但???(??)表现出有限峰，标志着伪临界交叉。我们分析了????两种情形，并表明偏离玻尔兹曼-吉布斯极限（??=1）系统地变形了曲率轮廓：对于??>1，峰发生移动且关联在交叉之后仍然持续，而对于??<1，峰被削弱或抑制。我们进一步将标量曲率与比热容进行比较，发现曲率极值对应的温度与比热产生突变波动时的温度有显著重叠，证明了几何特征始终能够识别伪临界交叉。我们的结果表明，Tsallis参数??在几何上重塑了熵面，为非广延效应提供了清晰的信息几何解释，特别是在自旋-1系统中。引言 热力学几何方法提供了一个深刻而统一的框架，通过定义在热力学状态流形上的黎曼结构来描述平衡热力学。这一形式最初由Frank Weinhold [1]引入，并由George Ruppeiner [2], [3]进一步发展。该形式将度量张量与平衡参数空间相关联，其中标量曲率??编码了关于底层微观关联的信息。在这种几何图像中，曲率为零对应于非相互作用系统，而大或发散的曲率则标志着强关联和临界行为。多年来，热力学几何已成为多种情境中的强大诊断工具，包括磁性系统 [4]、量子气体 [5]、黑洞 [6], [7], [8] 以及凝聚态或自旋晶格模型 [9], [10]。在晶格自旋系统中，Blume-Capel (BC)模型 [11], [12] 作为一个Ising模型的自然推广而占据特殊地位。与自旋-1/2的Ising系统不同，Blume-Capel模型在磁性态????=±1之外，还包含一个额外的自旋态????=0，代表非磁性或空位构型。单离子各向异性参数??的引入引入了磁性有序与空位形成之间的竞争，丰富了模型的热力学结构。在更高维度中，这种竞争导致三临界行为和一级相变，使Blume-Capel模型成为研究多重临界现象的典型系统 [13], [14], [15], [16]。即使在有限温度下不会发生真正热力学相变的一维情况下，该模型在??/??的特定范围内也表现出尖锐的交叉和伪临界行为 [17]。这些特征通过响应函数和关联长度的显著变化表现出来。从几何角度来看，这种伪临界效应反映在热力学标量曲率???(??)的峰中，后者测量有效关联体积 [3], [18]。通过转移矩阵方法对一维情况进行解析处理的可行性，使其成为探索统计结构的修改如何影响热力学几何的理想实验室 [9]。除了作为一个解析上可处理的理论模型之外，Blume-Capel框架也是更广泛的低维磁性系统类的一部分，这些系统因其丰富的临界和量子特性而继续吸引相当大的研究兴趣。最近，人们已投入大量注意力探索低维磁性架构的丰富相拓扑和临界行为。例如，量子重整化群方法已被成功用于绘制各向异性XXZ Heisenberg自旋链中的量子相变和标度行为 [19]。同时，对二维单层结构的研究，如Blume-Capel模型下的??36硼烯类系统，突出了横向晶场如何诱导量子无序并改变临界跃迁路径 [20]。此外，混合自旋双层框架，如石墨烯结构，已成为纳米尺度磁设备的理想候选者。最近的蒙特卡洛模拟表明，通过调节这些系统中的交换相互作用和晶场参数，可以获得复杂的、多环路的磁滞回线行为，对热涨落高度敏感 [21]。除了传统的玻尔兹曼-吉布斯框架之外，广义熵形式化方法在研究具有长程相互作用、分形相空间结构或记忆效应的复杂系统时引起了广泛关注 [22], [23], [24], [25], [26]。特别是，由Tsallis提出的熵引入了一个变形参数??，用于控制对广延性的偏离 [27]。当??→1时，恢复标准的玻尔兹曼-吉布斯熵，而当??≠1时，微观态的统计权重被修改，有效地根据偏离方向增强或抑制稀有构型。这种非广延框架已成功应用于引力聚集、湍流、异常扩散和强关联系统 [22], [25]。Tsallis熵的简要概述如下：Tsallis熵：由Constantino Tsallis于1988年提出，Tsallis熵 [27] 是玻尔兹曼-吉布斯熵的推广，旨在描述在标准加性熵可能失效的条件下表现出长程相互作用、记忆效应或多分形结构的系统。其定义为 ????=1?∑???????????1，其中??是熵指数，用于衡量非广延程度。当??→1时，Tsallis熵恢复为通常的玻尔兹曼-吉布斯形式。当??>1时，稀有事件，即低概率态，被抑制，而当??<1时，它们被增强。这使得该熵适用于对多种物理系统的建模，如湍流、引力聚集、异常扩散和强关联系统 [22], [23], [24], [25], [26]。其非加性使其特别适用于子系统中关联显著的复杂系统。这里，指数??修改了熵对各种概率值的敏感性。当??>1时，较高的概率被有效地强调，因为将????≤1提升到高于一幂次会抑制较小的概率比抑制较大的概率更强烈。因此，稀有事件的贡献较少，熵对主导（主要）事件更加敏感。相反，当??<1时，较小的概率被相对增强，因为??????在??<1时增加了稀有事件的权重，与标准情况相比。因此，熵对分布的尾部更加敏感，有利于涨落和不常见的构型。在极限??→1下，恢复通常的玻尔兹曼-吉布斯熵，如下所示：Tsallis熵表示为：????=1?∑???????????1。我们将∑????????重写为∑????????(???1)?ln?????。对于??→1，我们有(???1)?1。因此，使用泰勒展开，??(???1)?ln?????=1+(???1)?ln?????。