压电超材料梁中弹性波局域化的简谐振子类比

《European Journal of Mechanics - A/Solids》：A harmonic-oscillator analogy for elastic wave localization in piezoelectric metamaterial beams

　　

•分级二次并联剖面形成一种分布式弹性波陷阱。
•该陷阱映射为谐振子问题，具有闭式解的厄米-高斯模式。
•调制深度与宽度分别独立地设定定域长度和频谱。
•该陷阱可在波束上任意位置重新定位，且不改变结构本身。
•三维有限元模型再现了所获得的局部化模式。

**引言**

在工程结构中对弹性波进行导引、衰减和定域，是现代振动控制与波工程的核心目标。过去二十年间，局域共振超材料因其能够通过宿主结构与局域附件之间的动力学相互作用产生亚波长带隙而备受瞩目（Liu等，2000）。与声子晶体中由晶格空间周期性决定的经典布拉格散射衰减不同，局域共振系统中的衰减由各局域包含体的本征共振频率控制，因此带隙可以位于远低于基元胞布拉格极限的频率处（Mead, 1996; Hussein等, 2014; Ma & Sheng, 2016; Cummer等, 2016）。这种亚波长特性使这些结构在低频振动抑制、波导引、声学绝缘以及跨频率区间的目标化波操控中极为有效。在有限结构中，同样的共振机制表现为传播强烈衰减的离散频段间隔，其中带隙的位置、深度和宽度直接映射于组元共振器的力学或电学性质（Sugino等, 2016; Sugino等, 2017b），而近期的逆设计框架正是利用这种映射关系来优化复杂的微结构拓扑（Ronellenfitsch等, 2019; Khan & Sugino, 2026）。此处这种映射之所以重要，是因为它意味着施加于共振器性质的任何空间图案都会被直接印刻在结构的波场景观上，这正是本文所利用的设计自由度。利用这一自由度在选定位置放置、保持和读取振动能量，支撑着从振动隔离到能量采集和结构传感等一系列应用，也是本文的工程目标。

压电超材料通过将局域共振从力学域转入电学域，将这种设计自由度带入智能结构中。粘接在宿主基底上的压电贴片将机械应变转换为电荷，而外部并联电路引入一个独立的电学自由度，直接耦合回结构动力学（Forward, 1979; Hagood & Von Flotow, 1991; Park, 2003; Thomas等, 2012）。由共振并联贴片组成的阵列在不改变基准几何构型的前提下开启频率带隙并重塑波的传播特性（Thorp等, 2001; Airoldi & Ruzzene, 2011; Casadei等, 2012; Bergamini等, 2014; Sugino等, 2017a）。由于共振行为由电路而非物理质量决定，每个单元胞的共振可独立调谐，这种多功能性已被用于在单一结构上同时实现振动衰减与能量采集（Sugino & Erturk, 2018; C. Sugino等, 2018; Anigbogu & Bardaweel, 2020）。该范式已通过可编程和合成阻抗电路进一步拓展（Christopher Sugino等, 2018; Sugino等, 2020a）。通过独立地规定各单元胞的电响应，这些电路解锁了自适应带结构、非互易波传输（Sugino等, 2020b; Alshaqaq等, 2023; Khan & Sugino, 2025）、可编程拓扑及混合界面模式（Pantaleoni等, 2024; Shedleski等, 2026）以及非局域机电相互作用（Alshaqaq, 2026b）。因此，电共振的空间分布可被视为一组连续的设计变量，用以塑造结构的整体波场景观，并通过主动机电操控绕过制造和几何约束——无论是通过感应并联阵列的非接触调谐还是通过非接触涡流共振器实现（Dupont等, 2026b; Dupont等, 2026a）。

分级超结构为宽带控制提供了一个已有的答案。共振器参数的平滑单调变化会在依次不同的位置上减缓依次不同的频率分量，即首先在电磁介质中被发现的"彩虹捕获"效应（He等, 2012），此后已在声学平台和弹性平台中实现（Colombi等, 2016; De Ponti等, 2020; Chaplain等, 2020; Zhou等, 2016; Abdulai & Alshaqaq, 2026）。在机电系统中，单调分级的电共振可拓宽衰减带宽，并将应变和电压集中于目标区域（Alshaqaq & Erturk, 2021; Alshaqaq等, 2022; Sugino等, 2022; Alshaqaq, 2026a），而将负电容整合进并联电路中还可进一步强化分级感应并联的衰减效果（Wang等, 2026），从而使波能的约束与局域换能器的电响应直接耦合。然而，单调分级本质上是在空间中对宽带场进行排序，而非将选定的模式保持在选定的位置，因此每个频率停止在不同的位置，且捕获区域由整个阵列上的分级规律固定。分级也已被应用于换能器几何而非电路本身——即在完全覆盖的压电波束上沿长度方向变化电极长度，同时保持并联电路相同，从而拓宽聚合衰减区域，并已通过实验验证（Jian等, 2022; Jian等, 2023）。这些研究确立了分级压电波束作为一个解析上可处理平台的地位，其采用的耦合模型与本文所用属于同类，而本文与这些工作的差异在于研究目标与所用剖面形状，而非建模方法。单调分级通过空间排序宽带场来拓宽衰减带，而本文所用对称剖面则将一族离散模式保持在单一选定位置。

