欧拉-海森堡非线性电动力学中瞬态动态虫洞的首次全面分析

《Physics of the Dark Universe》：First Comprehensive Analysis of Transient Dynamical Wormholes within Euler-Heisenberg Nonlinear Electrodynamics

　　

## 摘要

我们构建并全面分析了一类时间依赖的可穿越虫洞，其演化直接由一个磁荷指数弛豫趋向非零残余值所驱动，该磁荷产生一个欧拉-海森堡（EH）非线性电动力学（NED）场，而非由外部规定的通量剖面驱动。允许有效磁荷随时间弛豫，q(t) = q? + q?e???，我们表明相关联的形状函数 b(r, t) 由 EH 应力-能量张量与喉部正则化常数共同唯一确定，并且其时间导数通过非对角爱因斯坦方程驱动径向能量通量。我们给出了场方程的完整直接推导，验证了喉部条件、外翻条件和渐近平坦条件，并检验了零能条件、弱能条件、强能条件和支配能条件。除了这些标准检验之外，我们首次为该模型计算了在连续时刻下的嵌入图和固有径向距离；静态和径向运动观察者所感受到的精确的、boost不变的径向潮汐曲率，该曲率在通量衰减时趋于零，而在严格静态的零潮汐力虫洞中本不存在；Herrera复杂度因子；主动引力（Tolman）质量，我们证明其在考虑精确的横向压力后系统性地比准静态仅通量估计大150–185%，尽管两者均在通量关闭时趋于零；以及沿径向零测地线的平均零能条件（ANEC）积分。所诱导的几何在此考虑的指数衰减荷扰动族中，只要扰动衰减率为正，就是稳定的，且体积积分表明总奇异物质含量在晚期趋于常数。我们还量化了准静态近似的精度、截断EH拉格朗日量的弱场有效区域，以及光子球和引力波回波估计背后的时间尺度分离。我们从放电的磁荷零流体的角度讨论了时间依赖荷的物理起源，其精神类似于推广到非线性EH领域的Bonnor-Vaidya型辐射解，并将该荷剖面鉴定为与场方程一致的现象学输入，而非从更基本的因果动力学推导出的第一性原理结果。

**关键词**：动态虫洞；欧拉-海森堡非线性电动力学；能条件；光子球；回波时延。

## 引言

可穿越虫洞是爱因斯坦场方程的无视界解，连接两个原本不相交的时空区域。Morris 和 Thorne [1] 首先将其置于严格的数学基础上，作为教授广义相对论的教学工具，并几乎立即表明喉部处需要违反零能条件（NEC）[2]：因此，任何由经典广义相对论支撑的可穿越虫洞都不可避免地需要某种形式的奇异物质。随后三十年的工作，在 Visser 的专著 [3] 及众多后续综述中有所总结，确立了典型虫洞喉部的几何结构 [4]、能条件违反可以被最小化或局部化的程度 [5]，以及非静态（演化）喉部的动力学及其相关联的能条件 [6], [7]。人们投入了大量精力来识别具有物理动机的物质源——标量场、修正引力扇区或非线性电动力学——这些源可以支撑虫洞喉部，同时最小化或澄清该违反的起源。

非线性电动力学（NED）是一个特别自然的候选者，因为它由真正的规范场而非任意的人造各向异性流体所驱动，而且已知若干 NED 拉格朗日量可以正则化黑洞奇点并支撑无界面的类虫洞构型 [8], [9]。其中，欧拉-海森堡（EH）有效拉格朗日量，通过对单圈量子电动力学（QED）的电子圈进行积分得到 [10]，具有特殊地位：与一般的 NED 模型不同，其系数原则上可由精细结构常数计算得出，从而赋予其直接的物理基础。由 EH 拉格朗日量驱动的黑洞和致密星解已被广泛研究 [11], [12], [13]，包括本文作者最近关于 EH 修正的带电致密夸克星 [14] 以及爱因斯坦-欧拉-海森堡虫洞透镜印记的工作。

