摘要
本文对黎曼几何和洛伦兹几何进行了比较性研究，按照结构逐渐复杂的层次进行阐述。从向量空间上的标量积开始，依次探讨了光滑流形、李群上的左不变度量、齐次空间以及接触度量几何。在每个层次中，我们重点分析了哪些概念和结果在从正定度量过渡到洛伦兹度量时仍然成立，哪些概念不再适用，以及导致这些差异的机制。反复出现的主题包括：因果结构的出现、自伴算子的不可对角化、度量完备性与测地完备性之间的差异，以及紧致流形上存在洛伦兹度量的拓扑障碍。特别关注了三维齐次空间的分类（包括Bianchi–Cartan–Vranceanu空间及其洛伦兹对应空间），以及接触度量几何，在这种几何结构中，黎曼理论与洛伦兹理论之间重新建立了对应关系。
