融合高斯随机函数与遗传算法以优化功能梯度点阵结构

《European Journal of Mechanics - A/Solids》：Integrating Gaussian random functions with genetic algorithms for the optimization of functionally graded lattice structures

　　

•将高斯随机场/高斯过程回归与遗传算法相结合，以获得最优的分级点阵结构。
•将高斯随机场/高斯过程回归与投影算子相结合，以确保设计的平滑性。
•以隐式方式满足几何变量的边界约束。
•所提出的框架提供了具有较低应力集中的最优设计。

引言
近年来，增材制造技术的进步使得制造高度复杂的几何结构成为可能，包括点阵结构。现代的增材制造工艺，如熔融沉积成型、定向能量沉积、粘结剂喷射和粉末床熔融，在将复杂设计转化为实际部件方面发挥了至关重要的作用，而这些部件几乎不可能使用传统制造技术进行生产。此外，槽式光聚合和材料喷射等工艺进一步扩大了增材制造的能力，提供出色的尺寸精度、高表面光洁度以及制造高精度复杂几何结构的能力。点阵结构是这些先进制造工艺的应用之一，代表了一类由周期性或非周期性重复单元相互连接形成连续网络的先进异质材料。它们是受生物结构启发的设计，例如蜂窝和骨骼，这些结构提供了高能量吸收能力。此外，拉胀类型的点阵结构能够在结构中提供负泊松比。总体而言，点阵结构具有高刚度重量比，使其在生物医学植入物、航空航天结构和机械系统应用中极具吸引力。

为增强基于点阵结构的性能，可以沿结构改变单元格的几何参数。特别是，单元格的几何参数，如杆件厚度、方向或间距，沿结构逐渐变化。几何参数的逐渐变化确保了结构内部不存在应力集中，而针对特定目标的定制渐变则增强了底层结构的整体功能。

在文献中，针对功能梯度点阵结构开发了一系列优化策略，这些策略大致分为基于梯度的方法和非基于梯度的方法。基于梯度的方法包括实体各向同性材料罚函数法、移动渐近线法和水平集方法。在基于梯度的方法中，实体各向同性材料罚函数法是点阵结构优化中最广泛使用的方法之一。Yi和Saitou利用实体各向同性材料罚函数法优化多组分系统，通过引入组分之间的体边界并使用亥姆霍兹偏微分方程滤波器确保平滑变化。Zheng等人利用实体各向同性材料罚函数法处理自连接多组分系统。Zheng等人提出了一种优化框架，包括基于实体各向同性材料罚函数法的插值和移动渐近线法用于超材料，从而改善机械强度。Yi等人利用实体各向同性材料罚函数法对具有可变亥姆霍兹偏微分方程滤波器半径的功能梯度点阵结构施加屈曲约束。除了实体各向同性材料罚函数法外，结合亥姆霍兹滤波的移动渐近线法已被用于设计用于电池热管理的点阵结构冷却板。另一方面，非基于梯度的方法，如粒子群优化和遗传算法已被广泛应用。基于遗传算法的技术在广泛目标和多种约束条件下的优化中展现了强大潜力。例如，Kappe等人采用非支配排序遗传算法在动态载荷下同时最小化峰值压碎力并最大化体心立方和反向单元格的能量吸收能力。同样，Nian等人将非支配排序遗传算法应用于具有圆形几何形状的体心立方型三维单元，旨在最大化比能量吸收同时降低峰值冲击力。Ozdemir等人使用遗传算法对三重周期极小曲面结构进行多形态优化，而Mahbod和Asgari优化了双十二面体单元以在X和Y方向最大化弹性模量。Han和Lu使用遗传算法框架定制由反向单元组成的结构的变形模式。

非基于梯度的优化框架中的一个关键挑战是生成功能梯度点阵结构的平滑参数变化曲线。传统的曲线生成方法包括简单的方案，如幂律、B样条法和指数律。但这些方案的设计表示非常有限，因此可能会产生次优结果。在光谱的另一端，可以完全随机地生成曲线，即每个设计变量在最小-最大范围内独立生成。虽然这种方法提供了多样性，但它产生了不平滑的渐变模式。这种不平滑的渐变反过来会产生更高的应力集中，导致功能梯度点阵结构强度的降低。这一局限性促使需要一种曲线生成算法，在提供设计空间多样性的同时保证平滑曲线的生成。