另一种形式的结构化空间调制出现在准周期和拓扑晶格中。Aubry–André–Harper构型与准周期共振器阵列表现出定域化相变、拓扑边界模式和绝热能量传输（Pal & Ruzzene, 2017; Xia等, 2020; Davies等, 2023; Pantaleoni等, 2024）。这些构型证实了结构化空间变化可深刻改变波的传播行为，但它们通常需要刚性的调制律或与简单可调空间目标解耦的复杂相位关系。

缺陷工程为定点定域化提供了最直接且历史上最成熟的途径。打破晶格平移对称性的局域扰动会在禁带内产生离散缺陷带，并支撑具有极小群速度的定域缺陷模式——这一机制早在声子晶体中点缺陷及基于缺陷的波导早期研究中就已确立（Sigalas, 1998; Wu等, 2001; Khelif等, 2004），如今已通过并联晶格实现主动控制，即通过调谐单个单元胞的电路而非改变结构来创建和移动缺陷（Thomes等, 2022; Thomes等, 2023）。高阶共振并联将该思想扩展到同时覆盖多个带隙，使得一个由电路定义的单元胞可在每个带隙中定域，从而在无需额外结构缺陷的情况下实现多频段波定域化（Jian等, 2025）。当入射波与缺陷频率匹配时，弹性能量集中于缺陷区域内并产生高位移和应变，可用于传感或发电（Jo等, 2020; Lv等, 2019; Shao等, 2021; Lee等, 2023）。由于应变集中于缺陷空腔内，放置于此的压电元件相较于均匀构型可产生显著更高的电压（Oudich & Li, 2017; Ma等, 2020; Jo等, 2020; Lee等, 2023），这一缺陷模式采集路径已发展成为一个相当可观的独立领域（Akbari-Farahani & Ebrahimi-Nejad, 2024）。近期的工作已将从缺陷出发的系统拓展至单空腔之外：耦合双缺陷利用缺陷带分裂建立多个定域频率，解耦且间隔较宽的缺陷通过独立模式的叠加拓展定域带宽，而三缺陷架构则将两者融合以实现宽带机电性能（Geng等, 2021; Jo & Youn, 2021; Jo等, 2022）。然而，这些框架仍然依赖于晶格的突变离散变化，因此约束仍局限于孤立空腔内，而拓展捕获区域则需要日益复杂的多缺陷网络或复杂晶格几何构型。上述电定义的缺陷消除了切割晶格的必要性，但它们本质上仍是点缺陷：每个缺陷在每个带隙中仅产生一个定域模式，该模式的频率由单个单元胞的阻抗决定，且模式位于带边附近。本文引入的分布式剖面在这三方面均有不同：它将扰动分布在多个单元胞上，在一个带隙内支撑一族模式——其包络和频谱仅由调制深度与宽度即可闭式确定——且将这些模式置于带隙深处而非带边附近。离散缺陷模式虽然具有强定域性，但它们固有地引入尖锐的场间断和严格的空间约束，且其频率通常位于带边附近，使得定域模式与传播连续谱发生耦合。这引发了一个疑问：波的定域化是否可以通过对共振阵列施加平滑对称扰动来实现，从而从离散缺陷空腔过渡到平滑分布的捕获区域，同时保持稳健的约束力。

波物理提供了一个候选方向。在带边附近，布洛赫波的缓变包络遵循一个有效薛定谔方程，其中局域带边频率扮演势场的角色（Craster等, 2010），这类包络方程已知支配着压电超材料波束的行为，其中非线性薛定谔方程支持包络孤子（Wang & Erturk, 2025）。在这种包络描述中，二次势会产生谐振子频谱，例如在力学和声学晶格中人工规范场下实现为朗道能级（Abbaszadeh等, 2017; Duan等, 2023），以及作为分级超结构中的弹性能捕获（Matlack等, 2016）。因此，局域共振的抛物线空间剖面应当能够捕获一族具有闭式包络的定域模式，然而这一途径尚未被作为机电超结构中缺陷空腔的有意可调替代方案加以利用。

