耦合混沌振荡器网络中的不规则簇同步

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Ragged cluster synchronization in networks of coupled chaotic oscillators

　　

# 锯齿状簇同步

## 摘要

本文研究了由耦合混沌振子构成的复杂网络中的簇同步现象。研究发现，同步相变可以呈现碎片化的图景，即随着耦合强度的变化，簇同步区间反复交替出现于全局同步或无序区间之间。我们将这一现象称为锯齿状簇同步（RCS）。通过基于特征向量的稳定性分析阐明了其机制：主稳定性函数中存在一个孤立的非稳态区间，使得单个横向特征模态随着耦合强度的变化可以独立失稳，每个模态通过"一模式一构型"机制支配一种独特的簇划分。这构成了RCS中各种竞争性簇构型交替涌现的内在原因。在合成的六节点网络中对该理论框架进行了数值验证，并成功将其推广至解释更大规模的社区结构网络中的RCS动力学。我们进一步通过在不同振子模型中复现该现象来验证RCS的普适性。本工作将锯齿状簇同步确立为网络化动力学系统中的一种复杂相变，对实际应用中同步模式的分析与控制具有启示意义。

## 引言

同步现象在耦合系统中普遍存在，其形式多种多样，包括全局同步、相位同步和广义同步等，已在文献中得到广泛研究[1]、[2]。因此，确定临界同步阈值已成为一个核心问题，特别是对于耦合全同混沌振子的全局同步（GS），当耦合强度超过由主稳定性函数（MSF）确定的阈值时即发生GS[3]、[4]、[5]。传统的GS相变表现为单一同步阈值或有限宽度的耦合强度窗口。锯齿状同步（RSA）[6]、[7]、[8]作为GS的一种特殊类型，在耦合参数空间中表现为不规则交替的不连续同步窗口，从而产生碎片化的同步-去同步模式[6]。这极大地扩展了非线性耦合系统中同步动力学的分类框架。如MSF形式化方法所揭示的，通常可观察到单调或单阱同步区间[5]。相比之下，RSA在主稳定性函数中表现出多阱和气泡状结构[5]、[6]，其中横向Lyapunov指数随参数的变化揭示了耦合非线性振子同步的新型稳定性特征。RSA为工程网络拓扑设计提供了重要洞见，使抑制非期望去同步和实现多窗口同步控制成为可能[7]。研究表明，微小的拓扑扰动（如引入短程连接）可以显著重构同步窗口的分布，为网络重构、容错设计和同步增强提供了理论基础。使用耦合van der Pol振子进行的实验验证已确认了该现象在现实系统中的物理可实现性和参数鲁棒性[7]、[9]。

近年来，簇同步（CS）[10]、[11]、[12]在耦合振子网络中引起了广泛关注[13]、[14]、[15]。与GS[16]中所有节点演化完全相同不同，CS在现实系统中更为普遍[17]、[18]、[19]。它常作为无序与有序之间具有层级簇结构的过渡态出现[20]、[21]，其中各簇内节点收敛到相同状态，而不同簇间的节点保持去同步或沿不同轨迹演化[22]、[23]、[24]。具体而言，随着耦合强度逐步增加，许多复杂网络首先组织成小的同步簇，随后逐渐扩展为更大的簇[25]、[26]、[27]。只有在足够强的耦合下，系统才最终达到GS态[4]。这种层级路径以簇尺寸的逐渐增长为特征，保留甚至揭示了关于底层网络拓扑的关键信息[28]、[29]、[30]。目前，CS的分析主要依赖两种理论框架：基于网络对称性的结构分析[14]、[31]、[32]和基于特征空间分解的谱分析[33]、[34]、[35]。结构分析通过对称群或公平划分将网络划分为同步簇[14]、[31]，随后进行网络降维以实现簇同步状态的稳定性分析[36]、[37]、[38]。谱分析将网络从节点空间映射到特征空间[39]、[40]、[41]，利用特征向量的层级结构将网络划分为同步簇[42]、[43]，然后基于不稳定特征模态对CS状态进行稳定性分析[42]。这两种框架共同为理解和工程设计CS动力学提供了全面的理论基础，弥合了复杂网络中拓扑结构与功能同步模式之间的鸿沟。

除GS阈值外，近期研究聚焦于CS，其中节点自组织为动态相干的子群。重要的是，RSA与CS在参数空间中共存这一问题构成了一个重要的开放性问题：RSA表现为不连续的稳定性窗口，而CS则以拓扑依赖的层级同步路径出现。这两种竞争性动力学如何相互作用？RSA是否使CS碎片化，还是CS结构调节了RSA窗口的分布？碎片化稳定性图景与层级同步之间的相互作用构成了一个根本性的理论挑战，对复杂网络设计和同步控制具有直接启示。