迄今为止研究的大多数 NED 支撑的虫洞解都是静态的。相比之下，动态虫洞几何有着悠久的历史，植根于 Vaidya 辐射解及其带电的 Bonnor-Vaidya 推广 [15]，以及 Hayward 的观测，即开启或关闭反向传播的零辐射通量可以将虫洞几何驱动至或离开静态（类 Schwarzschild）构型 [16]。Lobo、Olmo 和 Rubiera-Garcia 后来在广义相对论的推广框架内构建了一个由带电零流体完全驱动的动力学虫洞，在该模型中，当通量活跃时几何经历 Vaidya 型区域，一旦通量关闭便趋于静态虫洞 [17]。基于最近提出的针对规定的外部强加径向能量通量的通量驱动机制，我们在此考虑电磁源的特殊情形：我们不直接人为规定通量剖面，而是让 EH-NED 场的磁荷随时间指数弛豫趋向非零残余值，一旦指定该荷剖面，便从场方程直接且唯一地推导出的形状函数、能量含量和径向通量。因此，径向通量不再独立于物质扇区被规定，尽管荷剖面本身仍然是现象学输入而非第一性原理的结果，如下文详细讨论。

本文在我们此前对该模型的讨论基础上，在三个方面进行了实质性扩展。首先，我们给出了动力学场方程的完整、未删节推导——Christoffel 符号、Ricci 张量、Ricci 标量和精确的爱因斯坦张量——而非引用准静态结果。其次，我们将所得几何置于现代虫洞文献中更为广泛的诊断工具下检验：嵌入图和固有径向距离、静态和径向运动观察者所感受到的精确（boost 不变）潮汐曲率、Herrera 复杂度因子 [18]、主动引力（Tolman）质量，以及沿径向零测地线的平均零能条件，此外还包括喉部/外翻/渐近平坦检验、逐点能条件、线性稳定性和奇异物质体积积分。第三，所有图形均以固定时刻的径向截面形式呈现，使用常规坐标轴（物理量绘制在每个面板左侧的纵轴上），此外还有关于 (r, t) 的三维曲面。

本文其余部分组织如下。第 2 节给出时间依赖度规，推导精确的动力学场方程，并得出由弛豫的欧拉-海森堡荷诱导的形状函数。第 3 节验证喉部、外翻和渐近平坦条件，第 4 节证明 Kretschmann 标量在整个演化过程中的有界性。第 5 节检验零能条件、弱能条件、强能条件和支配能条件，第 6 节将所得的 NEC 违反通过 Raychaudhuri 方程重新表述为零射线发散。第 7 节和第 8 节构建嵌入图、固有径向距离，以及静态和运动观察者所感受到的精确、boost 不变的潮汐曲率，并对相关曲率量的喉部极限进行显式检验，相应的穿越时间和潮汐安全界限在第 9 节给出。第 10 节分析光子有效势和瞬时光子球型极值，第 11 节据此估计相关的引力波回波时延及其随荷弛豫的漂移。第 12 节计算 Herrera 复杂度因子，第 13 节计算主动引力（Tolman）质量和平均零能条件。第 14 节构建喉部对应的薄膜实现。第 15 节和第 16 节建立晚期静态 EH-NED 虫洞的恢复以及构型对荷扰动的线性稳定性，第 17 节量化总奇异物质含量。第 18 节讨论时间依赖荷的物理起源，第 19 节验证闭合类时曲线的不存在性，第 20 节得出结论。

## 章节片段

### 时间依赖几何与场方程

我们采用零潮汐力的时间依赖 Morris-Thorne 线元，在几何化单位 G = c = 1 下：

$$ds^2 = -dt^2 + \frac{dr^2}{1 - b(r,t)/r} + r^2\left(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\varphi^2\right),$$

其中 $(x^0, x^1, x^2, x^3) = (t, r, \theta, \varphi)$。度规及其逆为：

$$g_{\mu\nu} = \text{diag}\left(-1,\, \frac{1}{1 - b(r,t)/r},\, r^2,\, r^2\sin^2\theta\right),$$
$$g^{\mu\nu} = \text{diag}\left(-1,\, 1 - b(r,t)/r,\, \frac{1}{r^2},\, \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\right).$$