将方程(2)代入方程(1)，得到∑????????=∑???????(1+(???1)?ln?????)=∑??????+(???1)?∑???????ln?????。因此，????=1?∑??(????+(???1)??????ln?????)???1。由于∑??????=1，我们得到????=1?1?(???1)?∑???????ln????????1=?∑???????ln?????。因此，lim??→1?????=???????=?∑???????ln?????。因此，在极限??→1下，Tsallis熵????简化为通常的玻尔兹曼-吉布斯熵，如下所示：??=???????=?∑???????ln?????。当采用广义熵时，热力学势和响应函数获得修改后的函数形式，因此熵面的几何被改变。由于热力学度量定义为熵关于其参数的负海森矩阵，熵的任何变形都会直接重塑底层的几何流形。因此，标量曲率作为非广延性如何修改关联强度、稳定性质和伪临界结构的敏感探针。在本工作中使用Tsallis熵不应被解释为暗示一维Blume-Capel模型本质上需要非广延统计描述。事实上，常规模型是一个短程相互作用的系统，可以在玻尔兹曼-吉布斯框架内精确求解。相反，我们的目标是利用Blume-Capel模型作为一个受控且解析可处理的设置，系统地研究广义熵对热力学几何的后果。由于热力学度量直接通过海森结构从熵构建，用Tsallis熵替换玻尔兹曼-吉布斯熵自然地形变了底层的热力学流形。标量曲率中由此产生的变化因此提供了非广延统计权重如何修改熵面中编码的关联结构的直接几何度量。从更广泛的视角来看，Tsallis统计已成功作为一种有效框架，用于描述表现出偏离常规广延热力学假设的系统，包括长程相互作用、记忆效应、多分形结构和非遍历动力学。在本研究中，非广延参数??被视为一个有效的变形参数，用于量化与玻尔兹曼-吉布斯极限的偏离，而不是特定实验实现中固定的材料性质。因此，引入??的目的是探索广义统计权重如何影响关联和伪临界行为的几何指标。由于精确可解性和良好理解的热力学性质，一维Blume-Capel模型提供了一个理想的基准系统，用于隔离和理解这些纯粹由熵引起的几何效应。在此框架内，本工作旨在理解Tsallis变形参数如何重塑一维Blume-Capel模型的热力学状态空间几何，并修改与伪临界交叉行为相关的标量曲率特征。我们在此使用转移矩阵方法分析该模型，这是一种成熟的技术，已在许多情况下被使用。例如，转移矩阵方法已被有效用于推导一维晶格架构中自由能、熵和内能的精确表达式，如1D混合型Potts-SOS模型 [28]，其中稳定性分析揭示了磁化率的内在衰减至零和缺乏相变。相反，当转向分层或分形网络，如半无限Cayley树 [29] 时，提取统计和热力学曲线（例如，在混合自旋(2,1/2)Ising和Blume-Capel系统中）通常需要递归方法、空腔方法和转移矩阵公式的组合。虽然树状结构由于其高配位连接性而在铁磁和反铁磁领域频繁表现出丰富的相变现象，但通过转移矩阵严格评估的真正一维链表现出不同的、连续的热力学行为而无相界。纳入这些双重视角允许对我们模型的低维约束进行更稳健的验证。本工作的目标不仅仅是重新审视一维Blume-Capel模型的热力学几何，而是研究Tsallis非广延熵如何变形系统的热力学状态空间几何。特别是，我们分析非广延参数??如何修改热力学标量曲率的符号、大小、持续性和温度位置。我们进一步在交换主导（????）区域下研究这些效应，并调查其对系统尺寸的影响。据我们所知，此前尚未报告过在Tsallis框架下对一维Blume-Capel模型进行系统的信息几何分析。本工作的新颖性在于将1-D Blume-Capel模型的信息几何分析扩展到Tsallis非广延统计框架，我们的贡献主要包括以下几个方面：1.引入非广延热力学几何：我们从Tsallis熵的海森矩阵而非传统的玻尔兹曼-吉布斯熵构建热力学度量。这产生了一个变形后的热力学流形，其几何性质显式地依赖于非广延参数??。2.研究非广延性如何修改几何关联：我们不仅重现了Blume-Capel模型已知的几何特征，还研究了Tsallis参数??如何改变标量曲率轮廓???(??)，包括曲率峰的峰值位置、大小、符号和持续性的变化。这些修改为广义统计权重如何影响热力学关联提供了新的见解。3.Tsallis变形的信息几何解释：我们的分析表明，非广延参数作为一个几何变形参数，重塑了熵面，因此修改了标量曲率中编码的底层关联结构。这为自旋-1晶格系统中的非广延效应提供了直接的几何特征化。4.比较磁主导和晶场主导区域：通过分别分析????的情况，我们表明非广延性的影响强烈依赖于系统的优势微观构型。由此产生的曲率行为揭示了在常规的??=1描述中不存在的独特几何响应。5.广义熵框架内的有限尺寸几何分析：我们进一步研究了曲率轮廓在Tsallis统计下如何随系统尺寸演变，为有限尺寸效应与非广延统计权重之间的相互作用提供了见解。在本工作中，我们在Tsallis非广延框架下研究一维Blume-Capel模型，使用在参数空间(??,??)上定义的基于熵的热力学度量，其中晶场??作为控制参数。通过构建度量张量 ???????=??????????????(??,??)，并计算相应的标量曲率???(??)，我们分析了变形参数??如何修改曲率-温度轮廓以及伪临界峰的峰值位置和大小。