在本文中，我们报告了一种称为锯齿状簇同步（RCS）的现象，其中簇同步、全局同步和无序随着耦合强度的变化而反复交替出现。我们证明，这种行为产生于单个横向特征模态进入主稳定性函数中的孤立非稳态区间时，每个模态支配一种独特的簇划分。在第2节中，我们呈现了耦合混沌系统的模型，并描述了在六节点网络中观测到的RCS相变。在第3节中，我们展示了基于特征向量的CS分析。在第4节中，我们探索了不同网络中的RCS。第5节研究了不同振子模型下的RCS。最后，在第6节中给出了结论。

## 各节摘要

### 模型与现象

我们考虑由N个耦合混沌振子组成的网络动力学，其系统动力学描述为

$$\dot{\mathbf{x}}_i = \mathbf{F}(\mathbf{x}_i) + \varepsilon \sum_{j=1}^{N} w_{ij} \mathbf{H}(\mathbf{x}_j)$$

其中，$i, j = 1, \ldots, N$ 为振子指标，$\mathbf{x}_i$ 表示第$i$个振子的状态向量，$\mathbf{F}(\mathbf{x})$ 是各振子的局部动力学函数，$\mathbf{H}(\mathbf{x})$ 描述耦合函数，$\varepsilon$ 为耦合强度。耦合关系由加权耦合矩阵 $\mathbf{W} = \{w_{ij}\}$ 描述，其中若节点$j$连接到节点$i$则$w_{ij} > 0$，否则$w_{ij} = 0$。

### CS的理论分析

从式(1)出发，我们记全局同步流形为 $\mathbf{s}$，即 $\mathbf{s} = \mathbf{x}_1 = \mathbf{x}_2 = \cdots = \mathbf{x}_N$，并设 $\delta\mathbf{x}_i = \mathbf{x}_i - \mathbf{s}$ 表示无穷小扰动。$\delta\mathbf{x}_i$ 的演化由变分方程控制：

$$\delta\dot{\mathbf{x}}_i = D\mathbf{F}(\mathbf{s})\,\delta\mathbf{x}_i + \varepsilon \sum_{j=1}^{N} w_{ij}\, D\mathbf{H}(\mathbf{s})\,\delta\mathbf{x}_j$$

其中 $D\mathbf{F}(\mathbf{s})$ 和 $D\mathbf{H}(\mathbf{s})$ 分别是 $\mathbf{F}$ 和 $\mathbf{H}$ 在同步流形 $\mathbf{s}$ 上求值的Jacobian矩阵。在我们的分析中，耦合矩阵 $\mathbf{W}$ 需要满足可对角化且具有实特征值的条件。该条件由两类重要的……

### 六节点网络中RCS的理论分析

基于上述发展的基于特征向量的分析，我们现在阐明在六节点网络中观测到的锯齿状簇同步。为了可视化整个同步相变，将矩阵 $\delta e_{ij}$（其中 $j > i$）的上三角部分（不含对角线）展开为一维数组，索引为 $I = 1, \ldots, 15$。具体而言，数组索引的计算公式为：

$$I = (j - i) + \sum_{i'=1}^{i-1} \sum_{j'=i'+1}^{6} 1$$

图3(a)展示了理论结果的热力图，显示了 $\delta R_{CS}$ 的变化情况。

### RCS在不同振子模型下的验证

为检验RCS的普适性，我们将相同的框架应用于另外两个振子模型。

我们首先考虑混沌强迫van der Pol振子，其方程为：

$$\begin{cases} \dot{x} = y, \\ \dot{y} = -x + d(1 - x^2)y + F\sin(\eta t), \end{cases}$$

其中 $d = 4.15$，$F = 18$，$\eta = 4.065$。耦合函数为 $\mathbf{H}(\mathbf{x}) = [0, x]^T$，即一个振子的 $x$ 变量耦合到另一个振子的 $y$ 变量。由MSF，我们获得三个临界归一化耦合强度 $\sigma_a = 1.25$，$\sigma_b = 2.21$，$\sigma_c = 6.69$。孤立非稳态区间为 $\sigma \in ($……

### 讨论与结论

在本文中，我们报告了一种同步现象——锯齿状簇同步（RCS），其中簇同步、全局同步和无序随着耦合强度的变化而反复交替出现。与传统的RSA不同，后者仅在GS和去同步之间交替，RCS涉及多种不同簇构型之间的反复转换；例如，在六节点网络中出现了五种不同的簇模式（图2）。其内在机制是……

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## CRediT作者贡献声明

**Fan Huawei**：撰写——审稿与编辑、撰写——初稿、验证、监督、软件、方法论、调查、资金获取、形式化分析、概念构思。

**Guo Jingwei**：撰写——初稿、可视化、软件、调查、形式化分析。

**Wang Yafeng**：撰写——审稿与编辑、资金获取、形式化分析。

## 利益冲突声明

作者声明不存在已知的可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

## 致谢

本工作得到国家自然科学基金（NSFC）的资助，基金编号为12105165和12005006。

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**Fan Huawei | Guo Jingwei | Wang Yafeng**

西安邮电大学 理学院，西安，710121，中国