下文所有度规势和物质量均写为 $(r, t)$ 的显式函数，偏导数记为 $\partial_r F(r,t) \equiv \partial F(r,t)/\partial r\big|_t$ 和 $\partial_t F(r,t) \equiv \partial F(r,t)/\partial t\big|_r$（二阶导数记为 $\partial_r^2$, $\partial_t^2$）；一个……

### 虫洞条件

在每一个时刻 $t$，方程 (16) 按构造满足喉部条件 $b(r_0, t) = r_0$；在 $r = r_0$ 附近满足外翻条件 $b(r, t) - r\,\partial_r b(r, t) > 0$，因为对于此处使用的参数，$\partial_r b(r_0, t) = -q(t)^2/(2r_0^2) + a\,q(t)^4/(4r_0^6) < 1$；以及渐近平坦条件，在固定 $t$ 下当 $r \to \infty$ 时 $b(r, t)/r \to 0$，因为 $b(r, t)$ 趋向有限常数 $r_0 - q(t)^2/(2r_0) + a_0^2 q(t)^4/r_0^5$。因此方程 (16) 在每一个 $t \geq 0$ 定义了一个真正的可穿越虫洞，在 $t \to \infty$（此时 $q(t) \to q_0$）时退化为静态的 EH-NED 支撑虫洞。

### 曲率正则性：Kretschmann 标量

为了确认动力学几何在每一个时刻均无曲率奇点，我们直接从方程 (1) 的度规的黎曼张量计算 Kretschmann 标量 $K(r,t) = R_{\mu\nu\rho\sigma}(r,t)\,R^{\mu\nu\rho\sigma}(r,t)$：

$$K(r,t) = \frac{1}{4r^6(r - b(r,t))^4}\Big\{r^6\big[2(r - b(r,t))\,\partial_t^2 b(r,t) + 3(\partial_t b(r,t))^2\big]^2 - 16r^3(r - b(r,t))^3(\partial_t b(r,t))^2 + 8(r - b(r,t))^4\big[(r\,\partial_r b(r,t) - b(r,t))^2 + 2b(r,t)^2\big]\Big\}.$$

方程 (19) 对所有的 $r > r_0$ 和所有的 $t$ 显然有限，因为由外翻条件在整个外部区域中 $r - b(r,t) > 0$；喉部 $r = r_0$……

### 能条件

对于具有径向热流型通量的不完美流体，逐点能条件最直接的表述是张量不等式，然后再专门化到我们的对角加通量 $T^\nu{}_\mu$。NEC 要求对每一个零向量 $k^\mu$ 有 $T_{\mu\nu}\,k^\mu k^\nu \geq 0$；选取全文使用的径向零向量 $k^\mu = (1, \pm 1, 0, 0)$ 直接给出 $T_{\mu\nu}\,k^\mu k^\nu = \rho + p_r \mp 2\Theta_{\text{flux}}$（与下文 Raychaudhuri 和 ANEC 分析中相同的组合），而纯角向零方向给出 $\rho + p_t \geq 0$ 且无通量项……

### Raychaudhuri 方程与零射线聚焦

上述发现的能条件违反通过 Raychaudhuri 方程具有直接的几何意义。对于仿射参数化的径向零测地线丛，切向量为 $k^\mu$（超曲面正交的，因此旋转 $\omega^2 = 0$，由球对称性无剪切 $\sigma^2 = 0$），膨胀 $\theta$ 满足：

$$\frac{d\theta}{d\lambda} = -\frac{\theta^2}{2} - R_{\mu\nu}(r,t)\,k^\mu k^\nu.$$

利用爱因斯坦方程，对出射/入射径向零射线，

$$R_{\mu\nu}\,k^\mu k^\nu = 8\pi\,T_{\mu\nu}\,k^\mu k^\nu = 8\pi\big[\rho(r,t) + p_r(r,t) \mp 2\Theta_{\text{flux}}(r,t)\big],$$

与方程中 ANEC 积分所涉及的组合相同……

### 嵌入图与固有径向距离

方程 (1) 在常数 $t$、赤道面上的空间几何可以通过 $z(r, t)$ 嵌入到三维欧几里得空间中，满足：

$$\frac{\partial z(r,t)}{\partial r} = \pm\left[\frac{r}{b(r,t) - 1}\right]^{-1/2},$$