在本文工作中，我们用平滑分级的分段二次剖面替代了突变晶格缺陷，并由此产生了一个直接的解析推论。在声学支的上边缘附近，缓变波包络遵循与粒子在抛物线势中运动相同的方程，因此分级剖面将定域化问题映射为量子谐振子。被捕获的模式因此是具有厄米-高斯包络的模态，其定域长度和递降的频率序列仅由调制深度和宽度即可闭式确定，且单一结构可支撑一族以分级区域为中心的此类模式。这种映射将陷阱的设计转化为一条解析法则，因为分布式机电捕获区域的位置、宽度和深度由并联剖面决定，而非通过在晶格中切割空腔实现。

这种分布式的阱在其两个最近的先例面前均有独特之处。相较于突变缺陷空腔，二次阱随调制加深而单调收紧约束，保持纯净的高斯基模而非发生分裂，且将捕获频率置于带隙深处使其与传播带隔离。相较于单调彩虹分级，对称阱将一族离散模式保持在单一选定位置而非沿阵列对宽带场排序，且仅通过重新调谐并联即可沿波束任意位置移动而无需重新切割结构。我们通过耦合机电特征值分析、逆参与比和瞬态波仿真来表征这一分布式陷阱，并以一个可实现三十二单元胞波束的三维有限元模型对机理进行验证。分析揭示了以二次剖面为中心的高斯包络的强定域化机电模式、区分捕获与排斥的符号法则、通过调制深度和宽度独立控制定域长度和频谱的能力，以及瞬态激励下持续的电压捕获——因此约束可通过并联直接读取。这些特性可直接转化为工程功能。

该陷阱将应变和电压集中在电气选定的位置以实现局域化能量采集，通过分流电压报告振动能量所在之处，从而充当分布式传感器，并且在无需任何几何修改的情况下将响应限制在结构敏感区域之外。论文结构如下。第2节介绍机电模型、分段二次调制框架和连续介质类比。第3节介绍数值结果、本征值分析得到的局域模态以及瞬态捕获行为。第4节将所提出的机理与三十字元梁的三维有限元模型进行验证。最后，第5节得出了一些结论性意见。第2节摘要：双片梁的机电模型 考虑一根长度为 Lb 的压电双片梁，具有 Nc 个分段单元胞，如图1所示。梁的宽度为 b，每个单元胞中压电极的长度为 l，每侧的电极间隙为 a，因此单元胞的长度为 d=l+2a。第 n 个电极的左右边缘为 xnL=(n?1)d+a，xnR=nd?a，n=1,2,…,Nc。每个单元胞的两个压电层均并联接线至单个感性分流器，因此每个单元胞承载一个电气共振，其频率由该……决定。第3节摘要：结果与讨论 在建立模型与谐振子类比之后，我们现在对该陷阱进行数值测试。本节分为两部分。第一部分求解有限阵列的耦合机电本征值问题，并描绘局域模态如何形成、其数目与形状如何随调制深度、宽度和位置变化，以及渐变势阱与突变缺陷有何不同。第二部分在时间上驱动该阵列，展示在激励下陷阱的建立过程及其选择……性。第4节摘要：有限元验证 前几节提出的简化模型基于欧拉—伯努利运动学、向短路模态形状的假设模态缩减，以及每个单元胞一个集总并联 R-L 分流器。为了确认局域化是结构本身的特性而非这些假设的产物，我们在 COMSOL 中构建的独立三维有限元模型中重现了该现象。该梁具有 30 个单元胞，这一数目在实验室中可实现，因此该模型也充当通向实验……的桥梁。第5节摘要：结论 我们研究了压电超材料梁中的弹性波局域化现象，该梁的单元胞共振沿阵列以光滑的分段二次曲线分布而非突变缺陷进行渐变。每个单元胞承载一个感性分流器，沿阵列塑造电感可将选定区域的局部电气共振提升为一个抛物形势阱。核心结果是，该势阱将缓慢变化的波包映射为量子谐振子，从而使被捕获的模态…… 利益冲突声明：作者声明，他们不存在任何已知的可能影响本论文所报告工作的竞争性经济利益或人际关系。致谢：作者感谢法赫德国王石油与矿业大学（KFUPM）智能制造与机器人中心（IRC-Manufacturing）的支持，以及法赫德国王石油与矿业大学研究事务处（DOR）通过项目编号 EC251002 提供的资金资助。Mustafa Alshaqaq