在这篇手稿中，我们提出了一种基于高斯随机场和高斯过程回归的曲线生成算法。所提出的曲线生成方案在设计空间中提供了广泛的多样性，同时确保了相邻单元格之间几何参数的平滑过渡。一个尺度超参数控制单元格几何的平滑程度。Kolmogorov在高斯随机场的数学基础中给出了随机过程，后来由Matérn和Yaglom扩展，他们建立了高斯随机场、协方差函数和谱表示之间的联系。与此同时，机器学习社区利用高斯过程回归进行回归任务。在工程应用中，高斯过程回归已被用作替代模型来预测应力强度因子，并在复杂域的可靠性分析中替代有限元模拟。除替代建模外，最近基于高斯过程回归的设计算法也被用于确定复杂功能梯度材料域内的材料渐变。然而，据作者所知，这是首次尝试采用基于高斯随机场/高斯过程回归的曲线生成方案来优化功能梯度点阵结构。

基于高斯随机场/高斯过程回归的点阵结构曲线生成算法已与遗传算法进一步结合，以在不同目标条件下优化功能梯度点阵结构。遗传算法涉及交叉和变异操作；即使父代曲线完全平滑，对这些平滑曲线应用这些操作也可能导致不平滑的曲线。我们使用了额外的投影算子，将不平滑的曲线投影为平滑的曲线。为了证明所提出方法的有效性，选取了两种广泛研究的点阵拓扑结构——二维情况下的中心矩形单元和反向单元——作为案例研究。中心矩形型单元以其高能量吸收能力和良好的机械性能而闻名。而反向单元则表现出拉胀行为。就应力分布、强度和优化结果而言，基于高斯随机场的设计与常规实施方法进行了比较。

总之，本工作的主要贡献可总结为：
•为功能梯度点阵结构开发了基于高斯随机场的曲线生成算法。
•将高斯随机场与遗传算法相结合，进行几何参数优化。
•在基于高斯随机场和常规实施方法下，对中心矩形和反向单元进行了比较研究。
•证明了基于高斯随机场的设计实现了更平滑的几何过渡，降低了应力集中，并增强了结构强度。

手稿的其余部分如下。第2节简要介绍了功能梯度点阵结构问题。第3节详细说明了基于高斯随机场/高斯过程回归的功能梯度点阵结构设计算法。第4节介绍了用于功能梯度点阵结构模拟的有限元公式。第5节给出了针对功能梯度点阵优化并与基于高斯随机场/高斯过程回归的曲线生成方案相一致的遗传算法框架。第6节通过各种由中心矩形和反向单元组成的功能梯度点阵结构数值示例，展示了所提出的基于高斯随机场/高斯过程回归的框架与基于遗传算法的优化算法的有效性。最后，手稿的结论在第7节给出。

章节片段
模型
在本手稿中，我们考虑了由单一类型点阵单元格制成的功能梯度结构设计问题。虽然点阵单元格的类型在整个结构中保持不变，但我们不对单元格的类型施加任何限制；因此，单元可以是任何类型，如中心矩形、反向等。根据潜在几何形状，单元可以通过各种几何参数唯一表征。例如，

基于高斯随机场/高斯过程回归的功能梯度点阵设计空间
本节展示了功能梯度点阵结构设计空间的生成策略。为了满足上一节中列出的设计空间要求，我们使用高斯随机场/高斯过程回归来生成设计空间。基于高斯随机场/高斯过程回归方法的主要优势是可以通过尺度参数精确控制几何过渡的平滑度。此外，任何几何参数

有限元分析
本节概述了用于分析功能梯度点阵结构的有限元方案。一般来说，由于点阵结构可能发生大变形，控制方程在参考构型中编写。此外，由于传统的基于连续体的单元已知在高纵横比结构中容易出现锁定问题，它们可能不是模拟点阵结构的计算高效方法。在文献中，

遗传算法
遗传算法属于非基于梯度的进化优化算法类别。它根据自然选择和遗传原理运行。本工作使用遗传算法对受不同约束的功能梯度点阵结构进行单目标优化。对于功能梯度点阵结构的优化，设计变量是单元格的几何参数。如果希望，高斯随机场/高斯过程回归的超参数，即，可以

数值示例
在本节中，我们通过众多数值示例展示了所提出框架在分级点阵结构设计中的实用性。我们展示了由中心矩形和反向拉胀单元组成的各种二维结构在不同载荷条件下的优化。此外，通过基于高斯随机场的优化框架获得的最优曲线与使用标准遗传算法结合常规方法生成的曲线进行了比较

结论
在本工作中，我们为功能梯度点阵结构提出了一种优化框架。该方法包括基于高斯随机场/高斯过程回归的功能梯度点阵结构设计-生成方案以及在每次优化迭代期间保持设计参数平滑性的投影算子。通过由中心矩形和反向单元组成的各种数值问题演示了所提出框架的有效性。结果清楚地证明了……

CRediT作者贡献声明
Piyush Agrawal：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，数据整理，概念化。Manish Agrawal：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，监督，项目管理，方法论，调查。

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作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本论文报告的工作。

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