这将 Flamm 抛物面推广到了时间依赖的形状函数。从喉部出发的固有径向距离为：

$$\ell(r,t) = \int_{r_0}^{r} \frac{d\tilde{r}}{\sqrt{1 - b(\tilde{r},t)/\tilde{r}}} \geq 0,$$

对所有 $r$ 均有限，确认了在每个时刻喉部都可以在有限固有距离内穿越。图 7 显示了嵌入图和在连续时刻的固有径向距离……

### 潮汐力

对于在半径 $r$ 处以径向速度 $v$ 运动的旅行者（由当地静态观察者测量），控制径向测地偏离的潮汐曲率可通过将黎曼张量投影到 Lorentz boost 正交标架 $\hat{e}'_{\,0} = \gamma(\hat{e}_t + v\,\hat{e}_r)$、$\hat{e}'_{\,1} = \gamma(v\,\hat{e}_t + \hat{e}_r)$、$\gamma = (1 - v^2)^{-1/2}$ 得到。直接计算给出：

$$R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}(r,t) \equiv R_{\hat{0}'\hat{1}'\hat{0}'\hat{1}'}(r,t) = -\frac{\partial_t^2 b(r,t)}{2(r - b(r,t))} - \frac{3(\partial_t b(r,t))^2}{4(r - b(r,t))^2},$$

与 $v$ 无关：boost 平面内的径向潮汐曲率在 boost 下不变……

### 可穿越性：穿越时间与潮汐安全

根据 Morris 和 Thorne 最初的安全标准 [1]，虫洞只有满足以下两个条件才能被人观察者物理上穿越：(i) 固有穿越时间合理地短，以及 (ii) 在整个旅行者身体上经历的潮汐加速度保持在近似地球重力界限以下。对于以（近似恒定的亚相对论）坐标速度 $v$ 从喉部一侧的 $r = R$ 穿越到另一侧 $r = R$ 的旅行者，固有穿越时间为：

$$\Delta\tau(t) \approx \frac{2\,\ell(R,t)}{v},$$

其中 $\ell(R, t)$ 为……

### 光子有效势与光子球

对于限制在赤道面上的零测地线，守恒能量 $E = \dot{t}$ 和角动量 $L = r^2\dot{\varphi}$（其中 $\Phi = 0$ 始终成立）给出：

$$\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2 = E^2 - L^2\,V_{\text{eff}}(r,t),$$

$$V_{\text{eff}}(r,t) \equiv \frac{1}{r^2}\left(1 - \frac{b(r,t)}{r}\right),$$

在每个时刻 $t$（将 $b(r,t)$ 视为在轨道光穿越时间内冻结，即与全文使用的相同的准静态近似）。在每个这样的冻结时刻切片上，存在瞬时光子球型极值，其中 $\partial_r V_{\text{eff}}(r,t) = 0$；数值求解我们的参数给出光子球位于 $r$……

### 引力波回波

无视界奇异致密天体通常在扰动或并合之后的即时铃宕之外产生独特的引力波特征：一串重复的"回波"，由扰动在光环势垒和天体反射性内部之间的部分反射引起，其间隔由陷获区域的光穿越时间设定的特征时延确定 [19], [20], [21]。由于我们的虫洞没有视界且存在真正的喉部……

### 复杂度因子

Herrera 为静态球对称自引力流体给出的结构标量复杂度因子 [18] 在此推广为：

$$Y_{\text{TF}}(r,t) = p_r(r,t) - p_t(r,t) - \frac{1}{2r^3}\int_{r_0}^{r} \tilde{r}^3\,\partial_{\tilde{r}}\rho(\tilde{r},t)\,d\tilde{r},$$

