克尔介质中涡旋余弦-双曲高斯光束的传播机制：亚临界衍射修正与超临界坍缩

《Optik》：Propagation Regimes of Vortex Cosine–Hyperbolic Gaussian Beams in a Kerr Medium: Subcritical Modification of Diffraction and Supercritical Collapse

　　

摘要

本文利用(2+1)维非线性薛定谔方程研究了涡旋余弦-双曲高斯光束(vChGB)在克尔非线性介质中的传播特性。基于矩方法发展了一套解析处理方法，导出了一个非线性不变量以及临界塌缩功率P_cr的显式表达式，后者同时取决于去中心参数和涡旋拓扑荷。采用交替方向隐式Crank–Nicolson格式进行的数值模拟证实了上述解析预言，涵盖了亚临界(P₀< />_cr)和超临界(P₀≥P_cr)两种情形。在亚临界情形下，克尔效应引起的压缩会暂时提高峰值强度，而衍射最终占主导地位，不会形成奇点。对于P₀≥P_cr的情形，光束发生灾难性的自聚焦塌缩，强度迅速向奇点方向增大，从而直接验证了所推导的P_cr阈值。去中心参数强烈地改变塌缩阈值，并在亚临界情形下将最大克尔压缩点推移至更长的传播距离。较高的涡旋荷会增大P_cr，并在超临界情形下使塌缩点提前，使其更易发生塌缩。这些结果阐明了空间结构与轨道角动量在克尔介质中的相互作用，并展示了vChGB在可控非线性光束整形方面的潜力。

引言

光束在克尔型非线性介质中的传播在非线光子学中起着关键作用，特别是在光–物质相互作用的调控、丝化过程以及高功率光束的传输方面。在这类介质中，依赖于强度的折射率会产生非线性自作用效应，包括自聚焦、自散焦、塌缩抑制以及空间孤子的形成[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]。这些现象通常由非线性薛定谔(NLS)方程来描述，其解的特征是存在一个临界功率P_cr，用以区分亚临界情形(P< />_cr)——即衍射最终占主导地位，而克尔非线性仅引起暂时性的光束压缩——以及超临界塌缩情形(P>P_cr)——即非线性在全局上占主导，推动光束向有限距离处的奇点发生灾难性的自聚焦。因此，在两种情形下准确刻画克尔介质中的光束传播特性，对于评估塌缩的稳健性以及利用亚临界非线性光束整形至关重要。在此框架下，已对余弦-高斯、双曲正弦-高斯、厄米-高斯、拉盖尔-高斯、艾里、艾里-高斯以及贝塞尔-高斯等大量结构化光束在克尔介质中的行为进行了广泛研究[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]。

与上述进展并行，可调控横向结构的工程化光束日益受到关注，其动机源自超分辨率成像、光学操控、非线性丝化控制以及自由空间通信等应用。在这一类光束中，余弦-双曲高斯光束(ChGB)因其显著的结构灵活性而格外引人注目：通过去中心参数b，其横向轮廓可以从小b时的近高斯形状，连续调节为中等b时的平顶分布，以及大b时的多瓣空心分布[20]、[21]。将轨道角动量引入这一光束家族，最近催生了涡旋余弦-双曲高斯光束(vChGB)[22]，它将可控的空间结构化与相位奇点相结合。因此，vChGB为结构化光工程提供了更多的自由度。此前的研究已涉及ChGB和vChGB在自由空间、傍轴系统（例如薄透镜、强非局域非线性介质、手性介质）以及湍流条件下的传播[23]、[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]。然而，尽管在线性及弱扰动区域内已取得上述进展，vChGB在克尔介质中的传播尚未见报道。

本文通过结合解析与数值研究，弥补了vChGB非线性分析的缺失，探讨其在克尔介质中的传播。在矩方法的框架内建立了一个非线性不变量，从而得到了临界自聚焦功率随去中心参数和涡旋拓扑荷变化的显式解析表达式。利用交替方向隐式Crank–Nicolson格式直接求解(2+1)维非线性薛定谔方程所得结果，为理论预言提供了佐证。除了确定塌缩阈值之外，分析还揭示了克尔诱导的亚临界压缩与超临界灾难性自聚焦，与方位旋转（vChGB固有的线性性质，但会被克尔非线性定量调制）以及横向结构重塑共同如何支配不同情形（分别对应小与大去中心参数）下的光束演化。通过阐明空间结构化与相位奇点在亚临界及超临界传播情形下所起到的耦合作用，这些结果确立了涡旋余弦-双曲高斯光束作为克尔型光学系统中可控非线性光束整形的多功能平台。本文其余部分组织如下。第2节给出理论模型和矩分析，导出非线性不变量与临界塌缩功率。第3节给出涵盖亚临界和超临界情形的数值结果，包括对塌缩阈值的直接验证，以及对光束随拓扑荷和去中心参数演化的详细分析，随后给出结语。

各节摘要

理论模型与矩分析

结构化光束在克尔型介质中的非线性传播，可以在傍轴层面上由一个标量包络方程来描述，该方程刻画出衍射与依赖强度的自作用之间的平衡。本文采用矩方法分析vChGB的整体传播行为，因为该方法无需重构完整场分布，即可直接获取守恒量、塌缩条件以及光束宽度演化。

在直角坐标系下

数值结果与分析

基于所导出的解析表达式开展数值模拟，以全面研究vChGB在克尔非线性介质中跨越亚临界(P₀< />_cr)与超临界(P₀≥P_cr)两种情形的传播与演化。光束演化采用交替方向隐式(ADI)格式并结合Crank–Nicolson有限差分方法计算，从而能够精确模拟横向强度等值线的演化。在

结论

本文结合矩方法与直接数值求解非线性薛定谔方程，分析了vChGB在克尔介质中的传播。推导出了非线性不变量与临界塌缩功率P_cr的闭式表达式，从而能够定量描述光束随输入功率、去中心参数和涡旋拓扑荷的演化。结果表明，传播行为受一种的支配

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作者贡献

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支持

本工作由科学技术研究中心(CNRST)在"博士-联合奖学金-PASS"项目下提供资助。

出版同意

作者确认已就发表本文所含数据获得知情同意。

参与同意

已获取所有作者的知情同意。

资金

本工作未从任何机构获得资助。

CRediT作者贡献声明

Abdellah Ahlane：构思。Zoubir Hricha：调查。Abdelmajid Belafhal：调查。

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Abdellah Ahlane|Zoubir Hricha|Abdelmajid Belafhal

LPNAMME实验室，激光物理小组，物理系，科学学院，Choua?b Doukkali大学，邮政信箱20，24000 El Jadida，摩洛哥