除了几何分析之外，我们还将热力学标量曲率与在相同Tsallis熵框架下计算出的比热容进行了比较，以确立该曲率极值对应于信息几何度量的物理上有意义的赝临界交叉。我们的目标是为自旋-1系统中的非广延效应提供几何解释，并阐明在广义统计下交换相互作用与单离子各向异性的相互作用如何被重塑。本文余下部分组织如下。第2节介绍一维Blume–Capel模型，并将其与Tsallis熵框架相结合。第3节推导度量结构及其Tsallis推广。第4节致力于非广延一维Blume–Capel模型的热力学几何分析。第5节对所得结果进行讨论。第6节以简短的总结结束全文。节选段落

一维Blume–Capel模型

Melvin Blume关于UO?一级磁相变理论的工作[11]，标志了后来被称为Blume–Capel模型的模型的诞生。该模型的提出源于需要解释UO?中实验观测到的一级反铁磁转变，而这种转变无法用仅包含双线性交换相互作用的传统Heisenberg模型令人满意地加以说明。Blume提出了一种简单而深刻的机制：铀离子具有非磁性

动机与概念基础

热力学几何提供了一种强有力的形式体系，它将宏观热力学行为与熵或能面上的微分几何联系起来。这一思想源于Weinhold [1]以及Ruppeiner [2], [3]的工作，他们独立地提出了热力学状态空间上的黎曼度量。在这一方法中，平衡流形被赋予一个度量，其曲率编码了微观自由度之间热力学关联的强度和性质

Tsallis熵的修正

将式(13)与式(18)结合，我们写出Tsallis修正Blume–Capel模型在(β, J)坐标下的热力学度量：g_ij = -?2S_q(β, J)/?x_i?x_j，其中x_i = (β, J)，S_q(β, J)由式(13)给出。从模型的转移矩阵表述出发，获得了配分函数，随后用于构建Tsallis熵，该熵显式依赖于逆温度β和相互作用强度J，晶场各向异性参数为D

结果与讨论

在本节中，我们在Tsallis熵形式体系下分析一维Blume–Capel模型的热力学标量曲率R(T)的温度依赖性。标量曲率由热力学度量计算得出，该度量定义为广义熵关于热力学参数(β, J)的负Hessian矩阵。由于一维Blume–Capel模型在有限温度下不表现出真正的相变，R(T)中峰的出现

结论

在本工作中，我们通过引入Tsallis非广延熵，将一维Blume–Capel模型的热力学几何分析扩展到常规Boltzmann–Gibbs框架之外。所得的热力学度量和标量曲率显式依赖于非广延参数q，使我们能够研究广义统计权重如何修改热力学状态空间的几何结构。通过构建基于熵的热力学

CRediT作者贡献声明

Amijit Bhattacharjee：撰写——原始草稿、可视化、软件、方法论、调查、正式分析。Himanshu Bora：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、正式分析。Prabwal Phukon：撰写——审阅与编辑、验证、监督、概念化。

利益冲突声明

作者声明他们没有任何已知的竞争性经济利益或个人关系，这些可能影响到本文所报告的工作。

致谢

作者感谢Bidyut Hazarika和Mozib-Bin-Awal在本工作过程中提供的帮助。

Amijit Bhattacharjee | Himanshu Bora | Prabwal Phukon
阿萨姆邦迪布鲁加尔大学物理系，印度迪布鲁加尔，邮编786004