下取喉部 $r_0$ 而非常规中心作为积分下限，这与虫洞几何的情况相适应。

Herrera的原始构造通过里奇张量在静态球对称流体中的正交分解来定义复性因子，其中YTF作为活跃引力质量等少数量的一个出现。活跃引力（Tolman）质量在半径R以内为MT(R,t)=4π∫r0R[ρ(r,t)+pr(r,t)+2pt(r,t)]×(1?b(r,t)/r)?1/2r2dr。将等式(12)中的精确ρ(r,t)和pr(r,t)与等式(14)中的准静态pt代入，得到代数恒等式ρ+pr+2pt|quasi-static=?rb8πr2?b8πr3+2·b?r?rb16πr3≡0，与b(r,t)的具体形式无关：在准静态近似下，任何零潮汐力虫洞的局域活跃质量密度恒为零，因此主导的薄壳实现和面密度一种获得相同喉部物理的互补替代方案是通过标准的剪切粘贴（Darmois–Israel）构造：将两个外部区域r≥a>r0的副本在半径为a的壳层处粘合，将所有奇异性内容集中在壳层上而非分布在整个体中[25]。我们在开头明确指出此构造的精确范围：它是一项冻结背景计算，与第10节中光子球的处理方式相同，而非晚期行为当t→∞时，q(t)→q0且q˙(t)→0呈指数衰减，因此等式(16)中的b(r,t)趋于具有残余电荷q0的静态EH-NED形状函数，且Θflux(r,t)→0。几何体趋于稳定的、由EH-NED支撑的可穿越虫洞，径向潮汐曲率为零（等式(23)），活跃引力质量为零（等式(37)，且准静态估计等式(38)在此极限下也为零），场与几何之间的能量交换停止。在电荷扰动下的线性稳定性将电荷在其晚期值附近扰动，q(t)=q0+δq0e?σt，并将等式(16)线性化得到δb(r,t)=δq0e?σt[q0(1r?1r0)?a5q03(1r5?1r05)]，当σ>0时呈指数衰减，当σ<0时无界增长：该构型对此类本身会衰减的电荷扰动是线性稳定的，且扰动保持在喉部附近局部化。我们明确将稳定性声明限定于此类扰动，不作更广泛的陈述：等式(43)仅测试是否奇异物质量化总奇异物质通过体积积分I(t)=∫r0R[ρ(r,t)+pr(r,t)]4πr2dr来量化。表6给出了r0=1，q0=0.4，q1=0.8，γ=0.6，a=0.15，R=6时的I(t)：当t→∞时，I(t)饱和至一个恒定的、有限的、负值，确认了一定量的奇异物质是固有地需要来维持静态虫洞开启的，而时间相关的贡献是一种真正的瞬态，会衰减消失。体积积分量化器I(t)测量总的经典奇异物质含量，但时间相关电荷的物理起源电荷分布等式(15)是引力物理中长期研究的辐射解的自然电磁类似物。Bonnor和Vaidya将Vaidya辐射解推广至时间依赖的电荷[15]；Hayward表明开关对行的零辐射流可将虫洞从静态构型推向和拉离[16]；Lobo、Olmo和Rubiera-Garcia从带电零流体构建了一个完全动力学的虫洞，具有Vaidya型因果性可穿越虫洞只有在Morris、Thorne和Yurtsever意义上成为时间机器[2]，如果在其两个洞口之间引入相对时间偏移（通常为提升），使得虫洞加上通过正常时空的往返连接两个事件形成闭合类时曲线。这里不会发生这种情况：该构造具有单个不动喉部，在固定的面积半径r0处，两个洞口（两个渐近区域r→∞）共享相同的时间坐标t，且唯一的结论我们证明了让Euler–Heisenberg非线性电动力学的磁场以指数方式弛豫至非零残余值，生成一个时间依赖的可穿越虫洞，其形状函数、能量含量和径向通量在指定等式(15)的电荷分布后，直接从场方程唯一导出；如上文讨论，该分布本身是唯象的，从因果的、第一性原理的Euler-Heisenberg-Maxwell-Vaidya推导未引用浮动图1、图2、图5、图15、表5。CRediT作者贡献声明Shahid Hussain Gurmani：写作——初稿。Allah Ditta：写作——初稿。Saba Mehmood：写作——审阅与编辑，软件。Asifa Ashraf：写作——初稿，软件。Chengxun Yuan：监督。Farkhod Botirov：软件，方法学。Alisher Abduvokhidov：可视化，验证。利益冲突声明作者声明无已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本文报告的工作。Shahid Hussain Gurmani|Allah Ditta|Saba Mehmood|Asifa Ashraf|Chengxun Yuan|Farkhod Botirov|Alisher Abduvokhidov