经济与金融衰退下的金融稳定性建模：一种具有状态转换随机波动率与跳跃特征的偏微分方程约束优化方法

《Mathematics》：Modeling Financial Stability Under Economic and Financial Downturns: A PDE-Constrained Optimization Approach with Regime-Switching Stochastic Volatility and Jumps

　　我们开发了一种偏微分方程（PDE）约束优化框架，用于将状态转换型Heston-Merton模型校准至标普500指数期权价格。该模型包含两个潜在马尔可夫状态，用于调节随机波动率参数和复合泊孙跳跃过程，从而捕捉市场波动率在正常时期与危机时期呈现不同聚集特征的规律性事实。利用来自联邦储备经济数据（FRED）数据库的真实数据（涵盖2016年7月至2026年7月，共2609个交易日），我们通过VIX阈值识别危机状态并估计状态转换概率。实证分析表明，危机状态下的长期方差是正常状态的3.78倍，波动率的波动率高出1.60倍，跳跃强度则高出113倍。我们推导了前向偏微分积分方程的完整伴随系统，包括此前尚未记录的跳跃算子伴随方程和马尔可夫切换生成元的伴随方程，并证明伴随方法可将每次迭代所需的PDE求解次数从P次降至2次，且与参数维度无关。面板校准实验显示，该模型在样本内拟合方面优于嵌套Heston模型（2.87波动率点）、Bates模型（2.31波动率点）和Black-Scholes模型（19.46波动率点）。样本外Diebold-Mariano检验在1%显著性水平上确认了统计显著的预测改进。两种状态下均满足Feller条件。